\u00c4u\u00dferer Verkn\u00fcpfung $\\odot: \\mathbb{R}\\times V \\rightarrow V$ (skalare Multiplikation)Daraus resultierend sagen wir: $(V,\\oplus,\\odot)$ ([\/latex]oder: $(V,\\oplus,\\odot)$) ist Vektorraum \u00fcber $\\mathbb{R}\\ldots$, wenn die 8 Vektorraumaxiome gelten:<\/p>\n
Axiome der Vektoraddition $\\oplus$<\/strong><\/p>\n\n$\\forall x,y\\in V: x\\oplus y=y\\oplus x \\qquad\\qquad\\qquad \\ \\ \\ \\ \\ \\ $(Kommutativgesetz)<\/li>\n $\\forall x,y,z\\in V: x\\oplus (y\\oplus z)=(x\\oplus y)\\oplus z \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ $(Assoziativgesetz)<\/li>\n $\\exists 0\\in V\\ \\forall x\\in V: x\\oplus 0 = x\\qquad\\qquad\\qquad \\ \\ \\ $(Existenz eines neutralen Elements)<\/li>\n $\\forall x\\in V\\ \\exists -x\\in V: x\\oplus -x = 0\\qquad\\qquad \\ \\ \\ $(Existenz eines inversen Elements)<\/li>\n<\/ol>\nAxiome der skalaren Multiplikation $\\odot$<\/strong><\/p>\n\n$\\forall\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x\\in V: (\\alpha+\\beta)\\odot x=(\\alpha\\odot x)\\oplus(\\beta\\odot x)\\qquad$(Skalares Distributivgesetz)<\/li>\n $\\forall\\alpha\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x,y\\in V: \\alpha\\odot(x\\oplus y)=(\\alpha\\odot x)\\oplus(\\alpha\\odot y)\\qquad \\ $(Vektorielles Distributivgesetz)<\/li>\n $\\forall \\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x\\in V: (\\alpha\\cdot\\beta)\\odot x=\\alpha\\odot(\\beta\\odot x)\\qquad\\qquad \\ \\ \\ \\ $(Assoziativgesetz f\u00fcr Skalare)<\/li>\n $1\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x\\in V: 1\\odot x=x\\qquad\\qquad\\qquad \\ \\ \\ \\qquad$(Neutrales Element bez\u00fcglich der skalaren Multiplikation)<\/li>\n<\/ol>\n\n$\\mathbb{R}$, $\\mathbb{R}^2$, $\\mathbb{R}^3,\\ldots,\\mathbb{R}^n$ sind Vektorr\u00e4ume.<\/li>\n Die Menge aller Polynome bis zum Grad $n$ ist ein Vektorraum.<\/li>\n<\/ul>\nBeispiel mit $V=\\mathbb{R}^2$<\/strong><\/p>\n$\\oplus$ entspricht hier der Vektoraddition (Komponentenweise):<\/p>\n${x}\\oplus{}y=\\left(\\begin{array}{c} x_1 \\\\ x_2 \\end{array}\\right)\\oplus\\left(\\begin{array}{c} y_1 \\\\ y_2 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} x_1+y_2 \\\\ x_2+y_2 \\end{array}\\right)$\n
<\/p>\n
$\\odot$ entspricht hier der Skalarmultiplikation:<\/p>\n$\\lambda\\odot x=\\lambda\\odot\\left(\\begin{array}{c} {x_1} \\\\ {x_2}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} {\\lambda\\cdot x_1}\\\\{\\lambda\\cdot x_2}\\end{array}\\right)$\n
<\/p>\n
\n\n\n$\\forall x,y\\in V: x\\oplus y=y\\oplus x$. Also: $\\forall \\ \\overrightarrow{x}, \\ \\overrightarrow{y}\\in\\mathbb{R}^2$<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ol>\n\\begin{align*}
