{"id":16,"date":"2015-03-25T20:49:05","date_gmt":"2015-03-25T19:49:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=16"},"modified":"2020-08-27T12:53:19","modified_gmt":"2020-08-27T10:53:19","slug":"gleichungen-loesen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/gleichungen-loesen\/","title":{"rendered":"Gleichungen l\u00f6sen"},"content":{"rendered":"\n<p>Um Gleichungen l\u00f6sen zu k\u00f6nnen gibt es einige Standardtechniken, die wir euch auf dieser Seite zeigen. Wichtig ist, dass ihr diese Techniken verinnerlicht, denn sie werden euch nahezu t\u00e4glich im Mathematikunterricht begegnen.<\/p>\n<p><strong> Inhaltsverzeichnis <\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#gleichung-l\u00f6sen\">Gleichung l\u00f6sen Grundlagen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#BruchgleichungenLoesen\">Bruchgleichungen l\u00f6sen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ausklammern\">Ausklammern <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#pq-formel\">pq-Formel <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#abc-formel\">ABC-Formel <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#substitution\">Substitution <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#polynomdivision\">Polynomdivision <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#newtonverfahren\">Newtonverfahren <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#e-funktion-l\u00f6sen\">Gleichung mit e-Funktion l\u00f6sen <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#UngleichungenLoesen\">Ungleichungen l\u00f6sen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">8 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download\u2713 steigender Schwierigkeitsgrad\u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-1.png\" alt=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\" title=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\"\/><\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"gleichung-l\u00f6sen\" class=\"anchor\">Gleichung l\u00f6sen Grundlagen<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel lineare Gleichung l\u00f6sen<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x-8 \u00a0&amp; =0 \\quad |+8 \\\\<br \/>\n2x \u00a0&amp; =8 \\quad |:2 \\\\<br \/>\nx \u00a0&amp; =4<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li> Wir bringen die $8$ auf die rechte Seite, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung 8 addieren.<\/li>\n<li> Wir dividieren beide Seiten durch 2, damit das $x$ auf der linken Seite der Gleichung alleine steht.<\/li>\n<li> Nach dem Dividieren sehen wir, dass die Gleichung x=4 &#8222;\u00fcbrig&#8220; geblieben ist. Somit ist 4 unser Ergebnis!<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel Gleichung mit Wurzel l\u00f6sen<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x^2- 8&amp;= 0 \\quad |+8 \\\\<br \/>\n2x^2 &amp;= 8 \\quad |:2 \\\\<br \/>\nx^2 &amp;=4 \\quad |\\sqrt{ ~~} \\\\<br \/>\nx_1=2 \\ &amp;\\wedge \\ x_2=-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li> Wir bringen wieder die $8$ auf die rechte Seite, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung 8 addieren.<\/li>\n<li> Wir dividieren beide Seiten durch 2, damit das $x$ auf der linken Seite der Gleichung alleine steht.<\/li>\n<li> Nach dem Dividieren sehen wir, dass die Gleichung $x^2=4$ &#8222;\u00fcbrig&#8220; geblieben ist. Wir m\u00fcssen also die $x^2$ als n\u00e4chstes abarbeiten.<\/li>\n<li> Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel, damit das &#8222;hoch-zwei&#8220; verschwindet. Wichtig: Wir erhalten zwei Ergebnisse, da wir die Wurzel gezogen haben! Diese sind $x_1=2 \\ \\ \\textrm{und} \\ \\ x_2=-2$ <\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"maphi\"><a href=\"https:\/\/maphi.app\/?\/l0\/eyJleHByZXNzaW9uIjoiMip4XjItOD0wIiwic3RyYXRlZ3kiOiJTb2x2ZTp4In0=\" class=\"maphi-link\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-16043\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"400\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-150x150.jpg 150w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-768x768.jpg 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1.jpg 800w\" sizes=\"(max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/a><\/div>\n<div class=\"box info\"><br \/>\n<strong>Merksatz zu Gleichungen<\/strong><\/p>\n<p>Die Gleichung $x^2=a$ hat f\u00fcr<\/p>\n<ul>\n<li>$a&gt;0$ die <em>beiden<\/em> L\u00f6sungen $x= \\pm \\sqrt{a}$,<\/li>\n<li>$a=0$ die einzige L\u00f6sung $x=0$,<\/li>\n<li>$a&lt;0$ <em>keine<\/em>\u00a0L\u00f6sung, denn es darf keine <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wurzeln-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Wurzel<\/a> aus einer negativen Zahl gezogen werden! Die L\u00f6sungsmenge ist in diesem Fall leer $\\mathbb{L}=\\{ \\}$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel Gleichung mit zwei &#8222;x&#8220; l\u00f6sen<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x+3=5x-12 \\end{align*}<\/p>\n<p>Beim Gleichungen l\u00f6sen m\u00fcssen wir uns \u00fcberlegen, auf welcher Seite der Gleichung wir unsere $x$ und auf welcher Seite wir unsere Zahlen sammeln wollen. Es spielt grunds\u00e4tzlich keine Rolle, ob das $x$\u00a0am Ende auf der linken oder auf der rechten Seite der Gleichung steht.<\/p>\n<p>Wir entscheiden uns daf\u00fcr, dass wir die $x$\u00a0auf der linken Seite sammeln und bringen jetzt die $5x$\u00a0mit $-5x$\u00a0auf die linke Seite der Gleichung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;2x+3 &amp; =&amp; 5x-12 &amp;|-5x \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; 2x+3-5x &amp;=&amp;5x-12-5x &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Wir fassen zusammen und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n-3x+3=-12<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes bringen wir die $3$ mit $-3$ auf die rechte Seite der Gleichung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-3x+3 &amp; =&amp; -12 &amp;|-3 \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; -3x+3-3 &amp;=&amp;-12-3 &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Wir fassen zusammen und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n-3x=-15<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zum Schluss wollen wir noch die $-3$ vor unserem $x$ beseitigen. Wir teilen also auf beiden Seiten der Gleichung durch $-3$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-3x &amp; =&amp; -15 &amp;|:(-3) \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; x &amp;=&amp;5 &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<\/div><\/p>\n<div class=\"maphi\"><a href=\"https:\/\/maphi.app\/?\/l0\/eyJleHByZXNzaW9uIjoiMip4KzM9NSp4LTEyIiwic3RyYXRlZ3kiOiJTb2x2ZTp4In0=\" class=\"maphi-link\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-16043\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"400\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-150x150.jpg 150w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-768x768.jpg 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1.jpg 800w\" sizes=\"(max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/a><\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel Gleichung mit Klammer l\u00f6sen<\/h3>\n<p>Es kann auch vorkommen, dass unsere Gleichung zu Beginn Klammern enth\u00e4lt, die wir zuerst aufl\u00f6sen m\u00fcssen:<br \/>\n\\[2x-\\left(3x+5\\right)=2\\cdot\u00a0(x+3)\\]<br \/>\nEin Minus vor der Klammer bewirkt, dass sich die Vorzeichen in der Klammer umkehren und die Klammer anschlie\u00dfend verschwindet. Auf der rechten Seite unserer Gleichung wird die Klammer ausmultipliziert. Insgesamt erhalten wir also:<br \/>\n\\[2x-3x-5=2x+6\\]<br \/>\nWir fassen zusammen und erhalten:<br \/>\n\\[-x-5=2x+6\\]<\/p>\n<p>Merkt euch:\u00a0$-x=-1\\cdot x$<\/p>\n<p>Wir bringen jetzt unsere $2x$ auf die linke Seite der Gleichung, indem wir $-2x$\u00a0rechnen und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-x-5 &amp; =&amp;2x+6 &amp;|-2x \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; -3x-5 &amp;=&amp;6 &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend bringen wir die $-5$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem wir $+5$\u00a0rechnen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-3x-5 &amp; =&amp; 6 &amp;|+5 \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; -3x &amp;=&amp;11 &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Abschlie\u00dfend teilen wir auf beiden Seiten der Gleichung durch $-3$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-3x &amp; =&amp; 11 &amp;|:(-3) \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; x &amp;=&amp;-\\frac{11}{3} &amp;\u00a0\\end{array} \\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"maphi\"><a href=\"https:\/\/maphi.app\/?\/l0\/eyJleHByZXNzaW9uIjoiMip4LSgzKngrNSk9MiooeCszKSIsInN0cmF0ZWd5IjoiU29sdmU6eCJ9\" class=\"maphi-link\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-16043\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"400\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-300x300.