{"id":14424,"date":"2019-08-14T14:11:14","date_gmt":"2019-08-14T12:11:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=14424"},"modified":"2019-08-30T13:27:42","modified_gmt":"2019-08-30T11:27:42","slug":"basiswechsel","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/basiswechsel\/","title":{"rendered":"Basiswechsel (Vektorraum)"},"content":{"rendered":"<p>Der Basiswechsel (Basistransformation) geh\u00f6rt zum mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den \u00dcbergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums \u00fcber einem K\u00f6rper K. Dadurch \u00e4ndern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.<\/p>\n<p>Mit Hilfe von Basen kann jeder Vektor im erzeugten Vektorraum eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden. Daher sind sie von weit h\u00f6herem Interesse als Erzeugendensysteme, die keine Basen sind. Bevor wir uns mit dem Basiswechsel in diesem Artikel auseinandersetzen, kl\u00e4ren wir zun\u00e4chst, welche speziellen Basen\/-Bezeichnungen wir kennen m\u00fcssen.<\/p>\n<p><strong>Inhalt auf dieser Seite<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#standardbasis\">Standardbasis<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#orthogonalbasis\">Orthogonalbasis<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gram-schmidt-verfahren\">Gram-Schmidt-Verfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#orthonormalbasis\">Orthonormalbasis<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#orthogonalisierungsverfahren\">Orthogonalisierungsverfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#orthonormalisierungsverfahren\">Orthonormalisierungsverfahren<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h3 id=\"standardbasis\" class=\"anchor\">Standardbasis<\/h3>\n<p>Als Standardbasis des $\\mathbb{R}^n$ wird die folgende Familie von Vektoren bezeichnet:<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{\\vdots}\\\\{0}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{\\vdots}\\\\{0}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\ldots,\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\\\{\\vdots}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{0}\\\\{\\vdots}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)=\\left(\\overrightarrow{e_1},\\overrightarrow{e_2},\\ldots,\\overrightarrow{e_{n-1}},\\overrightarrow{e_n}\\right)<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p>Die Basis als Spaltenvektoren in eine Matrix geschrieben, w\u00fcrde das die Einheitsmatrix $E_n$ ergeben.<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"orthogonalbasis\" class=\"anchor\">Orthogonalbasis<\/h3>\n<p>Eine Basis wird Orthogonalbasis (OGB) genannt, wenn jeder Vektor aus der Basis zu den anderen Vektoren orthogonal\/senkrecht steht (durch Skalarprodukt pr\u00fcfbar).<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB=\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{-1}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{-2}\\\\{13}\\\\{5}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{1}\\\\{-1}\\end{array}\\right)\\right) \\text{ ist eine OGB des } \\mathbb{R}^3, \\text{ da }:<br \/>\n\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{-1}\\\\{3}\\end{array}\\right) \\cdot \\left(\\begin{array}{c}{-2}\\\\{13}\\\\{5}\\end{array}\\right)=0,\\ \\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{-1}\\\\{3}\\end{array}\\right) \\cdot \\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{1}\\\\{-1}\\end{array}\\right)=0,\\ \\left(\\begin{array}{c}{-2}\\\\{13}\\\\{5}\\end{array}\\right) \\cdot \\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{1}\\\\{-1}\\end{array}\\right)=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Vektoren sind damit auch eindeutig linear unabh\u00e4ngig! Damit ist $B$ eine OGB des $\\mathbb{R}^3$.