- \n
- Notationen von Differentialgleichungen<\/a><\/li>\n
- Typisierung von Differentialgleichungen<\/a><\/li>\n
- \u00dcbergeordnete L\u00f6sungsans\u00e4tze<\/a><\/li>\n
- Beispiele: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung<\/a><\/li>\n
- Beispiele: Lineare DGL h\u00f6herer Ordnung mit konstanten Koeffizienten<\/a><\/li>\n
- Beispiele: Nicht-lineare DGL erster Ordnung<\/a><\/li>\n
- Bernoulli-Differentialgleichung<\/a><\/li>\n
- Koordinatenebenen <\/a><\/li>\n<\/ul>\n
\nNotationen von Differentialgleichungen<\/h2>\n
Zun\u00e4chst wollen wir hier kurz kl\u00e4ren, in welchen Schreibweisen Differentialgleichungen auftreten k\u00f6nnen.<\/p>\n
Funktion mit und ohne Funktionsargument<\/h3>\n
Je nach Mathematik Veranstaltung, B\u00fcchern oder Internetquellen, kann die Funktion in der DGL mit und ohne Funktionsargument notiert sein.
\nBeispiel<\/strong>
\n\\begin{alignat*}{3}
\n&\\text{Ohne Funktionsargument:}\\quad & ~&&2y’+yx&=0\\\\
\n&\\text{Mit Funktionsargument:}\\quad &\\quad&&2y'(x)+y(x)x&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nIm Fall ohne Funktionsargument erkennen wir die Funktion daran, welche der Variablen eine Ableitungskennzeichnung enth\u00e4lt (im Beispiel oben das $y$, da $y‘$ auftaucht). Die andere Variable ist dann die Variable, von der die Funktion abh\u00e4ngt (Im Beispiel oben das $x$).<\/p>\n
\nTipp<\/strong>
\nIm Folgenden werden wir bei der Funktion nicht mit dazu schreiben, von welcher Variable diese abh\u00e4ngt. Diese Notation stellt den Standard in den allermeisten Veranstaltungen dar und du solltest dich daran gew\u00f6hnen.<\/p>\n<\/div>\nNotation der Ableitungsterme<\/h3>\n
Im Allgemeinen solltest du wissen, dass Folgendes gilt:
\n\\begin{align}
\n&y^{(n)}\\quad\\text{$n$-te Ableitung der Funktion $y$} \\label{eq:allgemeineableitungsnotation}
\n\\end{align}<\/p>\nVerwechsle in diesem Zuge auf keinen Fall das Folgende:<\/p>\n
\\begin{align*}
\ny^{(2)}=y“\\quad \\neq\\quad y^2=y\\cdot y
\n\\end{align*}<\/p>\nOftmals (besonders im Ingenieurbereich) wirst du bei Differentialgleichungen Ableitungen wie $\\dot y$ anstatt $y‘$ sehen. Das bedeutet lediglich, dass die Variable die Zeit $t$ ist und $\\dot y$ die Ableitung nach der Zeit darstellt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\ny(t),\\quad \\frac{dy}{dt}(t)=\\dot y(t),\\quad \\frac{d^2y}{dt^2}(t)=\\ddot y(t),\\quad\\ldots
\n\\end{align*}<\/p>\nImplizite und explizite Darstellung<\/h3>\n
Die explizite Darstellung einer DGL erhalten wir, wenn wir die DGL auf die h\u00f6chste vorkommende Ableitung umstellen k\u00f6nnen. Falls das nicht m\u00f6glich ist, kann die DGL nur in impliziter Darstellung geschrieben werden.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&\\text{DGL 1: Implizite und explizite Darstellung:}\\quad 2y’+yx=0\\quad y’=-\\frac{1}{2}yx\\\\
\n&\\text{DGL 2: Implizite Darstellung:}\\quad y’+ e^{y‘}=y\\quad\\text{(nicht auf $y‘$ aufl\u00f6sbar)}
\n\\end{align*}<\/p>\nAbstrakte Notation durch „\u00fcbergeordnete“ Funktion<\/h3>\n
Manchmal ist es hilfreich (z.B. um Begriffe sauber zu definieren), die DGL als „\u00fcbergeordnete“ Funktion zu deklarieren ($f$ f\u00fcr explizite Darstellung und $F$ f\u00fcr implizite Darstellung). Diese h\u00e4ngt dann von den Variablen und der gesuchten Funktion samt ihren Ableitungen ab (recht abstrakte Notation):<\/p>\n
\\begin{align}
\n\\text{In expliziter Form:}\\quad & y^{(n)}=f(x,y,y‘,y“,\\ldots,y^{(n-1)})\\label{eq:dglinfunktionsschreibweiseexplizit}\\\\
\n\\text{In impliziter Form:}\\quad & 0=F(x,y,y‘,y“,\\ldots,y^{(n-1)},y^{(n)})\\label{eq:dglinfunktionsschreibweiseimplizit}
\n\\end{align}<\/p>\n\\begin{alignat*}{3}
\n&\\text{DGL 1:}\\quad&&2y’+yx=0&\\quad y’=-\\frac{1}{2}yx=:f(x,y)\\\\[2mm]
\n&\\text{DGL 2:d}\\quad&&y’+ e^{y‘}=y& \\quad 0=y-y‘- e^{y‘}=:F(x,y,y‘)
\n\\end{alignat*}<\/p>\nNotation innerhalb dieses Buchs<\/strong>
\nWir werden uns in diesem gesamten Kapitel darauf einigen, dass in den DGLs $y$ die gesuchte Funktion darstellt, $x$ die Variable ist und daher auch ‚ die Ableitung kennzeichnet.<\/p>\n
\nTypisierung von Differentialgleichungen<\/h2>\n
Dieses Unterkapitel stellt im ersten Schritt das wichtigste Kapitel dar. Ohne eine vorliegende DGL korrekt zu typisieren, werden wir kein geeignetes Verfahren ausw\u00e4hlen k\u00f6nnen, um L\u00f6sungen der DGL zu bestimmen. Au\u00dferdem ordnen wir zu der Typisierung auch die Begrifflichkeiten von L\u00f6sungsvarianten zu.<\/p>\n
Typisierung der DGL<\/h3>\n
Zur Einf\u00fchrung hier f\u00fcr dich eine kleine \u00dcbersicht f\u00fcr die Strukturierung der Typisierung. Das „`Baumdiagramm“‚ sollte selbsterkl\u00e4rend sein.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Typisierung-von-Differentialgleichungen-1024x542.png\")
<\/p>\nDie grau gestrichelten Typisierungen in der \u00dcbersicht werden wir in diesem Artikel nicht behandeln.<\/p>\n
Die grundlegendste Typisierung einer DGL erhalten wir, wenn wir uns anschauen, von wie vielen Variablen die gesuchte Funktion abh\u00e4ngt bzw. ob partielle Ableitungen der Funktion in der DGL auftauchen.<\/p>\n
- \n
- Gew\u00f6hnliche DGL: Die gesuchte Funktion h\u00e4ngt lediglich von einer Variable ab bzw. es tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf.<\/li>\n
- Partielle DGL: Die gesuchte Funktion h\u00e4ngt von mehreren Variablen ab und es tauchen partielle Ableitungen der Funktion auf.<\/li>\n<\/ul>\n
\\begin{alignat*}{2}
\n& \\text{Gew\u00f6hnliche DGL: }&y(x)+2y'(x)&=\\sin(x)\\\\
\n& \\text{Partielle DGL: }&2y(x,t)+\\frac{\\partial y}{\\partial x}(x,t)+3\\frac{\\partial y}{\\partial t}(x,t)&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\nWir werden hier ausschlie\u00dflich gew\u00f6hnliche DGLs behandeln. Jegliche Notationen und Beispiele beziehen sich in diesem gesamten Kapitel also auf gew\u00f6hnliche DGLs.<\/p>\n<\/div>\n
Differentialgleichung erster, oder h\u00f6herer, Ordnung<\/h3>\n
Die n\u00e4chste, wichtige Typisierung ist die Ordnung der DGL. Darunter verstehen wir die h\u00f6chste auftauchende Ableitung von $y$.<\/p>\n
- \n
- DGL erster Ordnung: In der DGL ist die h\u00f6chste Ableitung der gesuchten Funktion ihre erste Ableitung, also $f(x,y,y‘)=0$.<\/li>\n
- DGL h\u00f6herer ($n$-ter) Ordnung: In der DGL tauchen Ableitung der gesuchten Funktion bis zur $n$-ten Ableitung auf, also $f(x,y,y‘,y“,\\ldots,y^{(n)})=0$.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Lineare oder nicht-lineare Differentialgleichungen<\/h3>\n
Eine ebenso wichtige Unterteilung von DGLs ist, ob diese linear oder nicht-linear sind. Falls eine DGL linear ist, hat sie die folgende Form:<\/p>\n
\\begin{align}
\n&y^{(n)}+a_{n-1}(x)\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2(x)\\cdot y“+a_1(x)\\cdot y’+a_0(x)\\cdot y=b(x)
\n\\end{align}<\/p>\n..andernfalls ist sie nicht linear.<\/p>\n
\nDass vor $\\pmb{y^{(n)}}$ kein $\\pmb{a_n(x)}$ steht, ist kein Fehler, denn f\u00fcr sp\u00e4tere L\u00f6sungsverfahren ist es wichtig, dass dort eine 1<\/strong> steht. Falls das in einer Aufgabe nicht der Fall sein sollte, k\u00f6nnen wir durch den Faktor vor dem $\\pmb{y^{(n)}}$ teilen, um auf die lineare Gestalt zu kommen.<\/p>\n<\/div>\n
Homogene oder inhomogene (lineare) Differentialgeichungen<\/h3>\n
Diese Unterteilung existiert nur f\u00fcr lineare DGLs! Also ausgehend von der Form $amp;y^{(n)}+a_{n-1}(x)\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2(x)\\cdot y“+a_1(x)\\cdot y’+a_0(x)\\cdot y=b(x)$ gilt:<\/p>\n
- \n
- Homogene DGL: $b(x)=0$<\/li>\n
- Inhomogene DGL: $b(x)\\neq 0$<\/li>\n<\/ul>\n
\\begin{alignat*}{2}
\n%& \\text{Homogene DGL: }&y+xy’&=0\\\\
\n%& \\text{Inhomogene DGL: }&y+xy’&=\\sin(x)\\quad\\text{oder}\\quad y+xy‘-\\sin(x)=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\nAn welcher Stelle der Term $\\pmb{b(x)}$ als Summand in der DGL steht, spielt keine Rolle!