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-150x150.jpg 150w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1-768x768.jpg 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/maphi-1.jpg 800w\" sizes=\"(max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/a><\/div>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmals im Video, wie ihr Gleichungen umformt und l\u00f6sen k\u00f6nnt!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichungen l&ouml;sen, Grundlagen, Umformen, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_9UVkZFySE5I\"><div id=\"lyte_9UVkZFySE5I\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F9UVkZFySE5I%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Gleichungen l\u00f6sen, Grundlagen, Umformen, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/9UVkZFySE5I\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F9UVkZFySE5I%2F0.jpg\" alt=\"Gleichungen l&ouml;sen, Grundlagen, Umformen, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichungen l&ouml;sen durch Umformen und Wurzel ziehen, L&ouml;sungsverfahren | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_o2QW5WITWvQ\"><div id=\"lyte_o2QW5WITWvQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fo2QW5WITWvQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Gleichungen l\u00f6sen durch Umformen und Wurzel ziehen, L\u00f6sungsverfahren | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/o2QW5WITWvQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fo2QW5WITWvQ%2F0.jpg\" alt=\"Gleichungen l&ouml;sen durch Umformen und Wurzel ziehen, L&ouml;sungsverfahren | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"BruchgleichungenLoesen\" class=\"anchor\">Bruchgleichungen l\u00f6sen<\/h2>\n<p>Beim Bruchgleichungen L\u00f6sen geht ihr am besten nach dem folgenden Schema vor. (<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Hier geht es nochmal zu den Grundlagen des Bruchrechnens<\/a>)<\/p>\n<p>Zuerst werden die Nenner auf beiden Seiten der Gleichung eliminiert, indem ihr mit genau diesen beiden Nennern multipliziert. Anschlie\u00dfend verfahrt ihr genau so wie beim L\u00f6sen von linearen Gleichungen. Dazu gucken wir uns die folgende Gleichung an:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp; \\frac{2x+2}{3} &amp; =&amp; \\frac{x-3}{2} &amp;|\\cdot 2 \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; \\frac{(2x+2)\\cdot 2}{3} &amp; =&amp; \\frac{(x-3)\\cdot 2}{2} &amp; | \\ \\small{\\textrm{Ausmultiplizieren bzw. K\u00fcrzen}} \\\\ \\Leftrightarrow &amp; \\frac{4x+4}{3} &amp; =&amp; x-3 &amp; |\\cdot 3 \\\\ \\Leftrightarrow &amp; \\frac{(4x+4)\\cdot 3}{3} &amp; =&amp; (x-3)\\cdot 3 \u00a0&amp; | \\ \\small{\\textrm{Ausmultiplizieren bzw. K\u00fcrzen}} \\\\ \u00a0\\Leftrightarrow &amp; 4x+4 &amp; =&amp; 3x-9 &amp; |- 3x \\\\ \\Leftrightarrow &amp; x+4 &amp; =&amp;-9 &amp; |- 4 \\\\ \\Leftrightarrow &amp; x &amp; =&amp;-13 &amp; \u00a0 \\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Der folgende Trick kann beim L\u00f6sen von Bruchgleichungen besonders hilfreich sein. Sollte euer $x$ im Nenner stehen, so d\u00fcrft ihr auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert bilden und k\u00f6nnt anschlie\u00dfend wieder mit dem jeweiligen Nenner multiplizieren:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;\\frac{2}{x} &amp; =&amp; \\frac{32}{7} &amp;|\\ \\small{\\textrm{Kehrwert bilden}} \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp;\\frac{x}{2} &amp; =&amp; \\frac{7}{32} &amp; | \\cdot 2 \\\\ \u00a0\\Leftrightarrow &amp;\\frac{x \\cdot 2}{2} &amp; =&amp; \\frac{7 \\cdot 2 }{32} &amp; | \\ \\small{\\textrm{Ausmultiplizieren bzw. K\u00fcrzen}} \\\\ \u00a0\\Leftrightarrow &amp; x &amp; =&amp; \\frac{14}{32} = \u00a0\\frac{7}{16} \u00a0&amp; \\\\ \u00a0\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Bruchgleichung l&ouml;sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_SQI2gcatrso\"><div id=\"lyte_SQI2gcatrso\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FSQI2gcatrso%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Bruchgleichung l\u00f6sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/SQI2gcatrso\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FSQI2gcatrso%2F0.jpg\" alt=\"Bruchgleichung l&ouml;sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"ausklammern\" class=\"anchor\">Ausklammern<\/h2>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n;x^3- \\frac{1}{4}x^5&amp;= 0 \\quad |\\ \\textrm{gr\u00f6sste gemeinsame x ausklammern!