Beispiel<\/strong>
\n
\nZu 1) Erste Zeile mit 3 multipliziert
\n\\begin{align*}
\n\\text{det}(\\textbf{A})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 3 & -1 & 2 \\\\
\n 0 & 3 & 4 \\\\
\n 1 & -2 & 0
\n\\end{matrix}\\right)=-14,\\qquad\\text{det}(\\widetilde{\\textbf{A}})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 9 & -3 & 6 \\\\
\n 0 & 3 & 4 \\\\
\n 1 & -2 & 0
\n\\end{matrix}\\right)=3\\cdot -14=-42
\n\\end{align*}<\/p>\nZu 2) Zweite und dritte Spalte getauscht.
\n\\begin{align*}
\n\\text{det}(\\textbf{A})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 3 & -1 & 2 \\\\
\n 0 & 3 & 4 \\\\
\n 1 & -2 & 0
\n\\end{matrix}
\n\\right)=-14,\\qquad\\text{det}(\\widetilde{\\textbf{A}})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 3 & 2 & -1 \\\\
\n 0 & 4 & 3 \\\\
\n 1 & 0 & -2
\n\\end{matrix}
\n\\right)=14
\n\\end{align*}<\/p>\n
Zu 3) $3\\cdot\\text{„dritte Zeile“}-\\text{„erste Zeile“}\\Rightarrow$ wird neue erste Zeile
\n\\begin{align*}
\n\\text{det}(\\textbf{A})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 3 & -1 & 2 \\\\
\n 0 & 3 & 4 \\\\
\n 1 & -2 & 0
\n\\end{matrix}
\n\\right)=-14,\\qquad\\text{det}(\\widetilde{\\textbf{A}})=\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 0 & -5 & -2 \\\\
\n 0 & 3 & 4 \\\\
\n 1 & -2 & 0
\n\\end{matrix}
\n\\right)=-14
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBerechnung von Determinanten<\/h2>\n
Das allgemeine Verfahren zum Berechnen von Determinanten einer $n$ x $n$-Matrix ist der Laplace’sche Entwicklungssatz. Speziell f\u00fcr eine 3 x 3-Matrix gibt es die Regel von Sarrus und das Rechenschema f\u00fcr eine 2 x 2-Matrix solltest du dir auch abseits des Entwicklungssatzes merken.<\/p>\n
1 x 1 Matrix<\/strong><\/p>\nDeterminante einer 1 x 1 Matrix entspricht ihrem einzigen Element.<\/p>\n
2 x 2 Matrix<\/strong>
\n\\begin{align}
\n&\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix}
\na & b \\\\
\nc & d
\n\\end{matrix}\\right)=a \\cdot d \\ – \\ c \\cdot b
\n\\end{align}<\/p>\n3 x 3 Matrix – Regel von Sarrus<\/strong>
\n\\begin{align}
\n&\\text{det}
\n\\left(
\n\\begin{matrix}
\na & b & c \\\\
\nd & e & f \\\\
\ng & h & i \\\\
\n\\end{matrix}\\right) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
\n\\end{align}<\/p>\nn x n Matrix – Laplace’scher Entwicklungssatz (allgemeines Verfahren)<\/strong>
\n\\begin{align}%
\n\\text{Entweder}\\quad\\text{det}(\\textbf{A})&=\\sum_{j=1}^n\\left[a_{ij}\\cdot(-1)^{i+j}\\cdot D_{ij}\\right]\\quad \\text{Entwicklung nach $i$-ter Zeile}\\\\
\n\\text{oder}\\quad\\text{det}(\\textbf{A})&=\\sum_{i=1}^n\\left[a_{ij}\\cdot(-1)^{i+j}\\cdot D_{ij}\\right]\\quad \\text{Entwicklung nach $j$-ter Spalte}
\n\\end{align}<\/p>\nWas bedeuten die Formeln bzw. wie sind diese zu lesen?<\/p>\n
\n- Es ist v\u00f6llig egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt wird (m\u00f6glichst nach der Zeile\/Spalte mit den meisten Nullen)<\/li>\n
- Term $a_{ij}$: Das Element $a_{ij}$ aus der Matrix A<\/strong><\/li>\n
- Term $(-1)^{i+j}$: „Schachbrettregel f\u00fcr Vorzeichen“.