\n$\\pmb{b(x)}$ wird auch St\u00f6rfunktion\/-term genannt.<\/p>\n<\/div>\nKoeffizient oder variabler Term als Faktor vor den Funktionen in (linearer) DGL<\/h3>\n
Diese Unterteilung existiert nur f\u00fcr lineare DGLs! Also wieder ausgehend von der linearen Form gilt:<\/p>\n
- \n
- Koeffizient als Faktor vor den Funktionen: $a_{0,\\ldots,n-1}(x)$ sind Zahlen aus $\\mathbb{R}$. Also:
\n\\begin{align}
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=b(x)
\n\\end{align}<\/li>\n - Variabler Term als Faktor vor den Funktionen: Mindestens einer der Terme $a_{0,\\ldots,n-1}(x)$ h\u00e4ngt von $x$ ab.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Autonome und nicht-autonome DGL<\/h3>\n
In vielen B\u00fcchern und Skripten taucht die Typisierung autonome DGL auf. Eine DGL hei\u00dft autonom, wenn die Variable $x$ nicht explizit in der DGL auftaucht (also lediglich versteckt als Funktions\\-argument in der Funktion $y$ und deren Ableitungen):<\/p>\n
\\begin{align}
\n\\text{Autonome DGL:}\\quad& y^{(n)}=f(y,y‘,\\ldots,y^{(n-1)})\\text{ bzw. } 0=F(y,y‘,\\ldots,y^{(n-1)},y^{(n)})\\\\
\n\\text{Nicht-autonome DGL:}\\quad& y^{(n)}=f(x,y,y‘,\\ldots,y^{(n-1)})\\text{ bzw. } 0=F(x,y,y‘,\\ldots,y^{(n-1)},y^{(n)})
\n\\end{align}<\/p>\n\nWarum taucht die Unterteilung in unserem Baumdiagramm nicht auf? Weil diese Typisierung nicht zwischen homogen und inhomogen bei linearen DGLs unterscheidet und wir daher lieber auf „homogen“-„inhomogen“ sowie „Konstanten vor den Funktionen“-„Variablen vor den Funktionen“ zur\u00fcckgreifen.<\/p>\n<\/div>\n
Eine homogene lineare DGL mit Konstanten vor den Funktionen ist auf jeden Fall eine autonome DGL. Inhomogene lineare DGLs und nicht-lineare DGLs k\u00f6nnen entweder autonom oder nicht-autonom sein.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\text{Autonome DGL:}\\quad y’&=2y+6 \\\\
\ny“&=3y‘-y \\\\
\ny’&=y^3+y \\\\
\n\\text{Nicht-autonome DGL:}\\quad y’&=xy \\\\
\ny’&=y+\\sin(x) \\\\
\ny’&=x e^y+1
\n\\end{align*}<\/p>\nGekoppelte oder entkoppelte Differentialgleichungen<\/h3>\n
Diese Typisierung existiert lediglich bei Differentialgleichungssystemen (DGL-Systeme bzw. DGS), also bei mehreren DGLs, die zusammen gel\u00f6st werden sollen.<\/p>\n
Beispiele gew\u00f6hnlicher DGLs mit Typisierungen<\/strong><\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Beispeil-gew\u00e4hnlicher-DGLs-mit-Typisierung-min.jpg\")
<\/p>\n
\n<\/p>\n
Typisierung der L\u00f6sungsvarianten<\/h3>\n
Du wirst in den folgenden Unterkapiteln, und auch in deiner Lehrveranstaltung und Pr\u00fcfung, auf verschiedene Begriffe f\u00fcr L\u00f6sungen einer Differentialgleichung sto\u00dfen. Die Folgenden solltest du in den Gesamtzusammenhang richtig einordnen- und bestimmen k\u00f6nnen.<\/p>\n
Homogene L\u00f6sung<\/h3>\n
Wird als $y_0$, $y_{hom}$ oder $y_h$ betitelt. Das sind alle L\u00f6sungen einer homogenen Differentialgleichung.<\/p>\n
Partikul\u00e4re L\u00f6sung<\/h3>\n
Diese wird meistens mit $y_{part}$ oder $y_p$ bezeichnet. Ganz allgemein ist das eine Funktion, die die Differentialgleichung l\u00f6st.
\n\nManchmal wird die partikul\u00e4re L\u00f6sung auch spezielle L\u00f6sung genannt.<\/p>\n<\/div><\/p>\n
Allgemeine L\u00f6sung einer inhomogenen Differentialgleichung<\/h3>\n
Die allgemeine L\u00f6sung einer inhomogenen Differentialgleichung wird $y_{allg}$ oder einfach ohne Index $y$ genannt und beinhaltet alle L\u00f6sungen der DGL. Sie h\u00e4ngt von einer oder mehreren, frei w\u00e4hlbaren Konstanten ab. Sie ist die Summe aus homogener und partikul\u00e4rer L\u00f6sung einer DGL, also:
\n\\begin{align}
\n&y_{allg}=y_h+y_p
\n\\end{align}<\/p>\n\nDu kannst dir hier die Analogie heranziehen, dass die L\u00f6sungen einer inhomogenen DGL auf einer Geraden\/Ebene liegen und die Parameterdarstellung dieser Geraden ist – mit $y_h$ als Richtungsvektor (mit variablem Parameter) und $y_p$ als Ortsvektor (irgendein Punkt auf der Geraden \/ ein Vektor, der die Gerade aus dem Ursprung heraus schiebt).<\/p>\n<\/div>\n
Spezielle & Explizite L\u00f6sung<\/h3>\n
Das ist die L\u00f6sung einer DGL, die konkret vorgegebenen Anfangs-\/Randwerten gen\u00fcgt (also die L\u00f6sung des AWP\/RWP, $y_{spez}$). Diese L\u00f6sung bestimmen wir f\u00fcr gew\u00f6hnlich aus der allgemeinen L\u00f6sung einer DGL, indem wir die dort auftauchenden und noch nicht n\u00e4her bestimmten Konstanten aus den Anfangs-\/Randwerten ermitteln.<\/p>\n
\nIn Analogie zur Anmerkung davor w\u00e4re $y_{spez}$ nun ein spezieller Punkt auf der Geraden\/Ebene (Parameter vor dem Richtungsvektor erh\u00e4lt konkrete Werte).<\/p>\n<\/div>\n
Fundamentalsystem\/-basis<\/h3>\n
Ein Fundamentalsystem (FS) ist keine L\u00f6sung im eigentlichen Sinne, aber ein sehr wichtiger Begriff, der in dieses Unterkapitel passt!<\/p>\n
Ein Fundamentalsystem (auch Hauptsystem genannt) ist eine Basis des Vektorraums, der aus der Menge aller L\u00f6sungen eines homogenen, gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungssystems. (vgl. Walter, W.: Gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 2000)<\/p>\n
F\u00fcr dieses Buch: In einem FS befinden sich also linear unabh\u00e4ngige L\u00f6sungen einer homogenen linearen gew\u00f6hnlichen DGL. Wir notieren hier ganz allgemein:
\n\\begin{align}
\n& \\text{FS}=\\left\\{y_1,\\ y_2,\\ \\ldots,\\ y_n\\right\\}
\n\\end{align}<\/p>\n\nBeachte, dass die Begriffe „Vektor“ und „linear unabh\u00e4ngig“ abstrakter definiert sind, als wir uns das mit Vektoren aus dem $\\pmb{\\mathbb{R}^2}$ oder $\\pmb{\\mathbb{R}^3}$ sch\u00f6n anschaulich vorstellen!
\n<\/div>\n
\n\u00dcbergeordnete L\u00f6sungsans\u00e4tze<\/h2>\n
<\/p>\n
Einordnung von L\u00f6sungsans\u00e4tzen<\/h3>\n
Das folgende Diagramm zeigt auf, welche L\u00f6sungsans\u00e4tze du wann verwenden solltest. Falls mehrere L\u00f6sungswege m\u00f6glich sind, haben wir diese in unserer pr\u00e4ferierten Reihenfolge notiert.<\/p>\n
![\"\u00fcbergeordnetel\u00f6sungsans\u00e4tze\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/\u00fcbergeordnetel\u00f6sungsans\u00e4tze-1024x532.jpg\")
<\/p>\n\nBeachte: Partikul\u00e4re L\u00f6sungen k\u00f6nnen sich – je nachdem, welchen L\u00f6sungsansatz wir w\u00e4hlen – voneinander unterscheiden!<\/p>\n<\/div>\n
TdV – Trennung der Variablen \/ Trennung der Ver\u00e4nderlichen<\/h3>\n
Mit der Methode TdV k\u00f6nnen wir die homogene L\u00f6sung einer linearen DGL erster Ordnung (und falls es m\u00f6glich ist, auch die L\u00f6sung einer nicht-linearen DGL erster Ordnung) ermitteln. Voraussetzung ist, dass die DGL in expliziter Darstellung separierbar ist (d.h. dass die Variablen $y$ und $x$ getrennt werden k\u00f6nnen):<\/p>\n
\\begin{align}
\n\\text{Separierbare DGL:}\\quad & y’= (\\text{„Term h\u00e4ngt nur von x ab“})\\cdot(\\text{„Term h\u00e4ngt nur von y ab“})
\n\\end{align}<\/p>\nBeispiel<\/strong>
\n\\begin{alignat*}{2}
\ny’+2xy&=0&&\\quad y’=(-2x)\\cdot(y)\\\\
\ny^2y’+2x&=0&&\\quad y’=(-2x)\\cdot\\left(\\frac{1}{y^2}\\right)\\\\
\nxy‘-3y&=0&&\\quad y’=\\left(\\frac{3}{x}\\right)\\cdot(y)\\\\
\ny’&=2x-xy&&\\ y’=(x)\\cdot(2-y)
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\nDie letzte DGL stellt eine Ausnahme bzgl. der L\u00f6sungsmethoden-\u00dcbersicht dar, da diese eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung ist. Wenn wir erkennen, dass eine inhomogene DGL separierbar ist, brauchen wir nicht \u00fcber den Weg der Formel gehen, sondern k\u00f6nnen die inhomogene DGL direkt per TdV l\u00f6sen.<\/p>\n<\/div>\n
Verfahren<\/strong><\/p>\n
- \n
- DGL korrekt typisieren<\/li>\n
- Wir schreiben die Ableitung $y’$ in Folgendes um:
\n\\begin{align}
\ny’&=\\frac{dy}{dx}
\n\\end{align}<\/li>\n - Jetzt trennen wir die Variablen. Wir bringen alle Terme mit $y$ auf die linke Seite und alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung. Dabei muss das $dy$ und $dx$ im Z\u00e4hler stehen:\\begin{align}
\n& (\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $y$ ab“})\\cdot dy = (\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $x$ ab“})\\cdot dx
\n\\end{align}\nWir k\u00f6nnen die DGL auch erst in Form bringen, dann mit $dx$ multiplizieren und durch den „von $x$ abh\u00e4ngigen Term“ teilen.