}\u00a0 \\\\<br \/>\n;\\Leftrightarrow \\quad \\underbrace{\\underbrace{x^3}_{\\textrm{Faktor}} \\cdot \\underbrace{\\left(1-\\frac{1}{4}x^2\\right)}_{\\textrm{Faktor}}}_{\\textrm{Produkt}}&amp;= 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\nMerke: Ein Produkt (Faktor MAL Faktor) ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.<br \/>\n<\/div>\n<p>Nach dem <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ausklammern<\/a> bestimmt ihr f\u00fcr den Teil in der Klammer und den Teil au\u00dferhalb der Klammer jeweils separat die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Nullstellen<\/a>.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx^3&amp;=0 \\quad \\textrm{oder} \\quad 1-\\frac{1}{4}x^2=0  \\\\<br \/>\nx_1&amp;=0 \\Leftrightarrow x_2=2 \\wedge\\ x_3=-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Hinweis: Dieser L\u00f6sungsweg ist nur dann sinnvoll, wenn keine Zahl ohne $x$ vorkommt!<\/p>\n<p><strong>Schau dir per Video an, wie Nullstellen mit dem L\u00f6sungsverfahren gel\u00f6st werden!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Nullstellen bestimmen, L&ouml;sungsverfahren, Ausklammermethode | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_tXDg5e-AqLQ\"><div id=\"lyte_tXDg5e-AqLQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtXDg5e-AqLQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Nullstellen bestimmen, L\u00f6sungsverfahren, Ausklammermethode | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/tXDg5e-AqLQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtXDg5e-AqLQ%2F0.jpg\" alt=\"Nullstellen bestimmen, L&ouml;sungsverfahren, Ausklammermethode | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"pq-formel\" class=\"anchor\">pq-Formel<\/h2>\n<p>Um die pq-Formel verwenden zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-gleichungen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">quadratische Gleichungen<\/a> (h\u00f6chste Potenz ist 2) in die Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx\u00b2 + px + q = 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>gebracht werden, so dass beim $x\u00b2$ kein Vorfaktor mehr steht. Anschlie\u00dfend<br \/>\nkann die pq-Formel verwendet werden und man erh\u00e4lt die L\u00f6sungen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_{1,2} = -\\frac{p}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2} \\right)^2 &#8211; q}. tag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Beispiel Gleichung mit PQ-Formel l\u00f6sen<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x^2-4x-16&amp;= 0 \\quad |:2 \\\\<br \/>\nx^2 -2x-8 &amp;= 0 \\quad |\\ \\textrm{pq-Formel}  \\\\<br \/>\n&#038;\\Rightarrow \\quad x_{1,2} = -\\frac{-2}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{-2}{2} \\right)^2 &#8211; (-8)}  \\\\<br \/>\n&#038; \\Leftrightarrow \t   \\quad\t\tx_1=4   \\  \\wedge \\ x_2=-2<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">8 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download\u2713 steigender Schwierigkeitsgrad\u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-1.png\" alt=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\" title=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\"\/><\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>1. Beispiel Gleichung mit PQ-Formel l\u00f6sen<\/h3>\n<p>(Keine L\u00f6sung $\\Rightarrow$ Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht, es gibt keine Nullstelle)<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) &amp;=x^2-2x+3 \\quad \\textrm{mit } p = -2 \\ \\textrm{und } q=3 \\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow x_{1,2} &amp;= -\\frac{p}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2} \\right)^2 &#8211; q} \\quad =\u00a0\\quad -\\frac{-2}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{-2}{2} \\right)^2 &#8211; 3} \\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow x_{1,2} &amp;= 1 \\pm \\sqrt{( -1 )^2 &#8211; 3}\u00a0\\quad =\u00a0\\quad 1 \\pm \\sqrt{1 &#8211; 3}\u00a0= 1 \\pm \\sqrt{-2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Unsere Berechnung m\u00fcssen wir an dieser Stelle abbrechen, da es <strong>nicht m\u00f6glich<\/strong> ist, die <strong>Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen<\/strong>.