<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"orthonormalbasis\" class=\"anchor\">Orthonormalbasis<\/h3>\n<p>Eine Orthonormalbasis (ONB) hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li>Sie ist eine Orthogonalbasis<\/li>\n<li>Alle Vektoren aus der Basis haben die L\u00e4nge 1<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Standardbasis ist ebenfalls eine ONB!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB=\\left(\\left(\\begin{array}{c}{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{-\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)\\right) \\text{ ist eine ONB des } \\mathbb{R}^3, \\text{ da }:<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(\\begin{array}{c}{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right){\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)}=0,\\ \\left(\\begin{array}{c}{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}{-\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)=0,\\ \\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}{-\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Also ist $B$ eine OGB und wegen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\left|\\left|\\left(\\begin{array}{c}{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)\\right|\\right|=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\right)^2 + \\left({0}^2 \\right) + \\left(\\frac{2}{\\sqrt{5}}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{1+4}{5}}=1, \\quad \\left|\\left|\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)\\right|\\right|=1\\\\<br \/>\n&amp;\\left|\\left|\\left(\\begin{array}{c}{-\\frac{2}{\\sqrt{5}}}\\\\{0}\\\\{\\frac{1}{\\sqrt{5}}}\\end{array}\\right)\\right|\\right|=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{\\sqrt{5}}\\right)^2 + \\left({0}^2 \\right) + \\left(\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{4+1}{5}}=1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>auch eine ONB des $\\mathbb{R}^3$.<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"gram-schmidt-verfahren\" class=\"anchor\">Gram-Schmidt-Verfahren<\/h3>\n<p>Das Gram-Schmidt-Verfahren ist ein Algorithmus um eine beliebige Basis zu einer Orthogonal- oder Orthonormalbasis zu transformieren ohne die lineare H\u00fclle, die von der Basis aufgespannt wird, zu \u00e4ndern.<\/p>\n<p>Es kursieren zwei m\u00f6gliche Algorithmen:<\/p>\n<ul>\n<li>(a) das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren<\/li>\n<li>(b) das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wie die Namen schon sagen, erhalten wir mit (a) eine Orthogonal- und mit (b) eine Orthonormalbasis.<\/p>\n<p>Mit (a) l\u00e4sst sich unserer Meinung nach besser rechnen. Falls du explizit eine Orthonormalbasis mit dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnen sollst, kannst du auch erst mit (a) rechnen und nachtr\u00e4glich alle Basisvektoren normieren, anstatt mit (b) zu verfahren.<\/p>\n<p><strong>Lernvideo zum Gram-Schmidt-Verfahren<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_SLEElig-C9w\"><div id=\"lyte_SLEElig-C9w\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FSLEElig-C9w%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/SLEElig-C9w\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FSLEElig-C9w%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"orthogonalisierungsverfahren\" class=\"anchor\">(a) Orthogonalisierungsverfahren<\/h3>\n<p>Wenn eine Basis ($\\overrightarrow{a_1},\\overrightarrow{a_2},\\overrightarrow{a_3},\\ldots,\\overrightarrow{a_n}$) gegeben ist und in eine Orthogonalbasis ($\\overrightarrow{u_1},\\overrightarrow{u_2},\\overrightarrow{u_3},\\ldots,\\overrightarrow{u_n}$) transformiert werden soll, dann:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u_1}&amp;:=\\overrightarrow{a_1}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u_2}&amp;=\\overrightarrow{a_2}-\\frac{{\\overrightarrow{a_2}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}\\\\[2mm]<br \/>\n\\overrightarrow{u_3}&amp;=\\overrightarrow{a_3}-\\frac{{\\overrightarrow{a_3}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}-\\frac{{\\overrightarrow{a_3}}\\bullet{\\overrightarrow{u_2}}}{\\overrightarrow{u_2}\\bullet\\overrightarrow{u_2}}\\cdot \\overrightarrow{u_2}\\\\[2mm]<br \/>\n\\overrightarrow{u_4}&amp;=\\overrightarrow{a_4}-\\frac{{\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}-\\frac{{\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_2}}}{\\overrightarrow{u_2}\\bullet{\\overrightarrow{u_2}}}\\cdot \\overrightarrow{u_2}-\\frac{{\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_3}}}{\\overrightarrow{u_3}\\bullet{\\overrightarrow{u_3}}}\\cdot \\overrightarrow{u_3}\\\\[2mm]&amp;\\ldots\\\\[2mm]<br \/>\n\\overrightarrow{u_n}&amp;=\\overrightarrow{a_n}-\\sum_{i=1}^{n-1}\\frac{{\\overrightarrow{a_n}}\\bullet{\\overrightarrow{u_i}}}{{\\overrightarrow{u_i}}\\bullet{\\overrightarrow{u_i}}}\\cdot \\overrightarrow{u_i}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\nIn welcher Reihenfolge wir die Vektoren aus der Ausgangsbasis mit $\\overrightarrow{a_1},\\overrightarrow{a_2},\\ldots$ betiteln, spielt keine Rolle.<br \/>\n<\/div>\n<p>Teile dieser Formeln solltest du bereits kennen, denn wenn wir uns den Beginn des Algorithmus<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u_1}&amp;:=\\overrightarrow{a_1}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u_2}&amp;=\\overrightarrow{a_2}-\\frac{{\\overrightarrow{a_2}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>ansehen, ist der Teil $\\frac{{\\overrightarrow{a_2}}{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}$ nichts anderes, als die Projektion von $\\overrightarrow{a_2}$ auf $\\overrightarrow{u_1}$, also $\\overrightarrow{a_2}_{||}$ bzgl. $\\overrightarrow{u_1}$.<\/p>\n<p>Damit ist $\\overrightarrow{u_2}:=\\overrightarrow{a_2}-\\frac{{\\overrightarrow{a_2}}{\\overrightarrow{u_1}}}{{\\overrightarrow{u_1}}{\\overrightarrow{u_1}}}\\cdot \\overrightarrow{u_1}$ der senkrechte Teil von $\\overrightarrow{a_2}$ bzgl. $\\overrightarrow{u_1}$. Das setzt sich dann f\u00fcr $\\overrightarrow{u_3},\\,\\overrightarrow{u_4},\\ldots$ fort und wir erhalten eine Orthogonalbasis.<\/p>\n<p>Transformiere die Basis $B=\\left(\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{3}\\\\{-1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)\\right)$ in eine Orthogonalbasis.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u_1}:&amp;=\\left(\\begin{array}{c}\\\\{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\quad {{\\overrightarrow{u_1}}{\\overrightarrow{u_1}}=5}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u_2}&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{3}\\\\{-1}\\end{array}\\right)-\\frac{{\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{3}\\\\{-1}\\end{array}\\right)}{\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)}}{5}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{3}\\\\{-1}\\end{array}\\right)-\\frac{5}{5}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right),\\quad {{\\overrightarrow{u_2}}{\\overrightarrow{u_2}}=14}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u_3}&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)-\\frac{{\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)}{\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)}}{5}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)-\\frac{{\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)}{\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right)}}{14}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)-\\frac{2}{5}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)-\\frac{9}{14}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right)=\\frac{70}{70}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{1}\\\\{-2}\\end{array}\\right)-\\frac{28}{70}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)-\\frac{45}{70}\\cdot \\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n&amp;=\\frac{1}{70}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{140-56-45}\\\\{70-0-135}\\\\{-140-28+90}\\end{array}\\right)=\\frac{1}{70}\\left(\\begin{array}{c}{39}\\\\{-65}\\\\{-78}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{\\frac{39}{70}}\\\\{-\\frac{13}{14}}\\\\{-\\frac{39}{35}}\\end{array}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Orthogonalbasis $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{2}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{3}\\\\{-2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{39}{70}\\\\{-\\frac{13}{14}}\\\\{-\\frac{39}{35}}\\end{array}\\right)\\right)$ gefunden.