\nEmpfehlung: Bringe konstante Faktoren auf die rechte Seite. So musst du nachher die „$+C$“ nicht unn\u00f6tig umbenennen usw.<\/p>\n<\/div><\/li>\n- Beide Seiten integrieren:
\n\\begin{align}
\n& \\int(\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $y$ ab“})\\cdot dy = \\int(\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $x$ ab“})\\cdot dx
\n\\end{align}\nDabei ben\u00f6tigen wir nur bei einem der beiden Integrale (bei der von $x$ abh\u00e4ngigen Seite) die „$+$ Konstante“ am Ende.<\/p>\n<\/div><\/li>\n
- Auf $y$ aufl\u00f6sen.
\nDie gr\u00f6\u00dfte Schwierigkeit besteht hier meistens beim Integrieren der Terme (Punkt 3), besonders wenn wir nicht-lineare DGLs per TdV l\u00f6sen wollen.<\/p>\n<\/div><\/li>\n<\/ol>\nIst ein AWP\/RWP gegeben und wir wollen direkt die explizite L\u00f6sung bestimmen, k\u00f6nnen wir bei Punkt 4 alternativ einsteigen:<\/p>\n
- \n
- Beide Seiten folgenderma\u00dfen integrieren: Wenn das AWP\/RWP $y(x_0)=y_0$ gegeben ist, dann:\\begin{align}
\n& \\int_{y_0}^y(\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $y$ ab“})\\cdot dy = \\int_{x_0}^x(\\text{„Term h\u00e4ngt nur von $x$ ab“})\\cdot dx
\n\\end{align}<\/li>\n - Auf $y$ aufl\u00f6sen. Damit ist das $y=y_{spez}$
\nDurch diesen Weg ermitteln wir nicht die allgemeine L\u00f6sung der DGL!<\/p>\n<\/div><\/li>\n<\/ol>\n<\/p>\n
Euler-Ansatz<\/h3>\n
Mit dem Euler-Ansatz geben wir die grunds\u00e4tzliche Struktur der homogenen L\u00f6sung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor und setzen diesen in die DGL ein.<\/p>\n
Der Ansatz lautet wie folgt:
\n\\begin{align}
\n&y:= e^{\\lambda x}
\n\\end{align}<\/p>\nDie Ableitungen dazu sind dann nat\u00fcrlich:
\n\\begin{align}
\n&\\left(y=e^{\\lambda x}\\right),\\quad y’=\\lambda e^{\\lambda x},\\quad y“=\\lambda^2 e^{\\lambda x},\\quad y“’=\\lambda^3 e^{\\lambda x},\\quad\\ldots
\n\\end{align}<\/p>\nDie Terme aus dem Ansatz und der Ableitung in $y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=b(x)$ eingesetzt ergibt
\n\\begin{align}
\n&\\lambda^n e^{\\lambda x}+\\ldots+a_2\\cdot \\lambda^2 e^{\\lambda x}+a_1\\cdot \\lambda e^{\\lambda x}+a_0\\cdot e^{\\lambda x}=0\\quad\\Bigl|\\Bigr.\\ : e^{\\lambda x}\\quad(e^{\\lambda x}>0\\ \\forall\\,\\lambda,x\\in\\mathbb{R})\\notag\\\\
\n\\Rightarrow\\ & \\underbrace{\\underbrace{\\lambda^n+\\ldots+a_2\\cdot \\lambda^2+a_1\\cdot \\lambda+a_0}_{\\text{charakteristisches Polynom}}=0}_{\\text{charakteristische Gleichung}}
\n\\end{align}<\/p>\n- \n
- DGL korrekt typisieren.<\/li>\n
- Charakteristische Gleichung der DGL bestimmen.<\/li>\n
- Nullstellen des charakteristisch. Polynoms bestimmen (die charakteristische Gleichung l\u00f6sen).<\/li>\n
- In Abh\u00e4ngigkeit dieser Nullstellen ein (L\u00f6sungs-)Fundamentalsystem (FS) aufstellen:$\\bullet$ Die Nullstellen ($\\lambda_{1,\\ldots,n}$) sind alle reell und alle voneinander unterschiedlich:
\n\\begin{align}
\n& \\text{FS}=\\left\\{e^{\\lambda_1 x},\\ e^{\\lambda_2 x},\\ldots,e^{\\lambda_n x}\\right\\}
\n\\end{align}
\n$\\bullet$ Unter den Nullstellen tauchen komplex konjugierte Paare ($\\lambda=a\\pm bi$) auf:
\n\\begin{align}
\n& \\text{FS}=\\left\\{\\ldots,\\ e^{ax}\\cos(bx),\\ e^{ax}\\sin(bx),\\ \\ldots\\right\\}
\n\\end{align}
\n$\\bullet$ Nullstelle $\\lambda$ (reell bzw. komplex konjugiertes Paar $\\lambda=a+bi$) taucht mehrfach ($n$-mal) auf:
\n\\begin{align}
\n& \\text{FS}=\\left\\{\\ldots,\\ e^{\\lambda x},\\ x e^{\\lambda x},\\ \\ldots,\\ x^{n-1} e^{\\lambda x},\\ldots\\right\\}\\quad\\text{bzw.}\\\\
\n& \\text{FS}=\\left\\{\\ldots,\\ e^{ax}\\cos(bx),\\ e^{ax}\\sin(bx),\\ x e^{ax}\\cos(bx),\\ x e^{ax}\\sin(bx),\\ldots,\\right.\\\\
\n&\\qquad\\qquad\\quad\\; x^{n-1} e^{ax}\\cos(bx),\\ x^{n-1} e^{ax}\\sin(bx),\\ ,\\ldots\\left.\\right\\}
\n\\end{align}<\/li>\n - F\u00fcr die L\u00f6sung $y_h$ alle Elemente des Fundamentalsystems mit jeweils einer Konstanten ($C_1$, $C_2$, \\ldots) multiplizieren und danach alles addieren. Anders (als Zeilen- mal Spaltenvektor) notiert:
\n\\begin{align}
\n& y_h=(\\text{FS})\\cdot{(C_1,\\ C_2,\\ C_3,\\ \\ldots)}
\n\\end{align}
\nWir spannen hier sozusagen den L\u00f6sungsraum auf, wie die lineare H\u00fclle bei Vektoren!<\/p>\n<\/div><\/li>\n<\/ol>\nBeispiele zum Aufstellen vom FS und Bestimmen von $y_h$:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\ldots\\quad\\lambda_1=-2,\\ \\lambda_2=1,\\ \\lambda_3=4
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{-2x},e^{1x},e^{4x}\\right\\}=\\left\\{e^{-2x},e^{x},e^{4x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{h}=C_1e^{-2x}+C_2 e^{x}+C_3 e^{4x}
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\ldots\\quad\\lambda_1=0,\\ \\lambda_2=2,\\ \\lambda_3=2,\\ \\lambda_4=2
\n\\end{align*}
\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{0x},e^{2x},x^1 e^{2x},x^2 e^{2x}\\right\\}=\\left\\{1, e^{2x},x e^{2x},x^2 e^{2x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{h}=C_1\\cdot 1+C_2 e^{2x}+C_3x e^{2x}+C_4x^2 e^{2x}=C_1+C_2 e^{2x}+C_3x e^{2x}+C_4x^2 e^{2x}
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\ldots\\quad\\lambda_1=-1,\\ \\lambda_2=1,\\ \\lambda_{3,4}=2\\pm 3i
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{-1x}, e^{1x}, e^{2x}\\cos(3x), e^{2x}\\sin(3x)\\right\\}=\\left\\{e^{-x},e^{x},e^{2x}\\cos(3x),e^{2x}\\sin(3x)\\right\\}
\n\\end{align*}
\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{h}=C_1 e^{-x}+C_2 e^{x}+C_3 e^{x}\\cos(3x)+C_4 e^{2x}\\sin(3x)
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\ldots\\quad\\lambda_1=0,\\ \\lambda_2=0,\\ \\lambda_{3,4}=1\\pm 3i,\\ \\lambda_{5,6}=1\\pm 3i
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}&=\\left\\{e^{0x},x^1 e^{0x},e^{1x}\\cos(3x),e^{1x}\\sin(3x),x^1 e^{1x}\\cos(3x),x^1 e^{1x}\\sin(3x)\\right\\}\\\\
\n&=\\left\\{1,x, e^{x}\\cos(3x), e^{x}\\sin(3x),x e^{x}\\cos(3x),x e^{x}\\sin(3x)\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{h}&=C_1\\cdot 1+C_2x+C_3 e^{x}\\cos(3x)+C_4 e^{x}\\sin(3x)+C_5x e^{x}\\cos(3x)+C_6x e^{x}\\sin(3x)\\\\
\n&=C_1+C_2x+C_3 e^{x}\\cos(3x)+C_4 e^{x}\\sin(3x)+C_5x e^{x}\\cos(3x)+C_6x e^{x}\\sin(3x)
\n\\end{align*}<\/p>\n$y_h$: L\u00f6sungsformel (hom)<\/h3>\n
Wenn wir unsere DGL richtig typisiert haben, k\u00f6nnen wir eine homogene lineare DGL erster Ordnung in expliziter Form folgenderma\u00dfen schreiben:
\n\\begin{align}
\ny’=a_0(x)y
\n\\end{align}<\/p>\n- \n
- DGL korrekt typisieren.<\/li>\n
- DGL in Form $y’=a_0(x)y$ bringen.<\/li>\n
- L\u00f6sung ist gegeben durch:
\n\\begin{align}
\ny&=C\\cdot e^{A_0(x)}\\quad\\text{mit}\\quad A_0(x)=\\int{a_0(x)}dx\\quad\\text{und}\\quad C\\in\\mathbb{R}
\n\\end{align}
\nDenn der allgemeine Ablauf der TdV l\u00e4uft bei homogenen linearen DGLs erster Ordnung immer auf diese L\u00f6sungsform hinaus!