<\/p>\n<h3>2. Beispiel Gleichung mit PQ-Formel l\u00f6sen<\/h3>\n<p>(Eine L\u00f6sung $\\Rightarrow$ Der Graph der Funktion ber\u00fchrt die Funktion an genau einer Stelle, es gibt also eine Nullstelle)<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) &amp;=x^2-2x+1 \\quad \\textrm{mit } p = -2 \\ \\textrm{und } q=1 \\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow x_{1,2} &amp;= -\\frac{p}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2} \\right)^2 &#8211; q}\\quad =\\quad -\\frac{-2}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{-2}{2} \\right)^2 &#8211; 1} \\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow x_{1,2} &amp;= 1 \\pm \\sqrt{( -1 )^2 &#8211; 1}\u00a0\\quad = \\quad 1 \\pm \\sqrt{1 &#8211; 1}\u00a0= 1 \\pm \\sqrt{0} \\\\ \\\\<br \/>\nx_{1} &amp;= 1 + 0 \\quad \\wedge \\quad x_{2}= 1 &#8211; 0 = 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beide Berechnungen liefern dasselbe Ergebnis! <strong>Es gibt also nur eine L\u00f6sung<\/strong>.<\/p>\n<h3>3. Beispiel Gleichung mit PQ-Formel l\u00f6sen<\/h3>\n<p>(Zwei L\u00f6sungen $\\Rightarrow$ Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse an genau zwei Stellen, es gibt also zwei Nullstellen)<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) &amp;=x^2-2x-3 \\quad \\textrm{mit } p = -2 \\ \\textrm{und } q=-3 \\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow x_{1,2} &amp;= -\\frac{p}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2} \\right)^2 &#8211; q} = -\\frac{-2}{2} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{-2}{2} \\right)^2 &#8211; (-3)} \\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow x_{1,2} &amp;= 1 \\pm \\sqrt{( -1 )^2 &#8211; (-3)}\u00a0 = 1 \\pm \\sqrt{1 + 3}\u00a0= 1 \\pm \\sqrt{4} \\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow 1 \\pm 2<br \/>\nx_{1} &amp;= 1 + 2 = 3 \\quad \\wedge \\quad x_{2}= 1 &#8211; 2 = &#8211; 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p>Im Allgemeinen l\u00e4sst sich aus diesen drei Beispielen eine einfache Regel herleiten. Ausschlaggebend f\u00fcr die Anzahl unserer Nullstellen ist immer der Wert des Terms, welcher unter der Wurzel steht, die sogenannte Diskriminante.<\/p>\n<p>Nimmt die Diskriminante einen negativen Wert an, so haben wir keine Nullstelle, nimmt sie den Wert 0 an, so haben wir eine Nullstelle und nimmt sie einen positiven Wert an, so haben wir zwei Nullstellen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;D &lt; 0 \\Rightarrow keine Nullstelle \\\\<br \/>\n&amp;D = 0 \\Rightarrow eine Nullstelle \\\\<br \/>\n&amp;D &gt; 0 \\Rightarrow zwei Nullstellen \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmal alles rund um das Thema pq-Formel!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"PQ Formel zum L&ouml;sen quadratischer Gleichungen, Nullstellen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_difR8pYGSeI\"><div id=\"lyte_difR8pYGSeI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FdifR8pYGSeI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">PQ Formel zum L\u00f6sen quadratischer Gleichungen, Nullstellen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/difR8pYGSeI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FdifR8pYGSeI%2F0.jpg\" alt=\"PQ Formel zum L&ouml;sen quadratischer Gleichungen, Nullstellen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"abc-formel\" class=\"anchor\">ABC-Formel<\/h2>\n<p>Auch Mitternachts-Formel genannt, kann alternativ zur pq-Formel verwendet werden. Die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-gleichungen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">quadratische Gleichung<\/a><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nax\u00b2 + bx + c = 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>l\u00e4sst sich direkt l\u00f6sen. Das Ergebnis lautet<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{ b^2 &#8211; 4ac}}{2a}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zur ABC-Formel<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x^2-4x-16&amp;= 0 \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\quad x_{1,2} &amp;= \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{ (-4)^2 &#8211; 4 \\cdot 2 \\cdot (-16)}}{2 \\cdot 2} \\\\<br \/>\n&amp;= \\frac{4 \\pm \\sqrt{16+128}}{4}  \\\\<br \/>\nx_1=4 \\ &amp;\\wedge \\ x_2=-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Hier bekommst du nochmals die Mitternachtsformel per Video erkl\u00e4rt!