- \n
- Definition zur linearen Abh\u00e4ngigkeit<\/a><\/li>\n
- Erzeugendensystem<\/a><\/li>\n
- Basis<\/a><\/li>\n
- Dimension<\/a><\/li>\n
- Koordinaten<\/a><\/li>\n
- Lineare H\u00fclle<\/a><\/li>\n<\/ul>\n
Definition zur linearen Abh\u00e4ngigkeit<\/h2>\n
Lineare Abh\u00e4ngigkeit ist formal durch die folgende Implikation definiert:<\/p>\n
Die Familie $(\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})$ ist linear unabh\u00e4ngig, wenn gilt:
\n\\begin{align}
\n&\\lambda_1\\overrightarrow{v_1}+\\lambda_2\\overrightarrow{v_2}+\\ldots+\\lambda_n\\overrightarrow{v_n}=\\overrightarrow{0}\\quad\\lambda_1=\\ldots=\\lambda_n=0
\n\\end{align}
\nAndernfalls ist $(\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})$ linear abh\u00e4ngig.<\/p>\nDiese Definition l\u00e4sst sich in folgende Darstellung umschreiben:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n{\\lambda_1\\overrightarrow{v_1}+\\lambda_2\\overrightarrow{v_2}+\\ldots+\\lambda_n\\overrightarrow{v_n}=}&&\\underbrace{\\underbrace{\\Bigl(\\overrightarrow{v_1}\\ldots\\overrightarrow{v_n}\\Bigr)}_{\\text{Matrix}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{\\lambda_1}\\\\{\\vdots}\\\\{\\lambda_n}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\vdots}\\\\{0}\\end{array}\\right)}_{\\text{LGS}}& \\ \\Rightarrow\\quad\\left(\\begin{array}{c}{\\lambda_1}\\\\{\\vdots}\\\\{\\lambda_n}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\vdots}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\\\
\n\\text{bzw. }&&\\underbrace{\\underbrace{\\Bigl(\\overrightarrow{v_1}\\ldots\\overrightarrow{v_n}\\Bigr)}_{\\text{Matrix}}\\cdot\\overrightarrow{\\lambda}=\\overrightarrow{0}}_{\\text{LGS}}& \\ \\Rightarrow\\quad\\overrightarrow{\\lambda}=\\overrightarrow{0}\\notag
\n\\end{align*}<\/p>\nDie Vektoren $\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n}$ sind dabei die Spalten der Matrix.<\/p>\n
\nWas sehen wir in dieser Darstellung?<\/strong>
\nDie Spaltenvektoren einer Matrix sind genau dann linear unabh\u00e4ngig, wenn das zugeh\u00f6rige homogene LGS eindeutig l\u00f6sbar ist.<\/p>\n\u00c4quivalent: Die Spaltenvektoren einer Matrix sind genau dann linear abh\u00e4ngig, wenn das zugeh\u00f6rige homogene LGS unendlich viele L\u00f6sungen besitzt.<\/p>\n<\/div>\n
Wichtig zu wissen:<\/p>\n
- \n
- Ist die Matrix quadratisch, k\u00f6nnen die Spaltenvektoren l.u. oder l.a. sein<\/li>\n
- Hat die Matrix mehr Zeilen als Spalten (also die Anzahl der Spaltenvektoren ist kleiner als die Anzahl ihrer Eintr\u00e4ge), k\u00f6nnen die Spaltenvektoren l.u. oder l.a. sein<\/li>\n
- Hat die Matrix mehr Spalten als Zeilen (also die Anzahl der Spaltenvektoren ist gr\u00f6\u00dfer als die Anzahl ihrer Eintr\u00e4ge), sind die Spaltenvektoren l.a.!<\/li>\n<\/ul>\n
Ab hier sollte dir nun klar sein, dass<\/p>\n
- \n
- eine LK eines Vektors durch eine l.u. Familie von Vektoren immer eindeutig ist<\/li>\n
- eine LK eines Vektors durch eine l.a. Familie von Vektoren immer mehrdeutig ist<\/li>\n<\/ul>\n
Schnelltests zur linearen Unabh\u00e4ngigkeit und linearen Abh\u00e4ngigkeit<\/h3>\n
Es gibt einige Methoden (wir haben diese einfach „Schnelltests“ genannt), mit denen wir eine Familie von Vektoren auf lineare (Un)Abh\u00e4ngigkeit \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen.