\nBei $\\int{a_0(x)}dx$ ist die „$+$ Konstante“ am Ende des unbestimmten Integrals nicht n\u00f6tig!<\/p>\n<\/div><\/li>\n<\/ol>\n<\/p>\n
Superposition von partikul\u00e4ren L\u00f6sungen<\/h3>\n
Bevor wir zu L\u00f6sungsmethoden f\u00fcr partikul\u00e4re L\u00f6sungen kommen, wollen wir hier das Folgende kl\u00e4ren:<\/p>\n
Wenn der inhomogene Teil (das St\u00f6rglied) einer DGL eine Summe aus einzelnen St\u00f6rgliedern ist ($b(x)=b_1(x)+b_2(x)+\\ldots$), dann k\u00f6nnen wir zu jedem der Summanden eine eigene partikul\u00e4re L\u00f6sung finden und diese f\u00fcr die urspr\u00fcngliche DGL wieder aufaddieren:<\/p>\n
Gegeben ist eine DGL
\n\\begin{align}
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=\\underbrace{b_1(x)+b_2(x)+\\ldots}_{b(x)}\\label{eq:dglfuersuperposition}
\n\\end{align}<\/p>\nSuche partikul\u00e4re L\u00f6sungen $y_{p,1}$, $y_{p,2}$, … f\u00fcr die DGLs
\n\\begin{align*}
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=b_1(x)\\\\
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=b_2(x)\\\\
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=\\ldots
\n\\end{align*}<\/p>\nDann ist die gesamte partikul\u00e4re L\u00f6sung f\u00fcr das vorgegeben DGL durch die Addition der einzelnen partikul\u00e4ren L\u00f6sungen gegeben:<\/p>\n
\\begin{align}
\n& y_p=y_{p,1}+y_{p,2}+\\ldots
\n\\end{align}<\/p>\n$y_p$: St\u00f6rgliedansatz<\/h3>\n
Mit einem St\u00f6rgliedansatz geben wir unserer Ansatzfunktion $y_p$ eine allgemeine Struktur nach Art des St\u00f6rglieds $b(x)$ vor. Dies gilt f\u00fcr DGLs der Art:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&y^{(n)}+a_{n-1}\\cdot y^{(n-1)}+\\ldots+a_2\\cdot y“+a_1\\cdot y’+a_0\\cdot y=b(x)
\n\\end{align*}<\/p>\nDie St\u00f6rgliedans\u00e4tze beinhalten Parameter, die wir durch das Einsetzen in die DGL am Ende bestimmen m\u00fcssen.<\/p>\n
\nNicht immer k\u00f6nnen wir $y_p$ durch einen St\u00f6rgliedansatz ermitteln. Wenn es aber geht ist es unserer Meinung nach der schnellste und beste Rechenweg.<\/p>\n
Es existieren in Fachliteratur und auf Internetseiten dutzende Tabellen, die uns m\u00f6gliche Ans\u00e4tze liefern. Manche sind allgemeiner gehalten, manche enthalten vermeintlich etliche Sonderf\u00e4lle. Wir haben versucht, das Ganze — so gut es geht — leicht verst\u00e4ndlich zu beschreiben.<\/p>\n<\/div>\n
Du solltest im Vorfeld die homogene L\u00f6sung deiner DGL mit dem Euler-Ansatz gel\u00f6st haben. Die allgemeine Ansatztabelle f\u00fcr $y_p$:<\/p>\n
![\"Allgemeine](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Allgemeine-Ansatztabelle-Differentialgleichungen-1-1024x520.jpg\")
<\/p>\nIn der Struktur des St\u00f6rglieds steht dabei das Polynom $(a_0+a_1x+\\ldots+a_nx^n)$ vom Grad $n$. Das bedeutet f\u00fcr den St\u00f6rgliedansatz, dass ein allgemeines Polynom $(A_0+A_1x+\\ldots+A_nx^n)$ bis genau zu diesem Grad angesetzt werden muss.<\/p>\n
Das Auftauchen des Terms $x^p$ im St\u00f6rgliedansatz nennen wir auch „Resonanzfall“. In der Tabelle ist $p$ beschrieben als die Anzahl der Nullstellen im char. Polynom. Wir k\u00f6nnten zu $p$ auch sagen, wie oft das St\u00f6rglied (aber ohne das oben beschriebene Polynom) als L\u00f6sung im Fundamentalsystem auftaucht.<\/p>\n
Wie du siehst, enth\u00e4lt die Tabelle im Prinzip nur zwei verschiedene F\u00e4lle. Diese reichen uns jedoch vollkommen aus! Da viele Probleme damit haben, korrekte Ansatzfunktionen nach Art der St\u00f6rfunktion zu bestimmen, kommen nun viele Beispiele dazu:<\/p>\n
\nBeachte, dass bei der Identifikation der Struktur des St\u00f6rglieds auch Zahlen gleich Null sein k\u00f6nnen, z.B. wenn $\\pmb{a}$ keine Nullstelle im char. Polynom ist (was h\u00e4ufig der Fall ist), dann ist $\\pmb{p=0}$ und somit $\\pmb{x^p=1}$.<\/p>\n<\/div>\n
\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=5 {\\ =(5+0x+0x^2+\\ldots)\\cdot e^{0x}}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms: }\\lambda_1=1, \\ \\lambda_2=3, \\ \\lambda_3=4\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:= (A_0) {e^{0x}\\cdot x^0}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: \\ldots ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=3 \\ =(3+0x+0x^2+\\ldots)e^{0\\cdot x}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\underbrace{\\lambda_1=0}_{!}, \\underbrace{\\lambda_2=0}_{!}, \\lambda_3=2\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:= (A_0) {e^{0x}}\\cdot x^2
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=x^2 \\ =(0+0x+1x^2+0x^3+0x^4+\\ldots) e^{0x}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=-2, \\lambda_2=5\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:=(A_0+A_1x+A_2x^2) e^{0x}\\cdot x^0
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)= e^{2x} \\ =(1+0x+0x^2+\\ldots) e^{2x}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=-1, \\ \\lambda_2=1, \\ \\lambda_3=4\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:=(A_0) e^{2x} {\\cdot x^0}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=(2x-x^3) e^{x} {\\ =(0+2x+0x^2-1x^3+0x^4+0x^5+\\ldots)e^{1x}}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=-1, \\lambda_2=3\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:=(A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3) e^{x}{\\cdot x^0}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=x e^{2x}{\\ =(0+1x+0x^2+0x^3+\\ldots) e^{2x}}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=-1, \\underbrace{\\lambda_2=2}_{!}, \\underbrace{\\lambda_3=2}_{!}, \\underbrace{\\lambda_4=2}_{!}\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:=(A_0+A_1x) e^{2x}\\cdot x^3=(A_0x^3+A_1x^4) e^{2x}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=x\\sin(2x){\\ =(0+1x+0x^2+0x^3+\\ldots) e^{0x}\\sin(2x)}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=0, \\lambda_2=2\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:=(A_0+A_1x)\\cos(2x){\\cdot x^0}+(B_0+B_1x)\\sin(2x){\\cdot x^0}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)=2\\cos(3x){\\ =(2+0x+0x^2+\\ldots) e^{0\\cdot x}\\cos(3x)}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\underbrace{\\lambda_{1,2}=\\pm 3i{\\ =0\\pm 3i}}_{!}, \\lambda_3=4\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:={(}A_0{)}{e^{0x}}\\cos(3x)\\cdot x+{(B_0)}{ e^{0x}}\\sin(3x)\\cdot x
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\text{DGL}: … ,\\quad \\text{ St\u00f6rglied } b(x)= e^{-2x}\\cos(x){\\ =(1+0x+0x^2+\\ldots) e^{-2x}\\cos(x)}\\\\
\n&\\text{Nullstellen des char. Polynoms}: \\lambda_1=-2, \\lambda_2=1\\\\ \\\\
\n&\\Rightarrow y_p:={(}A_0{)} e^{-2x}\\cos(x){\\cdot x^0}+(B_0) e^{-2x}\\sin(x){\\cdot x^0}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n<\/p>\n
$y_p$: VdK – Variation der Konstanten<\/h3>\n
Mit der Methode VdK \u00fcberf\u00fchren wir in der vorher bestimmten homogenen L\u00f6sung einer DGL die Konstante in eine noch nicht n\u00e4her bestimmte Funktion. Das Ganze nutzen wir dann als neue Ansatzfunktion f\u00fcr unsere partikul\u00e4re L\u00f6sung.<\/p>\n
Sagen wir, die homogene L\u00f6sung (zu $y’=a_0(x)y$) ist wie folgt gegeben:<\/p>\n
\\begin{align*}
\ny_h&=C\\cdot e^{A_0(x)}\\quad\\text{mit}\\quad A_0(x)=\\int{a_0(x)}dx\\quad\\text{und}\\quad C\\in\\mathbb{R}
\n\\end{align*}<\/p>\ndann:<\/p>\n
- \n
- Variation der Konstanten von $C$ zu $C(x)$<\/li>\n
- $\\displaystyle y_p:=C(x)\\cdot e^{A_0(x)}$ fungiert als Ansatzfunktion<\/li>\n
- $y’_p$ bestimmen (beachte, dass $C(x)$ auch abgeleitet werden muss – Produktregel!)<\/li>\n
- $y_p$ und $y’_p$ in die urspr\u00fcngliche DGL einsetzen<\/li>\n
- Auf $C'(x)$ umformen<\/li>\n
- $C(x)$ durch integrieren bestimmen (die „$+$ Konstante“ am Ende des Integrals ist nicht n\u00f6tig!)<\/li>\n
- $C(x)$ in $y_p$ einsetzen<\/li>\n<\/ol>\n
<\/p>\n
$y_p$: VdK (LGS Variante)<\/h3>\n
Durch die Ausweitung der VdK auf DGLs h\u00f6herer Ordnung k\u00f6nnen wir das Verfahren nach folgendem Schema abarbeiten:<\/p>\n
Sagen wir, die homogene L\u00f6sung ist wie folgt gegeben:
\n\\begin{align*}
\ny_h=C_1\\cdot y_1+C_2\\cdot y_2+\\ldots
\n\\end{align*}<\/p>\nmit $y_1$, $y_2$, $\\ldots$ als Basisl\u00f6sungen aus dem Fundamentalsystem<\/p>\n
- \n
- Homogene L\u00f6sung sollte mit dem Euler-Ansatz bestimmt worden sein (FS muss vorliegen)<\/li>\n
- Variation der Konstanten:\\begin{align}
