{"id":14054,"date":"2019-07-03T13:25:58","date_gmt":"2019-07-03T11:25:58","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=14054"},"modified":"2019-07-03T13:35:54","modified_gmt":"2019-07-03T11:35:54","slug":"der-zwischenwertsatz","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/der-zwischenwertsatz\/","title":{"rendered":"Der Zwischenwertsatz"},"content":{"rendered":"<p>Der Zwischenwertsatz wird zum Nachweisen von Nullstellen einer Funktion, bzw. ob eine Gleichung eine L\u00f6sung auf einem bestimmten Intervall besitzt, verwendet. Dies ist m\u00f6glich, da jeder Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ in dem Intervall $[a,b]$ mindestens einmal erreicht wird.<\/p>\n<p>Das <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/regel-von-lhospital\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Bisektionsverfahren<\/a> basiert auf dem ZWS.<\/p>\n<p>Beim Nachweis von Surjektivit\u00e4t (Stetigkeit und Grenzverhalten einer Funktion) nutzen wir ebenfalls den Zwischenwertsatz.<\/p>\n<p><strong>Das Thema Zwischenwertsatz wird dir in diesem Lernvideo erkl\u00e4rt!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_4EphJRvJBZY\"><div id=\"lyte_4EphJRvJBZY\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4EphJRvJBZY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/4EphJRvJBZY\" rel=\"nofollow\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4EphJRvJBZY%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Vorschaubild\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel<\/strong><\/p>\n<p>Besitzt die folgende Gleichung eine L\u00f6sung im Intervall $[0,1]$?<\/p>\n$\\exp^{x^2}+2x=1-\\sin\\left(\\pi x-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\qquad (1)$\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Wir formulieren das Problem um: Aus &#8222;Hat die Gleichung eine L\u00f6sung im Intervall $[0,1]$?&#8220; wird &#8222;Hat die Funktion $f$ eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$?&#8220;. Dazu definieren wir uns eine Funktion, indem wir die Gleichung $(1)$ auf Null umformen.<\/p>\n$f:\\ \\mathbb{R} \\longrightarrow\\, \\mathbb{R} ,\\ f(x) \\ := \\ \\underbrace{\\exp^{x^2}+2x-1+\\sin\\left(\\pi x-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\stackrel{!}{=}0}_{(1)}$\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>$f$ ist auf ganz $\\mathbb{R}$ (also auch auf $[0,1]$) stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n$f(0)=1+0-1+\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)=-\\sin\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}&lt;0$\n$f(1)=\\exp+2-1+\\underbrace{\\sin\\left(\\pi-\\frac{\\pi}{3}\\right)}_{\\geq -1}&gt;\\exp+2-1-1=\\exp&gt;0$\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Da $f$ stetig und $f(0)&lt;0&lt;f(1)$ gilt, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein $x_0\\in[0,1]$ geben, f\u00fcr das $f(x_0)=0$ gilt. Dieses $x_0$ l\u00f6st damit auch die Gleichung $(1)$.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p>\n<strong>Achtung: <\/strong><br \/>\nDer ZWS sagt lediglich aus, dass Werte mindestens einmal angenommen werden, wenn die Voraussetzungen erf\u00fcllt wurden. Des Weiteren kann nicht &#8222;`umgekehrt&#8220;&#8218; geschlussfolgert werden! Der ZWS sagt nur etwas \u00fcber die Existenz aus, nicht \u00fcber eine m\u00f6gliche &#8222;`Nicht-Existenz&#8220;&#8218;!\n<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der Zwischenwertsatz wird zum Nachweisen von Nullstellen einer Funktion, bzw. ob eine Gleichung eine L\u00f6sung auf einem bestimmten Intervall besitzt, verwendet. Dies ist m\u00f6glich, da jeder Wert zwischen und in dem Intervall mindestens einmal erreicht wird. Das Bisektionsverfahren basiert auf dem ZWS. Beim Nachweis von Surjektivit\u00e4t (Stetigkeit und Grenzverhalten einer Funktion) nutzen wir ebenfalls den [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"categories":[64],"tags":[],"class_list":["post-14054","page","type-page","status-publish","hentry","category-mathematik-fuer-ingenieure"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.6 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Der Zwischenwertsatz - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Der Zwischenwertsatz wird zum Nachweisen von Nullstellen einer Funktion verwendet. 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