\n\nM\u00f6glicherweise darfst du diese Schnelltests in deiner Mathematik-Veranstaltung nicht offiziell zur Argumentation benutzen. Sie dienen dir allerdings trotzdem enorm f\u00fcrs Verst\u00e4ndnis!<\/p>\n<\/div><\/p>\n
- \n
- Wenn der Nullvektor in einer Familie enthalten ist, ist diese immer l.a.
\nFamilie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{2}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{-5}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.a.,\\quad Familie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.a.,\\quad\\ldots[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/p>\n
- \n
- Wenn eine Familie nur aus einem Vektor ($\\neq\\overrightarrow{0}$) besteht, dann ist diese l.u.
\nFamilie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{2}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.u.,\\quad Familie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.u.,\\quad\\ldots[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/p>\n
- \n
- Wenn eine Familie aus zwei Vektoren besteht und diese beiden parallel zueinander stehen bzw. Vielfache sind, ist die Familie l.a.
\nFamilie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{4}\\\\{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-8}\\\\{-4}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.a., da die Vektoren Vielfache sind: $-2\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{4}\\\\{2}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-8}\\\\{-4}\\end{array}\\right)$<\/li>\n<\/ul>\n<\/p>\n
- \n
- Wenn eine Familie l.a. ist und es werden Vektoren hinzugef\u00fcgt, bleibt sie l.a.
\nFamilie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{-1}{4}{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-8}\\\\{-4}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.a. (s.o.), also ist auch $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{4}\\\\{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{7}\\\\{9}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-8}\\\\{-4}\\end{array}\\right)\\right)$ l.a.<\/li>\n<\/ul>\n<\/p>\n
- \n
- Wenn eine Familie l.u. ist und es werden Vektoren herausgenommen, bleibt sie l.u.
\nFamilie $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\right)$ ist l.u., also ist auch $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)$ l.u.<\/li>\n<\/ul>\nErzeugendensystem<\/h2>\n
Ein Erzeugendensystem (EZS) eines Vektorraums $V$ ist eine Familie von Vektoren, die $V$ durch die Menge aller ihrer Linearkombinationen erzeugt.<\/p>\n
\nGanz allgemein ausgedr\u00fcckt ist jede Familie von Vektoren ein EZS f\u00fcr einen entsprechenden Vektorraum. Daher ergibt die reine Frage, ob … ein EZS ist, wenig Sinn (vergleiche mit der Fragestellung bei einem UVR)<\/p>\n<\/div>\n
An die Anzahl der Vektoren aus der Familie sind keine Bedingungen gekn\u00fcpft (sprich, ob die Familie von Vektoren l.u. oder l.a. ist, spielt keine Rolle; es d\u00fcrfen sogar unendlich viele Vektoren ein EZS bilden). Sie m\u00fcssen nat\u00fcrlich lediglich aus dem selben Vektorraum stammen.
\n\\begin{align*}
\n\\displaystyle \\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{2}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{-2}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right) \\text{ kann kein EZS sein, da } (1,2,3)^T\\in\\mathbb{R}^3 \\text{ und } (-2,1)^T\\in\\mathbb{R}^2 \\text{ Vektoren aus verschiedenen Vektorr\u00e4umen sind. }
\n\\end{align*}<\/p>\nBasis<\/h2>\n
Eine Basis ist ein linear unabh\u00e4ngiges EZS. Vektoren aus einer Basis werden auch als Basisvektoren bezeichnet.<\/p>\n
\nAnders als bei einem allgemeinen EZS, ergibt die Frage, ob … eine Basis ist, schon mehr Sinn. Denn eine Basis ist eine Familie aus l.u. Vektoren. Dennoch wird auch hier meistens gefragt: „Ist … eine Basis von …?“<\/p>\n<\/div>\n
Dimension<\/h2>\n
Die Dimension eines Vektorraums $V$ ($\\dim(V)$) entspricht der Anzahl an linear unabh\u00e4ngigen Vektoren, die diesen Raum durch Linearkombinationen erzeugen k\u00f6nnen.<\/p>\n
\nSp\u00e4ter werden wir die Dimension durch den Rang leicht bestimmen k\u00f6nnen!<\/p>\n<\/div>
\nWir k\u00f6nnen auch sagen: Die Dimension eines Vektorraums $V$ entspricht der Anzahl an Vektoren in einer zugeh\u00f6rigen Basis von $V$.<\/p>\nKoordinaten<\/h2>\n
Der Begriff „Koordinaten“ sollte dir schon bez\u00fcglich der Lagebeschreibung von Punkten etwas sagen. Im $\\mathbb{R}^2$ lesen wir die Koordinaten eines Punktes an der $x$– und $y$-Achse ab, um zu beschreiben, wo sich der Punkt befindet. Im $\\mathbb{R}^3$ \u00e4quivalent noch zus\u00e4tzlich mit der $z$-Achse dazu. Wenn wir hinterfragen, warum wir das genau wie gerade beschrieben tun, kommen wir (in Vektorschreibweise) zu:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{3}\\\\{4}\\end{array}\\right)=\\underbrace{\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{0}\\end{array}\\right)}_{\\ast^1}+\\underbrace{\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{3}\\\\{0}\\end{array}\\right)}_{\\ast^2}+\\underbrace{\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)}_{\\ast^3}=\\underbrace{\\textbf{2}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{0}\\end{array}\\right)+\\textbf{3}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)+\\textbf{4}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)}_{\\ast^4}
\n\\end{align*}<\/p>\n$\\ast^1$: Wir gehen im Raum 2 Einheiten in $x$-, 0 Einheiten in $y$– und 0 Einheiten in $z$-Richtung.