\n&y_p=C_1(x)\\cdot y_1+C_2(x)\\cdot y_2+\\ldots
\n\\end{align}<\/li>\n - Durch einen allgemeinen Ansatz kann gezeigt werden, dass die variierten Konstanten durch folgendes Gleichungssystem bestimmt werden k\u00f6nnen:
\n\\begin{align}
\n\\left( \\begin{array}( y_1 & y_2 & \\cdots & y_n \\\\ y’_1 &y’_2 & \\cdots & y’_n \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots\\\\ y^{(n-1)}_1 & y^{(n-1)}_2 & \\cdots & y^{(n-1)}_n
\n\\end{array}\\right)
\n\\cdot
\n\\left( \\begin{array}
\nCC’_1(x) \\\\
\nC’_2(x) \\\\
\n\\vdots \\\\
\nC’_n(x)
\n\\end{array}
\n\\right) =
\n\\left( \\begin{array} 0 \\\\
\n0 \\\\
\n\\vdots \\\\
\nb(x)
\n\\end{array}\\right)
\n\\end{align}<\/li>\n - Gleichungssystem l\u00f6sen (Gau\u00df-Algorithmus)<\/li>\n
- $C’_1(x)$, $C’_2(x)$, … integrieren (beim Integrieren ist die „+ Konstante“ am Ende des unbestimmten Integrals nicht n\u00f6tig)<\/li>\n
- $y_p$ entsteht, wenn $C_1(x)$, $C_2(x)$, … in eingesetzt wird<\/li>\n<\/ol>\n
<\/p>\n
$y_p$: L\u00f6sungsformel (part)<\/h3>\n
Wenn wir unsere DGL richtig typisiert haben, k\u00f6nnen wir eine inhomogene lineare DGL erster Ordnung in expliziter Form schreiben:<\/p>\n
\\begin{align}
\ny’&=a_0(x)y+b(x)
\n\\end{align}<\/p>\nVerfahren<\/strong><\/p>\n
- \n
- DGL korrekt typisieren.<\/li>\n
- DGL in Form $y’=a_0(x)y+b(x)$ bringen<\/li>\n
- L\u00f6sung ist gegeben durch:
\n\\begin{align}
\ny_p&= e^{A_0(x)}\\cdot\\int{b(x)\\cdot e^{-A_0(x)}}dx\\quad\\text{mit}\\quad A_0(x)=\\int{a_0(x)}dx\\quad\\text{und}\\quad C\\in\\mathbb{R}
\n\\end{align}\nDenn der allgemeine Ablauf der VdK l\u00e4uft bei inhomogenen linearen DGLs erster Ordnung immer auf diese L\u00f6sungsform hinaus!<\/p>\n
Bei beiden Integralen in ist die „+ Konstante“ am Ende des unbestimmten Integrals nicht n\u00f6tig!<\/p>\n<\/div><\/li>\n<\/ul>\n
\nBeispiele: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung<\/h2>\n
Beispiel 1<\/h3>\n
Finde alle Funktionen $y$ f\u00fcr die $y’=4y+2 e^{4x}+\\cos(2x)$ gilt.<\/p>\n
Dies ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit Konstanten vor den Funktionen. F\u00fcr die partikul\u00e4re L\u00f6sung nutzen wir die Superposition der Einzell\u00f6sungen f\u00fcr die Inhomogenit\u00e4ten $2 e^{4x}$ und $\\cos(2x)$<\/p>\n
L\u00f6se zugeh\u00f6rige homogene DGL $y’=4y$
\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\text{Euler-Ansatz:}\\quad&& y’=4y \\Rightarrow \\lambda=4\\\\
\n\\Rightarrow&& \\text{FS: }={ e^{4x}}\\\\
\n\\Rightarrow&& y_h=C e^{4x}
\n\\end{alignat*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung der inhomogenen DGL $y’=4y+2 e^{4x}$<\/strong><\/p>\n
St\u00f6rgliedansatz: $y_{p,1}:=A_0 e^{4x}\\cdot x=A_0x e^{4x}$<\/p>\n
Ableitung: $y’_{p,1}=A_0\\left( e^{4x}+x e^{4x}\\cdot 4\\right)=A_0(1+4x) e^{4x}$<\/p>\n
In DGL einsetzen:
\n\\begin{alignat*}{2}
\n&&A_0(1+4x) e^{4x}&=4\\cdot A_0x e^{4x}+2 e^{4x}\\\\
\n\\Rightarrow&&A_0+4A_0x&=4A_0x+2\\\\
\n\\Rightarrow&&A_0&=2\\\\
\n\\Rightarrow&&y_{p,1}&=2x e^{4x}
\n\\end{alignat*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung der inhomogenen DGL $y’=4y+\\cos(2x)$<\/strong><\/p>\n
St\u00f6rgliedansatz: $y_{p,2}:=A_0\\cos(2x)+B_0\\sin(2x)$<\/p>\n
Ableitung: $y’_{p,2}=-2A_0\\sin(2x)+2B_0\\cos(2x)$<\/p>\n
In DGL einsetzen:
\n\\begin{alignat*}{2}
\n&&-2A_0\\sin(2x)+2B_0\\cos(2x)&=4\\cdot(A_0\\cos(2x)+B_0\\sin(2x))+\\cos(2x)\\\\
\n\\Rightarrow&&\\sin(2x)(-2A_0-4B_0)+\\cos(2x)(-4A_0+2B_0)&={0\\cdot\\sin(2x)+1\\cdot}\\cos(2x)
\n\\end{alignat*}<\/p>\nKoeffizientenvergleich: $-2A_0-4B_0=0$ und $-4A_0+2B_0=1$ (ist ein LGS!)<\/p>\n
LGS l\u00f6sen mit Gau\u00df-Algorithmus ergibt: $A_0=-\\frac{1}{5}$ und $B_0=\\frac{1}{10}$<\/p>\n
Also ist $y_{p,2}=-\\frac{1}{5}\\cos(2x)+\\frac{1}{10}\\sin(2x)$<\/p>\n
$\\Rightarrow y=y_h+y_{p,1}+y_{p,2}=C e^{4x}+2x e^{4x}-\\frac{1}{5}\\cos(2x)+\\frac{1}{10}\\sin(2x)$<\/strong><\/p>\n
\nBeispiel 2<\/h3>\n
Finde alle Funktionen $y$ f\u00fcr die $(1+x^4)^2y’+4x^3(1+x^4)y+x=0$ gilt.<\/p>\n
Dies ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit Variablen vor den Funktionen.<\/p>\n
Homogene L\u00f6sung durch: TdV oder L\u00f6sungsformel (hom).<\/strong>
\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\text{TdV:}\\quad&&(1+x^4)^2y’+4x^3(1+x^4)y&=0\\Rightarrow y’=-\\frac{4x^3}{1+x^4}y\\Rightarrow \\frac{dy}{dx}=-\\frac{4x^3}{1+x^4}y\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1}{y}dy&=-\\frac{4x^3}{1+x^4}dx\\\\
\n\\Rightarrow&& \\int\\frac{1}{y}dy&=\\int-\\frac{4x^3}{1+x^4}dx\\\\
\n\\stackrel{\\ast^1}{\\Rightarrow}&& \\ln |{y}|&=-\\ln(1+x^4)+C_1\\\\
\n\\Rightarrow&& |{y}|&= e^{-\\ln(1+x^4)+C_1}=\\frac{ e^{C_1}}{ e^{\\ln(1+x^4)}}\\\\
\n\\Rightarrow&& y_h&=C\\frac{1}{1+x^4}
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\text{oder L\u00f6sungsformel:}\\quad&&y’&=-\\frac{4x^3}{1+x^4}y\\\\
\n\\Rightarrow&& y_h&=C e^{A_0(x)}\\quad\\text{mit}\\quad A_0(x)=\\int-\\frac{4x^3}{1+x^4}dx\\stackrel{\\ast^1}{=}-\\ln(1+x^4)\\\\
\n\\Rightarrow&& y_h&=C e^{-\\ln(1+x^4)}=C\\frac{1}{1+x^4}
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\n$*^1$: Integrale l\u00f6sen durch Substitution auf $x$-Seite: $z:=1+x^4$<\/p>\n<\/div>\n
Partikul\u00e4re L\u00f6sung durch: VdK oder L\u00f6sungsformel (part).<\/strong>
\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\text{VdK:}\\quad&&y_p&:=C(x)\\frac{1}{1+x^4}\\\\
\n\\Rightarrow&&y’_p&:=C'(x)\\frac{1}{1+x^4}+C(x)\\left(-\\frac{4x^3}{(1+x^4)^2}\\right)
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\stackrel{\\text{in DGL}}{\\Rightarrow}&&(1+x^4)^2\\biggl(C'(x)\\frac{1}{1+x^4}+C(x)\\left(-\\frac{4x^3}{(1+x^4)^2}\\right)\\biggr)+4x^3(1+x^4)C(x)\\frac{1}{1+x^4}+x&=0\\\\
\n\\Rightarrow&&(1+x^4)C'(x)\\frac{1}{1}+C(x)\\left(-\\frac{4x^3}{1}\\right)+4x^3C(x)\\frac{1}{1}+x&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\n\\begin{alignat*}{2}
\n\\Rightarrow&&(1+x^4)C'(x)+x&=0\\\\
\n\\Rightarrow&&C'(x)&=-\\frac{x}{1+x^4}\\\\
\n\\Rightarrow&&C(x)&=\\int-\\frac{x}{1+x^4}dx\\\\
\n\\Rightarrow&&C(x)&=-\\frac{1}{2}\\arctan(x^2)\\\\
\n\\Rightarrow&&y_p&=-\\frac{1}{2}\\arctan(x^2)\\frac{1}{1+x^4}\\\\
\n\\end{alignat*}<\/p>\nAlso:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=y_h+y_p=C\\frac{1}{1+x^4}-\\frac{1}{2}\\arctan(x^2)\\frac{1}{1+x^4}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBeispiele: Lineare DGL h\u00f6herer Ordnung mit konstanten Koeffizienten<\/h2>\n
AWP:$\\quad y“’+4y“+y‘-6y=0, \\quad y(0)=y'(0)=0, y“(0)=1$<\/p>\n
\\begin{alignat*}{2}
\n&& y“’+4y“+y‘-6y&=0\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\lambda^3+4\\lambda^2+\\lambda-6&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nNullstelle $\\lambda=1$ erraten und Polynom durch Horner-Schema (oder Pol.div.) aufgetrennt:
\n\\begin{alignat*}{2}
\n&& (\\lambda-1)(\\lambda^2+5\\lambda+6)&=0\\\\
\n\\stackrel{\\text{pq-Formel}}{\\Rightarrow}&& \\underbrace{(\\lambda-1)}_{\\lambda=1}\\underbrace{(\\lambda+2)}_{\\lambda=-2}\\underbrace{(\\lambda+3)}_{\\lambda=-3}&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nFundamentalsystem:
\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{1x},e^{-2x},e^{-3x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=C_1 e^{1x}+C_2 e^{-2x}+C_3 e^{-3x}
\n\\end{align*}<\/p>\nAWP l\u00f6sen: Ableitungen:
\n\\begin{align*}
\ny’&=C_1 e^{1x}-2C_2 e^{-2x}-3C_3 e^{-3x}\\\\
\ny“&=C_1 e^{1x}+4C_2 e^{-2x}+9C_3 e^{-3x}
\n\\end{align*}<\/p>\nAnfangswerte einsetzen und das entstehende LGS l\u00f6sen:
\n\\begin{align*}
\ny(0)&=C_1 e^{1\\cdot 0}+C_2 e^{-2\\cdot 0}+C_3 e^{-3\\cdot 0}=C_1+C_2+C_3=0\\\\
\ny'(0)&=C_1 e^{1\\cdot 0}-2C_2 e^{-2\\cdot 0}-3C_3 e^{-3\\cdot 0}=C_1-2C_2-3C_3=0\\\\
\ny“(0)&=C_1 e^{1\\cdot 0}+4C_2 e^{-2\\cdot 0\\cdot 0}+9C_3 e^{-3\\cdot 0}=C_1+4C_2+9C_3=1\\\\[4mm]
\n&\\left\\{\\begin{array}{rrrrrcl}
\nC_1&+&C_2& +& C_3& = & 0 \\\\
\nC_1&-&2C_2& -& 3C_3& = & 0 \\\\
\nC_1&+&4C_2& +& 9C_3& = & 1
\n\\end{array}\\right.\\quad\\stackrel{\\text{Gau\u00df-Alg.}}{\\rightarrow}\\quad C_1=\\frac{1}{12},\\ C_2=-\\frac{1}{3},\\ C_3=\\frac{1}{4}
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\Rightarrow y_{spez}=\\frac{1}{12} e^{1x}-\\frac{1}{3} e^{-2x}+\\frac{1}{4} e^{-3x}\\quad\\text{l\u00f6st das AWP.}
\n\\end{align*}<\/p>\nWeiteres Beispiel<\/h3>\n
Finde alle Funktionen $y$, f\u00fcr die $\\quad y“’+3y“+3y’+y=0 \\quad$ gilt.