\n$\\forall x,y,z\\in V: x\\oplus (y\\oplus z)=(x\\oplus y)\\oplus z.\\quad \\text{Also}: \\forall \\overrightarrow{x},\\overrightarrow{y},\\overrightarrow{z}\\in\\mathbb{R}^2$:\\begin{align*} $\\exists 0\\in V\\ \\forall x\\in V: x\\oplus 0 = x.\\quad \\text{Also: }\\exists \\overrightarrow{0}\\in\\mathbb{R}^2\\ \\forall \\overrightarrow{x}\\in\\mathbb{R}^2: \\overrightarrow{x}\\oplus\\overrightarrow{0} = \\overrightarrow{x}$:\\begin{align*} $\\forall x\\in V\\ \\exists -x\\in V: x\\oplus -x = 0. \\quad \\text{Also: }\\forall \\overrightarrow{x}\\in\\mathbb{R}^2\\ \\exists -\\overrightarrow{x}\\in\\mathbb{R}^2: \\overrightarrow{x}\\oplus -\\overrightarrow{x} = \\overrightarrow{0}$:\\begin{align*} $\\forall\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R} \\forall x\\in V: (\\alpha+\\beta)\\odot x=(\\alpha\\odot x)\\oplus(\\beta\\odot x)$.Also: $\\forall\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}\\ \\forall \\overrightarrow{x}\\in\\mathbb{R}^2: (\\alpha+\\beta)\\odot \\overrightarrow{x}=(\\alpha\\odot \\overrightarrow{x})\\oplus(\\beta\\odot \\overrightarrow{x})$:\\begin{align*} $\\forall\\alpha\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x,y\\in V: \\alpha\\odot(x\\oplus y)=(\\alpha\\odot x)\\oplus(\\alpha\\odot y).$Also: $\\forall\\alpha\\in\\mathbb{R}\\ \\forall \\overrightarrow{x},\\overrightarrow{x}\\in \\mathbb{R}^2: \\alpha\\odot(\\overrightarrow{x}\\oplus \\overrightarrow{y})=(\\alpha\\odot \\overrightarrow{x})\\oplus(\\alpha\\odot \\overrightarrow{y})$:\\begin{align*} $\\forall \\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x\\in V: (\\alpha\\cdot\\beta)\\odot x=\\alpha\\odot(\\beta\\odot x).$Also: $\\forall \\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}\\ \\forall \\overrightarrow{x}\\in \\mathbb{R}^2: (\\alpha\\cdot\\beta)\\odot \\overrightarrow{x}=\\alpha\\odot(\\beta\\odot \\overrightarrow{x}):$\\begin{align*} $1\\in\\mathbb{R}\\ \\forall x\\in V: 1\\odot x=x.\\quad \\text{Also: } 1\\in\\mathbb{R}\\ \\forall \\overrightarrow{x}\\in \\mathbb{R}^2: 1\\odot \\overrightarrow{x}=\\overrightarrow{x}$:\\begin{align*}Familie von Vektoren<\/h2>\n Eine Familie von Vektoren ist \u00e4hnlich einer Menge von Vektoren, sprich eine Auflistung von Vektoren. Der einzige Unterschied liegt hier in der mathematischen Definition einer Menge (in welcher exakt gleiche Objekte gestrichen werden d\u00fcrfen, ohne die Menge zu ver\u00e4ndern) zu der einer Familie (in welcher nichts herausgestrichen werden darf, ganz gleich ob ein Vektor mehrfach vorhanden ist).<\/p>\n
Beispiel aus Vektorraum $\\mathbb{R}^3$:<\/strong> Vektor $(1,2,3)^T$ kommt doppelt vor:<\/p>\n\\begin{align*}
Die Menge bleibt bei Streichung einer dieser beiden Vektoren aus mathematischer Sicht gleich. Die Familie ver\u00e4ndert sich!<\/p>\n
Linearkombination<\/h2>\n Eine Linearkombination von Vektoren ist die Summe aus beliebigen Skalierungen dieser Vektoren:<\/p>\n
\\begin{align*}
Der Vektor $(-2,-2,-3)^T$ ist eine LK von $(2,-1,3)^T$ und $(-2,0,-3)^T$. Wir k\u00f6nnen auch sagen, dass sich der Vektor $(-2,-2,-3)^T$ durch die beiden Vektoren $(2,-1,3)^T$ und $(-2,0,-3)^T$ darstellen l\u00e4sst, indem $(2,-1,3)^T$ um das zweifache und $(-2,0,-3)^T$ um das dreifache verl\u00e4ngert wird.<\/p>\n
Eine wichtige, andere Schreibweise ist, die LK als Matrix$\\cdot$Vektor schreiben zu k\u00f6nnen:<\/p>\n