\n$\\ast^2$: Wir gehen im Raum 0 Einheiten in $x$-, 3 Einheiten in $y$– und 0 Einheiten in $z$-Richtung.
\n$\\ast^3$: Wir gehen im Raum 0 Einheiten in $x$-, 0 Einheiten in $y$– und 4 Einheiten in $z$-Richtung.
\n$\\ast^4$: Darstellung als $\\textbf{Koordinaten}$ $\\cdot$ Vektor<\/p>\nAuf der $x$-, $y$– (und $z$-)Achse befinden sich also Basisvektoren (hier die Standardbasis), mit denen wir die Lage von Punkten beschreiben k\u00f6nnen.<\/p>\n
\nKoordinaten eines Punktes\/Vektors m\u00fcssen wir streng genommen immer in Bezug zu einem EZS angeben. Wenn dies nicht der Fall ist, ist das EZS immer die Standardbasis.<\/p>\n<\/div>\n
Nun ist es nat\u00fcrlich extrem wichtig, mit welchen Vektoren wir einen Punkt erreichen. An dieser Stelle merken wir uns:<\/p>\n
- \n
- Koordinaten eines Punktes bzgl. einer Basis sind eindeutig!<\/li>\n
- Koordinaten eines Punktes bzgl. eines EZS (welches keine Basis ist!) sind mehrdeutig!<\/li>\n<\/ul>\n
Lineare H\u00fclle<\/h2>\n
Die Lineare H\u00fclle (auch der Spann oder das Erzeugnis genannt) eines Erzeugendensystems ist ein Untervektorraum des Vektorraums $V$, aus dem die Vektoren im Erzeugendensystem stammen. Visualisiert sieht dies wie folgt aus:<\/p>\n
![\"lineare](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/lineare-H\u00fclle-1024x275.jpg\")
<\/p>\nAls Gleichung in „Wortlaut“ ist das:
\n\\begin{align}
\nL \\ \\text{(Familie von Vektoren aus V)}=\\text{UVR von }V\\quad\\text{oder}\\quad L \\ (\\text{EZS aus V})=\\text{UVR von }V
\n\\end{align}<\/p>\nDie lineare H\u00fclle einer Familie von Vektoren entsteht durch die Menge aller m\u00f6glichen Linearkombinationen der Vektoren:
\n\\begin{align}
\nL \\ (\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots)&=\\text{span}\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots)=\\left\\langle\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots\\right\\rangle\\\\
\n&:=\\{\\lambda_1\\overrightarrow{v}_1+\\lambda_2\\overrightarrow{v}_2+\\ldots\\ |\\ \\lambda_1,\\lambda_2,\\ldots\\in\\mathbb{R}\\}
\n\\end{align}<\/p>\n\\begin{align}
\nL \\ (\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots), \\ \\text{span}(\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots) \\text{ und } \\left\\langle\\overrightarrow{v}_1,\\overrightarrow{v}_2,\\ldots\\right\\rangle \\text{ sind also nur Kurzschreibweisen! }
\n\\end{align}<\/p>\nZusammenh\u00e4nge EZS – L(EZS)<\/h3>\n
Diese Zusammenh\u00e4nge sind f\u00fcr unser Verst\u00e4ndnis extrem wichtig! Im Prinzip geht es hier immer darum, ob sich die Dimension der linearen H\u00fclle erh\u00f6ht\/verringert (dann \u00e4ndert sich die lin. H\u00fclle) oder ob die Dimension gleich bleibt (dann bleibt auch die lin. H\u00fclle gleich).<\/p>\n
Das nat\u00fcrlich immer ausgehend von einer bestimmten lin. H\u00fclle. Nat\u00fcrlich k\u00f6nnen zwei verschiedene lin. H\u00fcllen die gleiche Dimension haben!<\/p>\n
- \n
- Wenn ein EZS l.u. ist und es wird ein Vektor aus dem EZS herausgestrichen, \u00e4ndert sich die lineare H\u00fclle (Dimension verringert sich um 1)<\/li>\n
- Wenn ein EZS l.u. ist und es wird ein Vektor zu dem EZS hinzugef\u00fcgt, kommt es darauf an:\n
- \n
- Ist der hinzugef\u00fcgte Vektor eine LK von den urspr\u00fcnglichen Vektoren, so wird das EZS l.a. aber die lineare H\u00fclle \u00e4ndert sich nicht (denn der neue Vektor l\u00e4sst sich durch die urspr\u00fcnglichen als LK darstellen und erh\u00f6ht somit die Dimension der lin. H\u00fclle nicht!)<\/li>\n
- Ist der hinzugef\u00fcgte Vektor keine LK von den urspr\u00fcnglichen Vektoren, so bleibt das EZS l.u., aber die lineare H\u00fclle \u00e4ndert sich (Dimension erh\u00f6ht sich um 1)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