\n\\begin{alignat*}{2}
\n&& y“’+3y“+3y’+y&=0\\\\
\n{\\Rightarrow}&& \\lambda^3+3\\lambda^2+3\\lambda+1&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nNullstelle $\\lambda=-1$ erraten und Polynom durch Horner-Schema (oder Pol.div.) aufgetrennt:<\/p>\n
\\begin{alignat*}{2}
\n&& (\\lambda+1)(\\lambda^2+2\\lambda+1)&=0\\\\
\n\\stackrel{\\text{pq-Formel}}{\\Rightarrow}&& \\underbrace{(\\lambda+1)}_{\\lambda=-1}\\underbrace{(\\lambda+1)}_{\\lambda=-1}\\underbrace{(\\lambda+1)}_{\\lambda=-1}&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nFundamentalsystem:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{-1x},x e^{-1x},x^2 e^{-1x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=C_1 e^{-x}+C_2x e^{-x}+C_3x^2 e^{-x}
\n\\end{align*}<\/p>\nFinde alle Funktionen $y$, f\u00fcr die $\\quad y^{(4)}-6y“’+22y“-30y’+13y=0 \\quad$ gilt.<\/p>\n
\\begin{alignat*}{2}
\n&& y^{(4)}-6y“’+22y“-30y’+13y&=0\\\\
\n{\\Rightarrow}&& \\lambda^4-6\\lambda^3+22\\lambda^2-30\\lambda+13&=0
\n\\end{alignat*}<\/p>\nNullstelle $\\lambda=1$ erraten und Polynom durch Horner-Schema (oder Pol.div.) aufgetrennt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\underbrace{(\\lambda-1)}_{\\lambda=1}\\underbrace{(\\lambda^3-5\\lambda^2+17\\lambda-13)}_{\\lambda=?}=0
\n\\end{align*}<\/p>\nNullstelle $\\lambda=1$ des Restpolynoms erraten (also doppelte Nullstelle) und Restpolynom durch Horner-Schema (oder Pol.div.) nochmals aufgetrennt:
\n\\begin{align*}
\n\\underbrace{(\\lambda-1)^2}_{\\lambda=1}\\underbrace{(\\lambda^2-4\\lambda+13)}_{\\lambda=?}=0
\n\\end{align*}<\/p>\nDurch pq-Formel die komplex konjugierte Nullstelle $\\lambda=2\\pm 3i$ bestimmt.<\/p>\n
Fundamentalsystem:
\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{1x},x e^{1x}, e^{2x}\\cos(3x), e^{2x}\\sin(3x)\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=C_1 e^{x}+C_2x e^{x}+C_3 e^{2x}\\cos(3x)+C_4 e^{2x}\\sin(3x)
\n\\end{align*}<\/p>\nWeiteres Beispiel<\/strong>
\nFinde alle Funktionen $y$, f\u00fcr die$\\quad 2y“+8y’=2 e^{-4x}\\quad$ gilt.<\/p>\n\\begin{alignat*}{2}
\n&& 2y“+8y’&=2 e^{-4x}\\\\
\n\\Rightarrow&&y“+4y’&= e^{-4x}\\quad\\text{(da vor h\u00f6chster Ableitung 1 als Faktor stehen muss.)}
\n\\end{alignat*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung<\/strong><\/p>\n
Fundamentalsystem:
\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{0x},e^{-4x}\\right\\}=\\left\\{1,e^{-4x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_h=C_1\\cdot 1+C_2 \\cdot e^{-4x}=C_1+C_2 e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung bestimmen: St\u00f6rgliedansatz:<\/h3>\n
\\begin{align*}
\ny_p:={(A_0)}\\cdot e^{-4x}\\cdot x^{1}=A_0x e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nAbleitungen bestimmen:
\n\\begin{align*}
\ny_p’&=A_0\\Bigl(1 e^{-4x}+x e^{-4x}\\cdot(-4)\\Bigr)=A_0(1-4x) e^{-4x}\\\\
\ny_p“&=A_0\\Bigr((-4) e^{-4x}+(1-4x) e^{-4x}\\cdot(-4)\\Bigl)=A_0(-8+16x) e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nIn DGL einsetzen:
\n\\begin{alignat*}{2}
\n&&y“+4y’&= e^{-4x}\\\\
\n\\Rightarrow&&A_0(-8+16x) e^{-4x}+4\\cdot A_0(1-4x) e^{-4x}&= e^{-4x}\\\\
\n\\Rightarrow&& -8A_0+16xA_0+4A_0-16xA_0&=1\\\\
\n\\Rightarrow&& -4A_0&=1\\\\
\n\\Rightarrow&& A_0&=-\\frac{1}{4}
\n\\end{alignat*}<\/p>\nAlso gilt:
\n\\begin{align*}
\ny_p=-\\frac{1}{4}x e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=y_h+y_p=C_1+C_2 e^{-4x}-\\frac{1}{4}x e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung bestimmen: VdK (LGS-Variante):<\/strong>
\n\\begin{align*}
\ny_p=C_1(x)+C_2(x) e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nL\u00f6se das Gleichungssystem:
\n\\begin{align*}
\n\\left(
\n\\begin{array}{cc}
\n1 & e^{-4x} \\\\
\n0 & -4 e^{-4x}
\n\\end{array}
\n\\right)
\n\\cdot
\n\\left(
\n\\begin{array}
\nCC’_1(x) \\\\
\nC’_2(x)
\n\\end{array}
\n\\right)
\n=
\n\\left(
\n\\begin{array}
\n00 \\\\
\ne^{-4x}
\n\\end{array}
\n\\right)
\n\\Rightarrow
\n\\left(
\n\\begin{array}{cc|c}
\n11 & e^{-4x} & 0 \\\\
\n0 & -4 e^{-4x} & e^{-4x}
\n\\end{array} \\right) \\\\
\n\\Rightarrow
\n\\left( C’_2(x)=\\frac{ e^{-4x}}{-4 e^{-4x}}=-\\frac{1}{4}\\quad C’_1(x)-\\frac{1}{4} e^{-4x}=0 \\quad C’_1(x)=\\frac{1}{4} e^{-4x} \\right)
\n\\end{align*}<\/p>\nIntegrieren:
\n\\begin{align*}
\nC_1(x)&=\\frac{1}{4}\\cdot\\left(-\\frac{1}{4}\\right) e^{-4x}=-\\frac{1}{16} e^{-4x}\\quad\\text{und}\\quad C_2(x)=-\\frac{1}{4}x
\n\\end{align*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_p=-\\frac{1}{16} e^{-4x}-\\frac{1}{4}x e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=y_h+y_p=C_1+C_2 e^{-4x}-\\frac{1}{16} e^{-4x}-\\frac{1}{4}x e^{-4x}
\n\\end{align*}<\/p>\n\nDen Term $C_2 e^{-4x}-\\frac{1}{16} e^{-4x}$ k\u00f6nnten wir zusammenfassen zu $(C_2-\\frac{1}{16}) e^{-4x}$, wobei $C_2-\\frac{1}{16}$ wieder eine Konstante aus $\\mathbb{R}$ ist. Damit w\u00fcrden wir bei exakt der L\u00f6sung landen, die wir durch den St\u00f6rgliedansatz bestimmt haben.<\/p>\n<\/div>\n
\nWeiteres Beispiel<\/h3>\n$\\text{RWP:} \\quad y“-2y’+y=\\frac{ e^{x}}{x^2},\\quad y(1)=y'(1)= e$\n
Homogene L\u00f6sung (also l\u00f6se $y“-2y’+y=0$)<\/p>\n
Fundamentalsystem:
\n\\begin{align*}
\n\\text{FS}=\\left\\{e^{1x},x e^{1x}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\nHomogene L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_h=C_1 e^x+C_2x e^x
\n\\end{align*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung bestimmen: St\u00f6rgliedansatz:<\/strong><\/p>\n
Da $\\frac{ e^{x}}{x^2}$ keiner Struktur aus der Ansatztabelle entspricht, k\u00f6nnen wir die partikul\u00e4re L\u00f6sung so nicht ohne Weiteres bestimmen.<\/p>\n
Partikul\u00e4re L\u00f6sung bestimmen: VdK (LGS-Variante):<\/strong>
\n\\begin{align*}
\ny_p=C_1(x) e^x+C_2(x)x e^x
\n\\end{align*}<\/p>\nL\u00f6se das Gleichungssystem:
\n![\"DGL](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/DGL-Beispiel.png\")
<\/p>\n\\begin{align*}
\nC’_2=\\frac{1}{x^2}\\quad C’_1+\\frac{1}{x^2}\\cdot x=0\\quad C’_1=-\\frac{1}{x}
\n\\end{align*}<\/p>\nIntegrieren:
\n\\begin{align*}
\nC_1(x)&=-\\ln |{x}|\\quad\\text{und}\\quad C_2(x)=\\int{\\frac{1}{x^2}}dx=\\int{x^{-2}}dx=\\frac{1}{-1}x^{-1}=-\\frac{1}{x}
\n\\end{align*}<\/p>\nPartikul\u00e4re L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_p=-\\ln|{x}| e^x-\\frac{1}{x}x e^x=-\\ln |{x}| e^x- e^x
\n\\end{align*}<\/p>\nAllgemeine L\u00f6sung:
\n\\begin{align*}
\ny_{allg}=y_h+y_p=C_1 e^x+C_2x e^x-\\ln |{x}| e^x- e^x
\n\\end{align*}<\/p>\nRWP l\u00f6sen: Ableitungen:
\n\\begin{align*}
\ny’&=C_1 e^x+C_2 e^x+C_2x e^x-\\frac{e^x}{x}-\\ln |{x}| e^x- e^x