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Mitternachtsformel (a-b-c-Formel), Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_ukEXR0DKMQg\"><div id=\"lyte_ukEXR0DKMQg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FukEXR0DKMQg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Mitternachtsformel (a-b-c-Formel), Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ukEXR0DKMQg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FukEXR0DKMQg%2F0.jpg\" alt=\"Mitternachtsformel (a-b-c-Formel), Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"substitution\" class=\"anchor\">Substitution<\/h2>\n<p>Gucken wir uns folgende Gleichung an:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx^4-2x^2-8&amp;=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Uns f\u00e4llt sofort auf, dass nur gerade Exponenten auftreten. Um diese Gleichung L\u00f6sen zu k\u00f6nnen, ersetzen wir $x^2$ durch $z$ und erhalten wieder eine <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-gleichungen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">quadratische Gleichung<\/a>, die mit der<br \/>\nPQ-Formel gel\u00f6st werden kann. Nach dem L\u00f6sen darf aber nicht die R\u00fccksubstitution vergessen werden!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx^4-2x^2-8=0 \\quad \\stackrel{x^2=z}{\\Longrightarrow} \\quad z^2-2z-8=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Mit der PQ-Formel erhalten wir dann die L\u00f6sungen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nz_1=4 \\ \\wedge\\ \\ z_2=-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Bei der R\u00fccksubstitution m\u00fcssen wir, wie der Name schon sagt, wieder zur\u00fcck ersetzen. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nz_1&amp;=4 \\quad \\ \\stackrel{z_1=x_1^2}{\\Longrightarrow} \\quad x_1^2= 4 \\quad \\Leftrightarrow \\quad x_1=2 \\wedge x_2=-2 \\\\<br \/>\nz_2&amp;=-2 \\ \\ \\stackrel{z_2=x_3^2}{\\Longrightarrow} \\quad x_3^2= -2: \\ \\textrm{Wurzel aus negativer Zahl nicht moeglich}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Hier kannst du dir das gesamte Thema nochmals in Ruhe anschauen!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Substitutionsmethode, Nullstellen bestimmen, biquadratische Gleichung l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_L15xOsiFAb0\"><div id=\"lyte_L15xOsiFAb0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FL15xOsiFAb0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Substitutionsmethode, Nullstellen bestimmen, biquadratische Gleichung l\u00f6sen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/L15xOsiFAb0\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FL15xOsiFAb0%2F0.jpg\" alt=\"Substitutionsmethode, Nullstellen bestimmen, biquadratische Gleichung l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"polynomdivision\" class=\"anchor\">Polynomdivision<\/h2>\n<p>Falls eine Gleichung vorliegt, die nicht mit den obigen Verfahren gel\u00f6st werden kann,\u00a0muss oft die <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OdlYNZXjmWA\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Polynomdivision<\/a> verwendet werden &#8211; oder der Taschenrechner. Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=2x^3-7x^2+10x-5<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Trick ist es, eine Nullstelle zu erraten oder sie dem Aufgabentext zu entnehmen.\u00a0Wir wissen, dass die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Nullstelle<\/a> ein Vielfaches oder ein Teiler des <strong>Absolutgliedes<\/strong> ist, also von der Zahl\u00a0der Gleichung, die <em>kein<\/em> $x$ enth\u00e4lt.\u00a0Somit erraten wir die Nullstelle $x_1=1$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{Probe:} \\quad f(1)=2 \\cdot 1^3-7 \\cdot 1^2+10 \\cdot 1-5=0.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Kommen wir nun zur Polynomdivision, das Vorgehen kennt ihr schon aus der Divisionsrechnung aus der Grundschule! Ihr nehmt eure Ausgangsfunktion teilt diese durch ($x-$Nullstelle), also in diesem Fall $x-1$<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(2x^3-7x^2+10x-5):(x-1)= ??<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Schauen wir uns nun die rechte Klammer $(x-1)$ an. Es muss eine Zahl mit dem $x$ der Klammer multipliziert werden, damit der erste Term der ersten Klammer, hier $2x^3$, herauskommt. In diesem Fall w\u00e4re das $2x^2$. Nun wird $2x^2$ mit $(x-1)$ multipliziert und von der ersten Klammer subtrahiert.\u00a0Das Ergebnis wird drunter geschrieben und der Vorgang wird solange wiederholt, bis wir zu einem Resultat kommen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3978 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynom-1024x4481.png\" alt=\"Beispiel Polynomdivision\" width=\"421\" height=\"184\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynom-1024x4481.png 421w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynom-1024x4481-300x131.png 300w\" sizes=\"(max-width: 421px) 100vw, 421px\" \/><\/p>\n<p>Das Ergebnis $2x^2-5x+5$ der Polyonmdivision kann mit der pq-Formel gel\u00f6st werden. <\/p>\n<p>Beim Aufschreiben der L\u00f6sungsmenge darf die geratene Nullstelle nicht vergessen werden.