- Wenn ein EZS l.a. ist und es wird ein Vektor aus dem EZS herausgestrichen, kann sich die lineare H\u00fclle \u00e4ndern, sie muss aber nicht. Es kommt darauf an:\n
- \n
- L\u00e4sst sich der herausgestrichene Vektor als LK der noch \u00fcbrigen Vektoren darstellen, dann \u00e4ndert sich die lin. H\u00fclle nicht (Dimension bleibt gleich, denn der herausgestrichene Vektor trug nichts zur lin. H\u00fclle bei!)<\/li>\n
- L\u00e4sst sich der herausgestrichene Vektor nicht als LK der noch \u00fcbrigen Vektoren darstellen, dann \u00e4ndert sich die lin. H\u00fclle (Dimension verringert sich um 1)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
- Wenn ein EZS l.a. ist und es wird ein Vektor zu dem EZS hinzugef\u00fcgt, kann sich die lineare H\u00fclle \u00e4ndern, sie muss aber nicht. Es kommt darauf an:\n
- \n
- L\u00e4sst sich der hinzugef\u00fcgte Vektor als LK der anderen Vektoren darstellen, dann \u00e4ndert sich die lin. H\u00fclle nicht (Dimension bleibt gleich, denn der hinzugef\u00fcgte Vektor tr\u00e4gt nichts zur lin. H\u00fclle bei!)<\/li>\n
- L\u00e4sst sich der hinzugef\u00fcgte Vektor nicht als LK der anderen Vektoren darstellen, dann \u00e4ndert sich die lin. H\u00fclle (Dimension erh\u00f6ht sich um 1)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n
Du solltest merken, dass viele Aussagen einfacher und eindeutiger von der Hand gehen, wenn ein EZS eine Basis ist. Basen sind daher „gute“ Erzeugendensysteme.<\/p>\n<\/div>\n
Pr\u00fcfen, ob eine gegebene Familie von Vektoren $(\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})$ ein EZS eines Vektorraums $V$ ist (also ob L $\\ (\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})=V$ gilt):<\/strong><\/p>\n
Zuerst: (Originales) EZS von $V$ ausfindig machen (kleinstm\u00f6gliche Anzahl an Vektoren). Oft ist das schon gegeben. Dann m\u00fcssen die folgenden beiden Punkte erf\u00fcllt sein:<\/p>\n
- \n
- Jeder Vektor aus dem EZS von $V$ muss eine LK der Vektoren der Familie $(\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})$ sein.<\/li>\n
- $\\dim(V)=\\dim\\bigl(L \\ (\\overrightarrow{v_1},\\ldots,\\overrightarrow{v_n})\\bigr)$<\/li>\n<\/ul>\n
Gegeben ist ein Vektorraum $V=\\left\\{s\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right)+t\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{-3}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\ \\Bigl|\\Bigr.\\ s,t\\in\\mathbb{R}\\right\\}$<\/p>\n
Gilt $L \\ \\left(\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-1}\\\\{5}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{7}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{-5}\\\\{11}\\end{array}\\right)\\right)=V$?<\/p>\n
Das EZS von $V$ ist ablesbar: $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{-3}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)$<\/p>\n
Jetzt m\u00fcssen die folgenden LGS l\u00f6sbar sein:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\underbrace{\\underbrace{\\begin{pmatrix} % 3×3
\n2 & 1 & 4 \\\\
\n-1 & 7 & -5 \\\\
\n5 & 0 & 11
\n\\end{pmatrix}}_{A}\\left(\\begin{array}{c}{x_1}\\\\{x_2}\\\\{x_3}\\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right)}_{\\text{LGS 1}}\\quad\\text{und}\\quad\\underbrace{\\underbrace{\\begin{pmatrix} % 3×3
\n2 & 1 & 4 \\\\
\n-1 & 7 & -5 \\\\
\n5 & 0 & 11
\n\\end{pmatrix}}_{A}\\left(\\begin{array}{c}{x_1}\\\\{x_2}\\\\{x_3}\\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{-3}\\\\{1}\\end{array}\\right)}_{\\text{LGS 2}}