\nMerke dir die Matrix mit dem Vorzeichenschema
\n\\begin{align*}
\n\\left(
\n\\begin{matrix}
\n + & – & + & – & \\cdots \\\\
\n – & + & – & + & \\cdots \\\\
\n + & – & + & – & \\cdots \\\\
\n – & + & – & + & \\cdots \\\\
\n \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots
\n\\end{matrix}
\n\\right)
\n\\end{align*}\n<\/li>\n - Term $D_{ij}$: Die sogenannte Unterdeterminante (oder der Minor) der Matrix A<\/strong>, wenn die $i$-te Zeile und $j$-te Spalte von A<\/strong> heraus gestrichen wird
\n\\begin{align*}
\n\\textbf{A}=
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n 1 & 3 & 8 \\\\
\n -2 & 5 & 0 \\\\
\n 4 & 6 & 7
\n\\end{matrix}\\right),\\quad D_{32}=
\n\\left|
\n\\begin{matrix} % 2×2
\n 1 & 8 \\\\
\n -2 & 0
\n\\end{matrix}\\right|,\\quad D_{13}=
\n\\left|
\n\\begin{matrix} % 2×2
\n -2 & 5 \\\\
\n 4 & 6
\n\\end{matrix}\\right|,\\quad D_{22}=
\n\\left|
\n\\begin{matrix} % 2×2
\n 1 & 8 \\\\
\n 4 & 7
\n\\end{matrix}
\n\\right|
\n\\end{align*}\n<\/li>\n- (Terme $(-1)^{i+j}\\cdot D_{ij}$ nennen sich Kofaktoren der Matrix A<\/strong>.)\n<\/ul>\n
\nWeiteres Beispiel<\/strong><\/p>\n$\\text{det}(\\textbf{A})=\\text{det}
\n\\left(\\begin{matrix} % 4×4
\n-4 & 0 & \\pmb{-1} & -1 \\\\
\n2 & 2 & \\pmb{0} & 2 \\\\
\n-2 & 3 & \\pmb{1} & -5 \\\\
\n-1 & 1 & \\pmb{0} & -2
\n\\end{matrix}\\right)
\n$\n <\/p>\n
![\"Determinante](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Bild1-1024x211.png\")
<\/p>\n$\\stackrel{\\text{Sarrus}}{=}-1\\cdot(-12+10-4-(-6)-(8)-(-10))+1\\cdot(16+0+(-2)-(2)-(0)-(-8))\\\\
\n\\stackrel{\\phantom{Sarrus}}{=}-(2)+(20)=18$\n
\nAnwendung von Determinanten<\/h2>\n
Wozu sollten wir Determinanten berechnen?<\/p>\n
Es ist ein „mathematisches Werkzeug“, mit dem wir einfach \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, ob:<\/p>\n
\n- Eine (quadratische) Matrix invertierbar\/regul\u00e4r ist<\/li>\n
- Eine Abbildung ein Automorphismus (und damit auch Iso-, Mono- und Epimorphismus) ist<\/li>\n
- Ein gegebenes EZS eine Basis ist<\/li>\n
- … usw …<\/li>\n<\/ul>\n
\nBeispiel<\/strong>
\nF\u00fcr welche Parameter $a\\in\\mathbb{R}$ ist die Abbildung $f_A$ ein Isomorphismus?