<\/p>\n<div class=\"box info\">\nAchte genau auf die jeweilige Fragestellung! H\u00e4tten wir hier zu Beginn gefragt &#8222;Finde eine Orthogonalbasis zu dem UVR, den die Basis $B$ aufspannt \/ zu $L(B)$&#8222;&#8218;, w\u00e4re die Antwort leicht: Da die Basis $B$ den $\\mathbb{R}^3$ aufspannt ($L(B)=\\mathbb{R}^3$), k\u00f6nntest du ganz einfach die Standardbasis des $\\mathbb{R}^3$ angeben.<br \/>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3 id=\"orthonormalisierungsverfahren\" class=\"anchor\">Orthonormalisierungsverfahren<\/h3>\n<p>Wenn eine Basis ($\\overrightarrow{a_1},\\overrightarrow{a_2},\\overrightarrow{a_3},\\ldots,\\overrightarrow{a_n}$) gegeben ist und in eine Orthonormalbasis ($\\overrightarrow{u_1},\\overrightarrow{u_2},\\overrightarrow{u_3},\\ldots,\\overrightarrow{u_n}$) transformiert werden soll, dann:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_1}&amp;:=\\overrightarrow{a_1},\\quad \\overrightarrow{u_1}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_1}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_1}}\\right|\\right|}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_2}&amp;=\\overrightarrow{a_2}-\\left({\\overrightarrow{a_2}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}\\right)\\cdot \\overrightarrow{u_1},\\quad \\overrightarrow{u_2}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_2}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_2}}\\right|\\right|}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_3}&amp;=\\overrightarrow{a_3}-\\left({\\overrightarrow{a_3}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}\\right)\\cdot \\overrightarrow{u_1}-\\left({\\overrightarrow{a_3}}\\bullet{\\overrightarrow{u_2}}\\right)\\cdot \\overrightarrow{u_2},\\quad \\overrightarrow{u_3}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_3}}<br \/>\n{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_3}}\\right|\\right|}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_4}&amp;=\\overrightarrow{a_4}-\\left({\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}\\right)\\cdot \\overrightarrow{u_1}-\\left({\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_2}}\\right)\\cdot \\overrightarrow{u_2}-\\left({\\overrightarrow{a_4}}\\bullet{\\overrightarrow{u_3}}\\right)\\cdot<br \/>\n\\overrightarrow{u_3},\\quad \\overrightarrow{u_4}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_4}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_4}}\\right|\\right|}\\\\<br \/>\n&amp;\\ldots\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_n}&amp;=\\overrightarrow{a_n}-\\sum_{i=1}^{n-1}{\\left({\\overrightarrow{a_n}}{\\overrightarrow{u_i}}\\right)\\cdot\\overrightarrow{u_i}},\\quad \\overrightarrow{u_n}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_n}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_n}}\\right|\\right|}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p>Im Gegensatz zum Orthogonalisierungsverfahren normieren wir hier jeden Vektor, direkt nachdem wir ihn berechnet haben. Damit sparen wir uns auch bei den weiteren Berechnungen das &#8222;${\\overrightarrow{u}}{\\overrightarrow{u}}$&#8220; in den Nennern.<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Finde eine Orthonormalbasis zu dem UVR, der der Ebene $E:\\ \\overrightarrow{x}=\\lambda\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)+\\mu\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right),\\ \\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}$ entspricht.<\/p>\n<p>Eine Basis zu $E$ ist durch $\\left(\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)\\right)$ gegeben.