\n\\end{align*}<\/p>\nDa es hier nur um die L\u00f6sbarkeit geht und nicht um eine konkrete L\u00f6sung, reicht der Gau\u00df-Algorithmus bis zur ZSF. Au\u00dferdem k\u00f6nnen wir beide Rechnungen gleichzeitig durchf\u00fchren, denn die \u00dcberf\u00fchrung der Matrix in ZSF ist bei beiden LGS gleich:<\/p>\n
![\"Lineare](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Bild1-1024x329.png\")
<\/p>\nWir sehen, dass sowohl LGS 1 als auch LGS 2 l\u00f6sbar sind (mehrdeutig).<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\text{Da }\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{-3}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right) \\text{ l.u. (2 Vektoren und keine Vielfachen), ist } \\text{dim}(V)=2.
\n\\end{align*}<\/p>\nWir lesen ab, dass $\\text{rg(A)}=2$ gilt und damit $\\dim(L\\left(\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-1}\\\\{5}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{7}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{-5}\\\\{11}\\end{array}\\right)\\right)=2$<\/p>\n
Also gilt $L\\left(\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{-1}\\\\{5}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{7}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{-5}\\\\{11}\\end{array}\\right)\\right)=V$.<\/p>\n
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Lineare Unabh\u00e4ngigkeit - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Lineare Unabh\u00e4ngigkeit - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Eine Familie von Vektoren ist linear unabh\u00e4ngig, wenn keine Linearkombination der Vektoren den Nullvektor ergibt, au\u00dfer alle Vektoren werden mit Null multiplizieren. In anderen Worten ausgedr\u00fcckt ist das gleichbedeutend mit: Eine Familie von Vektoren ist linear unabh\u00e4ngig, wenn sich kein einziger Vektor aus der Familie durch eine Linearkombination der verbleibenden Vektoren aus der Familie darstellen […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2019-08-14T08:24:07+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/lineare-H\u00fclle-1024x275.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/lineare-H\\u00fclle.jpg\",\"width\":1146,\"height\":308,\"caption\":\"lineare H\\u00fclle\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/\",\"name\":\"Lineare Unabh\\u00e4ngigkeit - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2019-07-10T13:07:55+00:00\",\"dateModified\":\"2019-08-14T08:24:07+00:00\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-unabhaengigkeit\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14315"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14315"}],"version-history":[{"count":87,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14315\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":14423,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14315\/revisions\/14423"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14315"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=14315"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=14315"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
- Wenn eine Familie l.u. ist und es werden Vektoren herausgenommen, bleibt sie l.u.
- Wenn eine Familie l.a. ist und es werden Vektoren hinzugef\u00fcgt, bleibt sie l.a.
- Wenn eine Familie aus zwei Vektoren besteht und diese beiden parallel zueinander stehen bzw. Vielfache sind, ist die Familie l.a.
- Wenn eine Familie nur aus einem Vektor ($\\neq\\overrightarrow{0}$) besteht, dann ist diese l.u.
- Wenn der Nullvektor in einer Familie enthalten ist, ist diese immer l.a.
- Erzeugendensystem<\/a><\/li>\n