\n\\end{align*}<\/p>\nRandwerte einsetzen und das entstehende LGS l\u00f6sen:
\n\\begin{align*}
\ny(1)&=C_1 e^1+C_2\\cdot 1\\cdot e^1-\\ln |{1}| e^1- e^1=C_1 e+C_2 e-e= e\\\\
\ny'(1)&=C_1 e^1+C_2 e^1+C_2\\cdot 1\\cdot e^1-\\frac{e^1}{1}-\\ln |{1}| e^1-e^1=C_1 e+C_22 e-2 e=e\\\\[4mm]
\n&
\n\\left\\{
\n\\begin{array}{rrrrrcl}
\nC_1 e&+&C_2 e& = & 2 e \\\\
\nC_1 e&+&2C_2 e & = & 3 e
\n\\end{array}\\right.\\quad\\stackrel{\\text{Gaus-Alg.}}{\\Rightarrow}\\quad C_1=1,\\ C_2=1
\n\\end{align*}
\n\\begin{align*}
\n\\quad y_{spez}=e^x+x e^x-\\ln |{x}| e^x-e^x=e^x\\left(x-\\ln |x| \\right)\\quad\\text{l\u00f6st das RWP.}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBeispiele: Nicht-lineare DGL erster Ordnung<\/h2>\n
Beispiel 1<\/strong>
\nL\u00f6se das AWP: $y’y^3= e^x,\\quad y(0)=3$<\/p>\nL\u00f6sen per TdV:
\n\\begin{align*}{2}
\n&&\\frac{dy}{dx}y^3&= e^x\\quad y^3 dy= e^x dx\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\int_3^y y^3 dy&=\\int_0^x e^x dx\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\frac{1}{4}y^4-\\frac{1}{4}3^4&= e^x – e^0\\ \\Bigl|\\Bigr.\\ \\cdot 4\\\\
\n\\Leftrightarrow&& y^4-81&=4 e^x-4\\\\
\n\\Leftrightarrow&& y^4&=4 e^x+77\\\\
\n\\Leftrightarrow&& y=y_{spez}&=\\sqrt[4]{4 e^x+77}\\text{ (pos. Lsg., da AWP} y(0)=3>0)
\n\\end{align*}<\/p>\nL\u00f6se das AWP: $\\frac{y‘}{\\sin^3(x)}=y\\cos(x)\\ln(y),\\quad y\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)=e$<\/p>\n
L\u00f6sen per TdV:
\n\\begin{align*}
\n&&\\frac{dy}{dx}\\cdot\\frac{1}{\\sin^3(x)}&=y\\cos(x)\\ln(y)\\Leftrightarrow \\frac{1}{y\\ln(y)}dy=\\cos(x)\\sin^3(x) dx\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\int_e^y \\frac{1}{y\\ln(y)}dy&=\\int_{\\frac{\\pi}{4}}^x \\cos(x)\\sin^3(x) dx\\\\
\n\\stackrel{\\ast^1}{\\Leftrightarrow}
\n&&\\ln\\bigl(\\ln(y)\\bigr)-\\ln\\bigl(\\ln(e)\\bigr)&=\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{4}\\sin^4\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\ln\\bigl(\\ln(y)\\bigr)-\\ln\\bigl(1\\bigr)&=\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{4}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^4\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\ln\\bigl(\\ln(y)\\bigr)-0&=\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{4}\\cdot \\frac{1}{4}\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\ln\\bigl(\\ln(y)\\bigr)&=\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{16}\\\\
\n\\Leftrightarrow&& \\ln(y)&=e^{\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{16}}\\\\
\n\\Leftrightarrow&& y=y_{spez}&=e^{\\left(e^{\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{16}}\\right)}=\\text{e}\\left\\{e^{\\frac{1}{4}\\sin^4(x)-\\frac{1}{16}}\\right\\}
\n\\end{align*}<\/p>\n$\\ast^1: \\text{Integrale l\u00f6sen durch Substitution auf} \\ y$-Seite: $z:=\\ln(y)$ und Substitution auf $x$-Seite: $z:=\\sin(x)$<\/p>\n
Beispiel 2<\/strong>
\nL\u00f6se das AWP: $2y’y=2x\\cdot\\frac{1+y^4}{1+x^2},\\quad y(0)=1$<\/p>\nL\u00f6sen per TdV:
\n\\begin{align*}{2}
\n&&\\frac{dy}{dx}2y&=2x\\cdot\\frac{1+y^4}{1+x^2}\\Rightarrow \\frac{2y}{1+y^4}dy=\\frac{2x}{1+x^2}dx\\\\
\n\\Rightarrow&& \\int_1^y \\frac{2y}{1+y^4} dy&=\\int_0^x \\frac{2x}{1+x^2} dx\\\\
\n\\stackrel{\\ast^1}{\\Rightarrow}&& \\arctan(y^2)-\\arctan(1^2)&=\\ln(1+x^2)-\\ln(1+0)\\\\
\n\\Rightarrow&& \\arctan(y^2)-\\frac{\\pi}{4}&=\\ln(1+x^2)\\\\
\n\\Rightarrow&& \\arctan(y^2)&=\\ln(1+x^2)+\\frac{\\pi}{4}\\\\
\n\\Rightarrow&& y^2&=\\tan\\left(\\ln(1+x^2)+\\frac{\\pi}{4}\\right)\\\\
\n\\Rightarrow&& y=y_{spez}&=\\sqrt{\\tan\\left(\\ln(1+x^2)+\\frac{\\pi}{4}\\right)}\\text{ (pos. Lsg., da AWP y(0)=1>0)}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n$\\ast^1$: Integrale l\u00f6sen durch Substitution auf $y$-Seite: $z:=y^2$ und Substitution auf $x$-Seite: $z:=1+x^2$<\/p>\n<\/div>\n
Nicht-lineare DGLs k\u00f6nnen auch gewisse Strukturen aufweisen, f\u00fcr die es spezielle L\u00f6sungsans\u00e4tze durch Substitutionen gibt. In den nachfolgenden Unterkapiteln stellen wir zwei dieser speziellen Strukturen vor.<\/p>\n
\nBernoulli-Differentialgleichung<\/h2>\n
Wenn sich eine DGL in der Form<\/p>\n
\\begin{align}
\ny’=p(x)y+q(x)y^a\\text{ mit } a\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0,1\\}
\n\\end{align}<\/p>\nschreiben l\u00e4sst, dann ist diese als Bernoulli-DGL typisiert (gew\u00f6hnlich, 1. Ordnung, nicht-linear wegen $y^a$).<\/p>\n
\nF\u00fcr $a=0$ w\u00e4re $y’=p(x)y+q(x)y^0\\Rightarrow y’=p(x)y+q(x)$ eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung.<\/p>\n
F\u00fcr $a=1$ w\u00e4re $y’=p(x)y+q(x)y^1\\Rightarrow y’=\\Bigl(p(x)+q(x)\\Bigr)y$ eine homogene lineare DGL 1. Ordnung.<\/p>\n<\/div>\n
Diese l\u00e4sst sich mit dem Ansatz einer Substitution $z$ l\u00f6sen:
\n\\begin{align}
\nz:=y^{1-a}
\n\\end{align}<\/p>\nDamit k\u00f6nnen wir die DGL auf eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung zur\u00fcckf\u00fchren, welche dann leicht zu l\u00f6sen ist.<\/p>\n
Herleitung der substituierten DGL:<\/strong>
\n\\begin{align*}
\n\\Rightarrow y&=\\sqrt[1-a]{z}=z^{\\frac{1}{1-a}}\\\\
\n\\Rightarrow y’&=\\frac{1}{1-a}\\cdot z^{\\frac{1}{1-a}-1}\\cdot z’=\\frac{1}{1-n}\\cdot z^{\\frac{a}{1-a}}\\cdot z‘
\n\\end{align*}
\nIn $y’=p(x)y+q(x)y^a$ einsetzen:
\n\\begin{align*}{3}
\n&&\\frac{1}{1-a}\\cdot z^{\\frac{a}{1-a}}\\cdot z’&=p(x)\\cdot z^{\\frac{1}{1-a}}+q(x)\\cdot\\left(z^{\\frac{1}{1-a}}\\right)^a&&\\ \\bigl|\\bigr.\\ \\cdot(1-a)\\\\
\n\\Rightarrow&&z^{\\frac{a}{1-a}}\\cdot z’&=(1-a)p(x)\\cdot z^{\\frac{1}{1-a}}+(1-a)q(x)\\cdot z^{\\frac{a}{1-a}}&&\\ \\bigl|\\bigr.\\ :z^{\\frac{a}{1-a}}\\\\
\n\\Rightarrow&&z’&=(1-a)p(x)\\cdot z^{\\frac{1}{1-a}-\\frac{a}{1-a}}+(1-a)q(x)\\cdot z^{\\frac{a}{1-a}-\\frac{a}{1-a}}&&\\\\
\n\\Rightarrow&&z’&=(1-a)p(x)\\cdot z^{1}+(1-a)q(x)\\cdot z^{0}&&\\\\
\n\\Rightarrow&&z’&=(1-a)p(x)\\cdot z+(1-a)q(x)&&
\n\\end{align*}<\/p>\nIm Anschluss wird r\u00fccksubstituiert und auf $y$ aufgel\u00f6st.
\nL\u00f6sungsansatz Bernoulli-DGL<\/strong><\/p>\n- \n
- DGL korrekt typisieren<\/li>\n
- DGL in Form $y’=p(x)y+q(x)y^a$ schreiben<\/li>\n
- Substituieren: $z:=y^{1-a}$ setzen<\/li>\n
- Ausgangs-DGL wird zur substituierten DGL $z’=(1-a)p(x)\\cdot z+(1-a)q(x)$<\/li>\n
- Substituierte DGL ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung<\/li>\n
- Substituierte DGL mit \u00dcbergeordneten L\u00f6sungsverfahren l\u00f6sen.<\/li>\n
- R\u00fccksubstitution von $z$ nach $y^{1-a}$<\/li>\n
- Nach $y$ aufl\u00f6sen<\/li>\n<\/ol>\n
Beispiel<\/strong>
\nL\u00f6se das AWP $y’+y-y^3=0,\\quad y(0)=2$.<\/p>\nDie DGL ist eine Bernoulli-DGL.