\\begin{align*}
Das stellt im Prinzip ein gel\u00f6stes inhomogenes LGS dar.<\/p>\n
Untervektorraum<\/h2>\n Ein Untervektorraum (auch Unterraum genannt) $U$ ist eine Teilmenge eines Vektorraums $V$, wobei $U$ selbst wieder ein Vektorraum ist.<\/p>\n
\n
Die Frage, ob $\\ldots$ ein Untervektorraum ist, ergibt somit ohne weiteres keinen Sinn. Besser: „$\\ldots$ von welchem Vektorraum?“‚<\/p>\n
Wenn wir uns bei den Vektorr\u00e4umen auf die Vektorr\u00e4ume $\\mathbb{R}$, $\\mathbb{R}^2$ und $\\mathbb{R}^3$ beschr\u00e4nken, erh\u00e4lt das Konzept des UVR einen anschaulichen Touch!<\/p>\n<\/div>\n
Es ist $U\\subseteq V$ bekannt. Alle Elemente aus $U$ sind also auch Elemente aus $V$ und $V$ unterliegt den 8 Vektorraumaxiomen. Es gen\u00fcgt daher, folgende 3 Bedingungen zu pr\u00fcfen, wenn gefragt ist, ob $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist:<\/p>\n
\n$U\\neq\\{\\}\\quad(\\text{Gilt also: }\\overrightarrow{0}\\in U?)$<\/li>\n $\\forall x,y\\in U:\\quad x\\oplus y\\in U$<\/li>\n $\\forall x\\in U\\ \\forall\\lambda\\in\\mathbb{R}:\\quad \\lambda\\odot x\\in U$<\/li>\n<\/ol>\nDiese drei Punkte k\u00f6nnen wir theoretisch zusammenfassen durch den Satz:<\/p>\n
Jede m\u00f6gliche LK von Elementen aus der nicht-leeren Menge $U$ muss wieder in $U$ liegen.<\/p>\n
\nGeraden im $\\mathbb{R}^2$ (bzw. $\\mathbb{R}^3$) durch den Ursprung sind UVR des $\\mathbb{R}^2$ (bzw. $\\mathbb{R}^3$)<\/li>\n Ebenen (im $\\mathbb{R}^3$) durch den Ursprung sind UVR des $\\mathbb{R}^3$<\/li>\n $\\mathbb{R}$ (bzw. $\\mathbb{R}^2$ oder $\\mathbb{R}^3$) selbst sind UVR des $\\mathbb{R}$ (bzw. $\\mathbb{R}^2$ oder $\\mathbb{R}^3$)<\/li>\n<\/ol>\nBeispiel<\/strong><\/p>\n$U:=\\left\\{\\overrightarrow{x}\\in\\mathbb{R}^3\\ \\Bigl|\\Bigr.\\ 3x_1+2x_2-x_3=0\\right\\}$ ist UVR des $\\mathbb{R}^3$, da:<\/p>\n
\\begin{align*}
Weiteres Beispiel<\/strong><\/p>\nWerden die Faktoren vor diesen Vektoren als variable Parameter aus $\\mathbb{R}$ gesetzt, so ergibt sich daraus jede erdenkliche LK. Die Menge aller LKs bildet dann einen UVR. Im folgenden Beispiel einen UVR des $\\mathbb{R}^3$, da die Vektoren aus dem $\\mathbb{R}^3$ stammen:<\/p>\n
\\begin{align*}
\\begin{align*}
\\begin{align*}
\\begin{align*}
\n
Das Ganze sollte dir (zumindest f\u00fcr den $\\mathbb{R}^2$ und $\\mathbb{R}^3$) bekannt vorkommen: Im Bereich der analytischen Geometrie haben wir bereits Geradengleichungen (im $\\mathbb{R}^2$ und $\\mathbb{R}^3$) und Ebenengleichungen (im $\\mathbb{R}^3$) in Parameterform kennengelernt. Wird dort der Ortsvektor zu $\\overrightarrow{0}$ gesetzt, gehen die Geraden und Ebenen durch den Ursprung, indem sie durch die Gesamtheit aller LKs der Richtungsvektoren erzeugt werden. Diese Geraden und Ebenen stellen dann UVRs dar.<\/p>\n<\/div>\n
\n
Beispiel mit Vektorraum der Polynome bis zum Grad $2$:<\/strong><\/p>\n$P_2(X):=\\left\\{ax^2+bx+c\\ |\\ a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\} \\text{ ist UVR des }P_n(X)\\ \\text{mit }n\\geq 2, da:$\n\\begin{align*}
<\/div><\/div>
<\/div>