<\/p>\n<p><strong>Verfahren (a):<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u_1}:&amp;= \\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\quad {{\\overrightarrow{u_1}}\\bullet{\\overrightarrow{u_1}}=36+3+9=48}\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u_2}&amp;= \\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)-\\frac{{\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)}\\bullet\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)}{48}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)-\\frac{48}{48}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\sqrt{3}}\\\\{1}\\end{array}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Normieren:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{\\overrightarrow{u_1}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u_1}}\\right|\\right|}=\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\qquad\\frac{\\overrightarrow{u_2}}{{\\overrightarrow{u_2}}}=\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\sqrt{3}}\\\\{1}\\end{array}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Eine Orthonormalbasis zu $E$ ist also $\\left(\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\sqrt{3}}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)$<\/p>\n<p><strong>Verfahren (b):<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_1}:&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right),\\quad \\overrightarrow{u_1}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_1}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_1}}\\right|\\right|}=\\frac{1}{48}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n\\overrightarrow{u^*_2}&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)-\\left({\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)}\\bullet{\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)}\\right)\\cdot\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)-\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot 48\\cdot\\frac{1}{\\sqrt{48}}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{0}\\\\{4}\\end{array}\\right)-\\left(\\begin{array}{c}{6}\\\\{-\\sqrt{3}}\\\\{3}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\sqrt{3}}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n&amp;\\overrightarrow{u_2}=\\frac{\\overrightarrow{u^*_2}}{\\left|\\left|{\\overrightarrow{u^*_2}}\\right|\\right|}=\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{\\sqrt{3}}\\\\{1}\\end{array}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"basiswechsel\" class=\"anchor\">Basiswechsel<\/h2>\n<p>Wenn wir die Lage von Punkten beschreiben, ben\u00f6tigen wir daf\u00fcr Koordinaten. Diese beziehen sich allerdings immer auf eine bestimmte Basis. Normalerweise ist das die Standardbasis (Koordinaten ablesbar an der $x$-, $y$&#8211; und $z$-Achse). Wollen wir die Lage eines Punktes mit einer anderen Basis beschreiben, so f\u00fchren wir einen Basiswechsel durch.<\/p>\n<p>Komfortabel w\u00e4re es nun, wenn wir eine Matrix h\u00e4tten, mit welcher wir die Koordinaten eines Punktes bzgl. einer Basis $B$ in eine andere Basis $B^\\prime$ \u00fcberf\u00fchren k\u00f6nnten. Diese Matrix wird Basiswechselmatrix oder Transformationsmatrix genannt und f\u00fcr gew\u00f6hnlich mit ${T}^B_{B^&#8216;}$ bezeichnet.<\/p>\n<p>Wenn nun mit (allgemein) $B=(\\overrightarrow{b_1},\\overrightarrow{b_2},\\overrightarrow{b_3},\\ldots)$ und $B^\\prime=(\\overrightarrow{b^\\prime_1},\\overrightarrow{b^\\prime_2},\\overrightarrow{b^\\prime_3},\\ldots)$ zwei verschiedene Basen des selben Vektorraums gegeben sind, gilt f\u00fcr einen beliebigen Punkt $P=(p_1,p_2,p_3,\\ldots)$ bzw. $\\overrightarrow{0P}={(p_1,\\ p_2,\\ p_3,\\ \\ldots)}$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{In Standardbasis:}\\quad&amp; p_1\\cdot\\overrightarrow{e_1}+p_2\\cdot\\overrightarrow{e_2}+p_3\\cdot\\overrightarrow{e_3}+\\ldots=&amp;\\overrightarrow{0P}\\\\<br \/>\n\\text{In Basis $B$:}\\quad&amp; x_{b_1}\\cdot\\overrightarrow{b_1}+x_{b_2}\\cdot\\overrightarrow{b_2}+x_{b_3}\\cdot\\overrightarrow{b_3}+\\ldots=&amp;\\overrightarrow{0P}\\\\<br \/>\n\\text{In Basis $B^\\prime$:}\\quad&amp; x_{b^\\prime_1}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_1}+x_{b^\\prime_2}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_2}+x_{b^\\prime_3}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_3}+\\ldots=&amp;\\overrightarrow{0P}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die $p_{\\ldots}$ sind die Koordinaten von $P$ bzgl. der Standardbasis, $x_{b_{\\ldots}}$ die Koordinaten bzgl. Basis $B$ und $x_{b^\\prime_{\\ldots}}$ bzgl. Basis $B^\\prime$. Wenn jetzt die Koordinaten von $P$ bzgl. Basis $B$ bekannt\/gegeben sind, k\u00f6nnen wir dies nutzen:<\/p>\n<p>\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;&amp; x_{b_1}\\cdot\\overrightarrow{b_1}+x_{b_2}\\cdot\\overrightarrow{b_2}+x_{b_3}\\cdot\\overrightarrow{b_3}+\\ldots&amp;=x_{b^\\prime_1}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_1}+x_{b^\\prime_2}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_2}+x_{b^\\prime_3}\\cdot\\overrightarrow{b^\\prime_3}+\\ldots\\notag<br \/>\n\\end{alignat}<\/p>\n<p>In Matrix-Vektor-Schreibweise:<br \/>\n\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;&amp; \\underbrace{(\\overrightarrow{b_1}\\overrightarrow{b_2}\\overrightarrow{b_3}\\ldots)}_{\\text{Matrix}}\\left(\\begin{array}{c}{x_{b_1}}\\\\{x_{b_2}}\\\\{x_{b_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right)&amp;=\\underbrace{(\\overrightarrow{b^\\prime_1}\\overrightarrow{b^\\prime_2}\\overrightarrow{b^\\prime_3}\\ldots)}_{\\text{Matrix}}\\left(\\begin{array}{c}{x_{b^\\prime_1}}\\\\{x_{b^\\prime_2}}\\\\{x_{b^\\prime_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right) \\ \\Bigl|\\Bigr.\\ \\text{Inverse von links}\\notag\\\\[2mm]<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad&amp;&amp; \\underbrace{{(\\overrightarrow{b^\\prime_1}\\overrightarrow{b^\\prime_2}\\overrightarrow{b^\\prime_3}\\ldots)}(\\overrightarrow{b_1}\\overrightarrow{b_2}\\overrightarrow{b_3}\\ldots)}_{=\\,{T}^B_{B^\\prime}}\\left(\\begin{array}{c}{x_{b_1}}\\\\{x_{b_2}}\\\\{x_{b_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right)&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{x_{b^\\prime_1}}\\\\{x_{b^\\prime_2}}\\\\{x_{b^\\prime_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad&amp;&amp; {T}^B_{B^\\prime}\\left(\\begin{array}{c}{x_{b_1}}\\\\{x_{b_2}}\\\\{x_{b_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right)&amp;=\\left(\\begin{array}{c}{x_{b^\\prime_1}}\\\\{x_{b^\\prime_2}}\\\\{x_{b^\\prime_3}}\\\\{\\vdots}\\end{array}\\right)\\quad\\text{(f\u00fcr die Berechnung der neuen Koordinaten)}\\notag<br \/>\n\\end{alignat}<\/p>\n<p>F\u00fcr die Transformationsmatrix von Basis $B$ nach Basis $B^\\prime$ gilt also:<br \/>\n\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;&amp; {T}^B_{B^\\prime}&amp;={(\\overrightarrow{b^\\prime_1}\\overrightarrow{b^\\prime_2}\\overrightarrow{b^\\prime_3}\\ldots)}(\\overrightarrow{b_1}\\overrightarrow{b_2}\\overrightarrow{b_3}\\ldots)\\notag\\\\%<br \/>\n\\Leftrightarrow\\quad&amp;&amp; (\\overrightarrow{b^\\prime_1}\\overrightarrow{b^\\prime_2}\\overrightarrow{b^\\prime_3}\\ldots)\\cdot{T}^B_{B^\\prime}&amp;=(\\overrightarrow{b_1}\\overrightarrow{b_2}\\overrightarrow{b_3}\\ldots)<br \/>\n\\end{alignat}<br \/>\nDies sind nun mehrere LGS, welche wir zusammen l\u00f6sen k\u00f6nnen:<\/p>\n<p><strong>An dieser Stelle nochmal ein Grundlagenvideo zum Basiswechsel<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_1xsnQdYLwEs\"><div id=\"lyte_1xsnQdYLwEs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F1xsnQdYLwEs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/1xsnQdYLwEs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F1xsnQdYLwEs%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<p><strong>Berechnen der Transformationsmatrix ${T}^B_{B^\\prime}$ (Basiswechsel von Basis $\\pmb{B}$ nach $\\pmb{B^\\prime}$}<\/strong><\/p>\n<p>Basen $B=(\\overrightarrow{b_1},\\overrightarrow{b_2},\\overrightarrow{b_3},\\ldots)$ und $B^\\prime=(\\overrightarrow{b^\\prime_1},\\overrightarrow{b^\\prime_2},\\overrightarrow{b^\\prime_3},\\ldots)$ gegeben.