\n\\begin{align*}{2}
\n&&y’+y-y^3&=0\\\\
\n\\Rightarrow&&y’&=-y+y^3\\\\
\n\\Rightarrow&&y’=&p(x)y+q(x)y^a\\Rightarrow p(x)=-1,\\ q(x)=1,\\ a=3,\\ z:=y^{1-3}=y^{-2}\\\\
\n\\stackrel{\\text{subst.}}{\\Rightarrow}&& z’&=(1-3)(-1)z+(1-3)(1)\\\\
\n\\Rightarrow&& z’&=2z-2
\n\\end{align*}<\/p>\nInhomogene DGL $z’=2z-2$ per TdV l\u00f6sen, da separierbar:
\n\\begin{align*}{2}
\n&&z’&=2z-2\\Rightarrow \\frac{dz}{dx}=(2)(z-1)\\Rightarrow\\frac{1}{z-1}dz=2 dx\\\\
\n\\Rightarrow&&\\int\\frac{1}{z-1}dz&=\\int 2 dx\\\\
\n\\Rightarrow&& \\ln(z-1)&=2x+C_1\\\\
\n\\Rightarrow&& z-1&=e^{2x+C_1}=C e^{2x}\\\\
\n\\Rightarrow&& z=z_{allg}&=C e^{2x}+1
\n\\end{align*}<\/p>\nR\u00fccksubstitution: $z=y^{-2}=\\frac{1}{y^2}$
\n\\begin{align*}{2}
\n\\Rightarrow&& \\frac{1}{y^2}&=C e^{2x}+1 \\\\
\n\\Rightarrow&& y=y_{allg}&=\\pm\\sqrt{\\frac{1}{C e^{2x}+1}},\\ C\\in\\mathbb{R}\\
\n\\end{align*}<\/p>\nAWP l\u00f6sen und die spezielle L\u00f6sung der DGL bestimmen:
\n\\begin{align*}{2}
\n&&y(0)&\\stackrel{1}{=}\\sqrt{\\frac{1}{C e^{2\\cdot 0}+1}}\\stackrel{!}{=}2\\\\
\n\\Rightarrow&&\\sqrt{\\frac{1}{C+1}}&=2\\Rightarrow\\frac{1}{C+1}=4\\Rightarrow 1=4C+4\\Rightarrow C=-\\frac{3}{4}\\\\
\n\\Rightarrow &&y=y_{spez}&=\\sqrt{\\frac{1}{-\\frac{3}{4} e^{2x}+1}}
\n\\end{align*}<\/p>\n$\\ast^1$: Die negative L\u00f6sung aus $y_{allg}$ entf\u00e4llt aufgrund des positiven $y_0$.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n%y’+2xy&=y^2 e^{x^2} \\\\[1mm]
\n%3y’+y&=\\frac{1}{y^2} \\\\[1mm]
\n%xy’+2y&=-x^3\\cos(x)y^2}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n<\/p>\n
Eulerhomogene-DGL<\/h3>\n
Wenn sich eine nicht-lineare DGL erster Ordnung in der Form
\n\\begin{align*}
\ny’=f\\left(\\frac{y}{x}\\right)
\n\\end{align*}<\/p>\nschreiben l\u00e4sst, dann nennt sich diese DGL Eulerhomogene-DGL. Mit $f\\left(\\frac{y}{x}\\right)$ ist gemeint, dass dort der Term $\\frac{y}{x}$ in jeglicher Funktion verschachtelt eingebunden sein kann z.B. $y’=\\frac{y}{x}-1-e^{\\frac{y}{x}}$.<\/p>\n
\nDie Bezeichnung „Eulerhomogene-DGL“ l\u00e4sst vermuten, dass es sich um eine homo\\-gene DGL im Sinne der Typisierung von DGLs handelt. Das ist jedoch nicht der Fall!<\/p>\n<\/div>\n
Solch eine DGL l\u00e4sst sich ebenfalls mit dem Ansatz einer Substitution $z$ l\u00f6sen:
\n\\begin{align}{2}
\n&&z&:=\\frac{y}{x}\\notag\\\\
\n\\Rightarrow &&y&=z\\cdot x\\\\
\n\\Rightarrow &&y’&=z’\\cdot x+z\\cdot 1
\n\\end{align}<\/p>\n\nBeachte, dass $z$ eine Fkt. von $x$ ist (also Produktregel beim Ableiten!).<\/p>\n<\/div>\n
L\u00f6sungsansatz Eulerhomogene-DGL<\/p>\n
- \n
- DGL korrekt typisieren<\/li>\n
- DGL l\u00e4sst sich schreiben als $y’=f(\\frac{y}{x})$<\/li>\n
- Substitutionen $\\Rightarrow y=z\\cdot x$ und $\\Rightarrow y’=z’\\cdot x+z\\cdot 1$ nutzen und in die Ausgangs-DGL einsetzen.<\/li>\n
- Nun versuchen, die substituierte DGL per TdV zu l\u00f6sen<\/li>\n
- R\u00fccksubstitution von $z$ nach $\\frac{y}{x}$<\/li>\n
- Auf $y$ aufl\u00f6sen<\/li>\n<\/ol>\n
Beispiel<\/strong>
\nL\u00f6se das AWP $y’=1+2\\cdot\\frac{y}{x},\\quad y(1)=-3$<\/p>\nSubstitutionen $\\Rightarrow y=z\\cdot x$ und $\\Rightarrow y’=z’\\cdot x+z\\cdot 1$ nutzen:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& z’x+z&=1+2z\\\\
\n\\Rightarrow&& z’x&=1+z
\n\\end{align*}<\/p>\nTdV der inhomogenen DGL, da diese separierbar ist:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& \\frac{dz}{dx}x&=1+z\\Rightarrow\\frac{dz}{1+z}=\\frac{dx}{x}\\\\
\n\\Rightarrow&& \\int{\\frac{1}{1+z}}dz&=\\int{\\frac{1}{x}}dx \\\\
\n\\Rightarrow&& \\ln|1+z|&=\\ln|x|+C_1\\\\
\n\\Rightarrow&& 1+z&=e^{\\ln|x|+C_1}\\\\
\n\\Rightarrow&& 1+z&=Cx\\\\
\n\\Rightarrow&& z&=Cx-1
\n\\end{align*}<\/p>\nR\u00fccksubstitution:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& \\frac{y}{x}&=Cx-1 \\\\
\n\\Rightarrow&& y_{allg}&=Cx^2-x,\\ C\\in\\mathbb{R}\\
\n\\end{align*}<\/p>\nAWP l\u00f6sen:
\n\\begin{align*}{2}
\n&&y(1)&=C\\cdot 1^2-1=C-1\\stackrel{!}{=}-3\\\\
\n\\Rightarrow&&C&=-2\\\\
\n\\Rightarrow&&y_{spez}&=-2x^2-x
\n\\end{align*}<\/p>\n\nWir h\u00e4tten hier auch die \u00fcblichen Methoden f\u00fcr eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung sofort anwenden k\u00f6nnen.<\/p>\n<\/div>\n
Weiteres Beispiel<\/strong>
\nFinde alle Funktionen, f\u00fcr die $xy’=y-x-x e^{\\frac{y}{x}}$ gilt.<\/p>\n\\begin{align*}
\nxy’=y-x-x\\exp^{\\frac{y}{x}}\\Rightarrow y’=\\frac{y}{x}-1- e^{\\frac{y}{x}}
\n\\end{align*}<\/p>\nSubstitutionen $\\Rightarrow y=z\\cdot x$ und $\\Rightarrow y’=z’\\cdot x+z\\cdot 1$ nutzen:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& z’x+z&=z-1-\\exp^z\\\\
\n\\Rightarrow&& z’x&=-1-\\exp^z
\n\\end{align*}<\/p>\nTdV der nicht-linearen DGL:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& \\frac{dz}{dx}x&=-1-e^z\\Rightarrow\\frac{1}{-1-e^z}dz=\\frac{1}{x}dx \\\\
\n\\Rightarrow&& -\\int{\\frac{1}{1+ e^z}}dz&=\\int{\\frac{1}{x}}dx\\\\
\n\\stackrel{\\ast^1}{\\Rightarrow}&& -\\left(-\\ln|{1+e^z}|+\\ln|{e^z}|\\right)&=\\ln|{x}|+C_1\\\\
\n\\stackrel{\\ast^2}{\\Rightarrow}&& \\ln|{1+e^z}|-\\ln|{e^z}|&=\\ln|{x}|+C_1\\\\
\n\\Rightarrow&& \\ln|{\\frac{1+e^z}{e^z}}|&=\\ln|{x}|+C_1\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1+e^z}{e^z}&=e^{\\ln|{x}|+C_1}\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1+e^z}{e^z}&=e^{C_1}\\cdot e^{\\ln|{x}|}\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1}{e^z}+\\frac{e^z}{e^z}&=Cx\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1}{e^z}+1&=Cx\\\\
\n\\Rightarrow&& \\frac{1}{e^z}&=Cx-1\\\\
\n\\Rightarrow&& e^z&=\\frac{1}{Cx-1}\\\\
\n\\Rightarrow&& z&=\\ln\\left(\\frac{1}{Cx-1}\\right)\\\\
\n\\Rightarrow&& z&=\\ln(1)-\\ln(Cx-1)\\\\
\n\\Rightarrow&& z&=-\\ln(Cx-1)
\n\\end{align*}<\/p>\n\n$\\ast^1$: Das Integral l\u00f6sen durch Substitution $z=:\\ln(u)\\ \\Leftrightarrow\\ dz=\\frac{1}{u}du$, und dann PBZ.\\\\
\n$\\ast^2$: Den Term $\\ln|{e^z}|$ k\u00f6nnten wir auch zu $z$ vereinfachen und danach die e-Funktion mit Potenzgesetzen nutzen.<\/p>\n<\/div>\nR\u00fccksubstitution:
\n\\begin{align*}{2}
\n&& \\frac{y}{x}&=-\\ln(Cx-1) \\\\
\n\\Rightarrow&& y_{allg}&=-x\\ln(Cx-1),\\ C\\in\\mathbb{R}\\
\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Eine Differentialgleichung (kurz Diff.’gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen k\u00f6nnen. Die L\u00f6sung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl! Inhalte auf dieser Seite Notationen von Differentialgleichungen Typisierung von Differentialgleichungen \u00dcbergeordnete L\u00f6sungsans\u00e4tze Beispiele: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Beispiele: Lineare DGL h\u00f6herer Ordnung […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n
Differentialgleichung - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Differentialgleichung - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Eine Differentialgleichung (kurz Diff.’gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen k\u00f6nnen. Die L\u00f6sung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl! Inhalte auf dieser Seite Notationen von Differentialgleichungen Typisierung von Differentialgleichungen \u00dcbergeordnete L\u00f6sungsans\u00e4tze Beispiele: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Beispiele: Lineare DGL h\u00f6herer Ordnung […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-03-22T08:05:11+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Typisierung-von-Differentialgleichungen-1024x542.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Typisierung-von-Differentialgleichungen.png\",\"width\":1233,\"height\":653},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/\",\"name\":\"Differentialgleichung - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2019-09-23T09:39:13+00:00\",\"dateModified\":\"2021-03-22T08:05:11+00:00\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/differentialgleichung\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14754"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14754"}],"version-history":[{"count":42,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14754\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16685,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14754\/revisions\/16685"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14754"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=14754"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=14754"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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