\n\\begin{align*}
\nf_A:{\\mathbb{R}^3}\\rightarrow\\mathbb{R}^3,\\overrightarrow{x}\\rightarrow\\textbf{A}\\overrightarrow{x}\\quad\\text{mit}\\quad\\textbf{A}=
\n\\left(
\n\\begin{matrix} % 3×3
\n-1 & 2 & 9+a \\\\
\n1+a & 4-a & -3 \\\\
\na & 2 & 4
\n\\end{matrix}
\n\\right)
\n\\end{align*}<\/p>\nKluges Vorgehen: Wenn $f_A$ ein Isomorphismus ist, ist es auch ein Automorphismus ($f_A$ ist schon ein Endomorphismus, da von $\\mathbb{R}^3$ nach $\\mathbb{R}^3$ abgebildet wird). Wenn dem so ist, existiert ${A}^{-1}$ und damit muss det(A<\/strong>)=0 sein.<\/p>\ndet(A<\/strong>) berechnen: In Matrix A<\/strong> ist kein Eintrag 0. Wir k\u00f6nnen aber z.B. Zeile $3\\cdot(-1)$ nehmen und auf die erste Zeile addieren. So \u00e4ndert sich die Determinante nicht, Element $a_{12}$ wird Null und wir haben Rechenschritte gespart (Kein Muss!). Danach Entwicklung nach 2. Spalte:<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Bild2.png\")
<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&=+(4-a)\\Bigl((-1-a)\\cdot 4-a(5+a)\\Bigr)-2\\Bigl((-1-a)(-3)-(1+a)(5+a)\\Bigr)\\\\
\n&=(4-a)\\Bigl(-4-4a-5a-a^2\\Bigr)-2\\Bigl(3+3a-5-6a-a^2\\Bigr)\\\\
\n&=(4-a)\\Bigl(-a^2-9a-4\\Bigr)-2\\Bigl(-a^2-3a-2\\Bigr)=(a-4)\\Bigl(a^2+9a+4\\Bigr)+2\\Bigl(a^2+3a+2\\Bigr)\\\\
\n&=a^3+9a^2+4a-4a^2-36a-16+2a^2+6a+4\\\\
\n&=a^3+7a^2-26a-12
\n\\end{align*}<\/p>\n
Nun det(A<\/strong>)=0 setzen, um die $a$ zu berechnen, die nachher ausgeschlossen werden m\u00fcssen!<\/p>\ndet(A<\/strong>) ist ein Polynom dritten Grades. Wenn eine „sch\u00f6ne“ L\u00f6sung f\u00fcr $a$ existiert ($a\\in\\mathbb{Z}$), dann ist diese Teiler vom Absolutglied (-12). Also $a\\in\\left\\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\\right\\}$. Durch ausprobieren (Empfehlung: Funktionswert durch Horner-Schema ausrechnen) finden wir $a=3$ als eine L\u00f6sung. Polynom durch Horner-Schema auftrennen:<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Determinante-Beispiel.png\")
<\/p>\n
$\\Rightarrow a^3+7a^2-26a-12=\\underbrace{(a-3)}_{a_1\\,=\\,3}\\underbrace{(a^2+10a+4)}_{a\\,=\\,?}=0\\stackrel{pq}{\\quad} a_{2,3}=-5\\pm\\sqrt{21}$
\n
\nAlso ist $f_A$ ein Isomorphismus, wenn $a\\in\\mathbb{R}\\setminus\\left\\{3,-5-\\sqrt{21},-5+\\sqrt{21}\\right\\}$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Die Determinante (Mathematisch auch die Determinantenfunktion genannt) ordnet jeder quadratischen Matrix eine Zahl zu: \\begin{align*} &{f}:\\mathbb{R}^{n{ x }n}\\rightarrow\\mathbb{R},\\textbf{A}\\rightarrow \\text{det}(\\textbf{A}) \\\\ \\text{oder}\\quad&{f}: \\mathbb{R}^{n{ x }n}\\rightarrow\\mathbb{R},\\textbf{A}\\rightarrow{|\\textbf{A}|} \\end{align*} Inhalt auf dieser Seite Was gibt die Determinante an? Rechenregeln zu Determinanten Berechnung von Determinanten Anwendung von Determinanten Was gibt die Determinante an? Die Determinante einer Matrix ( oder ) […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n
Determinante verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Die Determinante der Matrix A gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten erstellten Geometrie skaliert, wenn sie durch die Matrix A abgebildet wird.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Determinante verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Die Determinante der Matrix A gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten erstellten Geometrie skaliert, wenn sie durch die Matrix A abgebildet wird.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2019-09-06T09:11:05+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Bild1-1024x211.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Bild1.png\",\"width\":1174,\"height\":242,\"caption\":\"Determinante Berechnen\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/\",\"name\":\"Determinante verst\\u00e4ndlich erkl\\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2019-09-06T08:12:27+00:00\",\"dateModified\":\"2019-09-06T09:11:05+00:00\",\"description\":\"Die Determinante der Matrix A gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten erstellten Geometrie skaliert, wenn sie durch die Matrix A abgebildet wird.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/determinante\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14623"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14623"}],"version-history":[{"count":47,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14623\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":14752,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14623\/revisions\/14752"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14623"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=14623"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=14623"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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