<\/p>\n<ol>\n<li>Matrizen ${B}=(\\overrightarrow{b_1}\\overrightarrow{b_2}\\overrightarrow{b_3}\\ldots)$ und ${B}^\\prime=(\\overrightarrow{b^\\prime_1}\\overrightarrow{b^\\prime_2}\\overrightarrow{b^\\prime_3}\\ldots)$ mit den jew. Basisvektoren als Spalten aufstellen<\/li>\n<li>LGS aufstellen mit Kurzschreibweise $({B}^\\prime|{B})$<\/li>\n<\/ol>\n<p>Links steht die neue Basis &#8212; Rechts steht die alte Basis!<\/p>\n<ol>\n<li>Durch elementare Zeilenumformungen die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen (wie beim Berechnen einer Inversen)<\/li>\n<li>LGS ist nun in Form $({E}|{T}^B_{B^\\prime})$ und die Transformationsmatrix kann abgelesen werden<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box info\">\n<p>Die Koordinaten der Basisvektoren in $B$ und $B^\\prime$ sind nat\u00fcrlich bzgl. der Standardbasis gegeben.<\/p>\n<p>Das LGS zu l\u00f6sen, ist normalerweise der schnellere Rechenweg, als die inverse Matrix von Basis $B^\\prime$ mit der Matrix von Basis $B$ zu multiplizieren (aus ).<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Wie lauten die Koordinaten des Punktes $P_B=(1,2,3)$ ($P_B$ bzgl. Basis $B$) bzgl. Basis $B^\\prime$ mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB=\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)\\quad\\text{und}\\quad B^\\prime=\\left(\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Matrizen aus den Basisvektoren:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n{B}=\\left(<br \/>\n\\begin{matrix} % 3&#215;3<br \/>\n1 &amp; 3 &amp; -1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 1<br \/>\n\\end{matrix}\\right),<br \/>\n\\quad{B}^\\prime=\\left(\\begin{matrix} % 3&#215;3<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 1<br \/>\n\\end{matrix}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Transformationsmatrix ${T}^B_{B^\\prime}$ bestimmen. L\u00f6se ${B}^\\prime{T}^B_{B^\\prime}={B}\\rightarrow({B}^\\prime|{B})$:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-14597\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Tranformationsmatrix-1024x542.png\" alt=\"\" width=\"646\" height=\"342\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Tranformationsmatrix-1024x542.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Tranformationsmatrix-300x159.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Tranformationsmatrix-768x407.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Tranformationsmatrix.png 1280w\" sizes=\"(max-width: 646px) 100vw, 646px\" \/><\/p>\n<p>Zur Probe:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\text{Aus Basis }B\\text{ in Standardbasis:}\\quad&amp;1\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)+2\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{3}\\\\{1}\\\\{0}\\end{array}\\right)+3\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{-1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{5}\\\\{4}\\end{array}\\right)\\\\<br \/>\n\\text{Aus Basis }B^\\prime\\text{ in Standardbasis:}\\quad&amp;5\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{1}\\\\{1}\\end{array}\\right)+0\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{0}\\\\{1}\\\\{2}\\end{array}\\right)-1\\cdot\\left(\\begin{array}{c}{1}\\\\{0}\\\\{1}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}{4}\\\\{5}\\\\{4}\\end{array}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Bzgl. der Standardbasis hat der Punkt $P$ also die Koordinaten P=(4,5,4).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der Basiswechsel (Basistransformation) geh\u00f6rt zum mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den \u00dcbergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums \u00fcber einem K\u00f6rper K. Dadurch \u00e4ndern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation. 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