<\/div>
<\/div><\/div><\/div>
<\/div><\/p>\n
\n
Nullvektorraum<\/h2>\n Der Nullvektorraum ist der Vektorraum, in dem nur der Nullvektor als Element enthalten ist.<\/p>\n$\\left(\\Bigl\\{0\\Bigr\\},+,\\cdot\\right)$\n
\nDer Nullvektorraum ist der kleinste Vektorraum, den es gibt (nur ein Element enthalten)<\/li>\n Der Nullvektorraum ist ein UVR zu jedem anderen Vektorraum<\/li>\n Demnach ist der Nullvektorraum auch der kleinste UVR zu jedem Vektorraum<\/li>\n<\/ul>\nDer Nullvektorraum hat als einziger Vektorraum die Dimension 0 und als einzig m\u00f6gliche Basis den Nullvektor $\\overrightarrow{0}$.<\/p>\n
Aber Achtung! Der Nullvektor darf in keiner anderen Basis als in dieser vorkommen. Das ist lediglich ein Sonderfall!<\/p>\n
Thema Vektorraum als Schaubild<\/h2>\n
Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit Verkn\u00fcpfungsgebilden). Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Sie k\u00f6nnen beliebig addiert oder mit Zahlen multipliziert werden, wobei das Ergebnis ein Vektor desselben Vektorraums ist. Inhalt auf dieser Seite Familie von Vektoren Linearkombination Untervektorraum Nullvektorraum Schaubild Vektorr\u00e4ume Zur Einf\u00fchrung in das Thema Vektorraum haben wir an […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n
Vektorraum ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit Verkn\u00fcpfungsgebilden). Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Achtung: Der...\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Vektorraum ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit Verkn\u00fcpfungsgebilden). Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Achtung: Der...\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2019-08-29T14:27:24+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Korrekte-Darstellung-Heft-1024x665.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Korrekte-Darstellung-Heft.png\",\"width\":1372,\"height\":891},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/\",\"name\":\"Vektorraum ausf\\u00fchrlich erkl\\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2019-07-09T08:43:38+00:00\",\"dateModified\":\"2019-08-29T14:27:24+00:00\",\"description\":\"Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit Verkn\\u00fcpfungsgebilden). Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Achtung: Der...\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektorraum\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14075"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14075"}],"version-history":[{"count":207,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14075\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":14604,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14075\/revisions\/14604"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14075"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=14075"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=14075"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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