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Polynomdivision als L&ouml;sungsverfahren, Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_OdlYNZXjmWA\"><div id=\"lyte_OdlYNZXjmWA\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FOdlYNZXjmWA%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Polynomdivision als L\u00f6sungsverfahren, Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/OdlYNZXjmWA\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FOdlYNZXjmWA%2F0.jpg\" alt=\"Polynomdivision als L&ouml;sungsverfahren, Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"newtonverfahren\" class=\"anchor\">Newtonverfahren<\/h2>\n<p>Das <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LUhg7rrP39Y\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Newtonverfahren<\/a> ist ein N\u00e4herungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen. <\/p>\n<p>Bei einfachen Termen ist man sicherlich mit den anderen Methoden schneller, werden die Funktionen komplexer und reichen eure mathematischen Regeln nicht mehr aus, greift man zum Newtonverfahren. Dazu verwendet man folgende Formel.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_{\\textrm{neu}}=x_{\\textrm{start}}-\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Im Genaueren bedeutet es, dass wir einen Startwert $x_{\\textrm{start}}$ selbst bestimmen m\u00fcssen, diesen in die Formel einsetzen um $x_{\\textrm{neu}}$ zu erhalten. <\/p>\n<p>Wenn man dieses Verfahren \u00f6fter wiederholt, werdet ihr merken, dass sich irgendwann der Wert des Ergebnisses nicht mehr bzw. kaum \u00e4ndert. Erst dann k\u00f6nnen wir den Wert verwenden. \u00a0<\/p>\n<p>Das Newtonverfahren wollen wir an dem folgenden Beispiel kurz durchspielen. Als willk\u00fcrlichen Startwert w\u00e4hlen wir $x_\\textrm{start}=18$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx^3-15x^2-175=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><center><br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c}<br \/>\nx_{\\textrm{start}} &amp; f(x) &amp; f'(x) &amp; x_{\\textrm{neu}} = x_{\\textrm{start}}-\\frac{f(x)}{f'(x)} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n18 &amp; 797 &amp; 432 &amp; 16,16 \\\\<br \/>\n16,16 &amp; 127,93 &amp; 298,64 &amp; 15,73 \\\\<br \/>\n15,73 &amp; 5,63 &amp; 270,40 &amp; 15,71 \\\\<br \/>\n\\end{array}<\/center><\/p>\n<p>Wie wir sehen \u00e4ndert sich der $x$-Wert bereits beim 2. Schritt nicht mehr stark (von $15,73$ auf $15,71$)! Beim n\u00e4chsten Schritt kann es schon passieren, dass sich nur noch die Nachkommastellen \u00e4ndern. <\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnten sagen, dass die Nullstelle ungef\u00e4hr bei $15,71$ liegt.<\/p>\n<div class=\"box info\">\nMerke: Pro Startwert finden wir nur eine Nullstelle!<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">8 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download\u2713 steigender Schwierigkeitsgrad\u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-1.png\" alt=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\" title=\"Gleichungen l\u00f6sen Aufgabensammlung\"\/><\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<p><strong>Lass dir von Daniel nochmal die Polynomdivision per Video erkl\u00e4ren!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Newtonverfahren, Newtonsches N&auml;herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l&ouml;sen, Mathehilfe\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_LUhg7rrP39Y\"><div id=\"lyte_LUhg7rrP39Y\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLUhg7rrP39Y%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Newtonverfahren, Newtonsches N\u00e4herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l\u00f6sen, Mathehilfe<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/LUhg7rrP39Y\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLUhg7rrP39Y%2F0.jpg\" alt=\"Newtonverfahren, Newtonsches N&auml;herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l&ouml;sen, Mathehilfe\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"e-funktion-l\u00f6sen\" class=\"anchor\">Gleichung mit e-Funktion l\u00f6sen<\/h2>\n<p>Zur L\u00f6sung von Gleichungen mit $e$-Funktionen verwendet man in der Regel ihre <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=AszdBZugcdo\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Umkehrfunktion<\/a>, den nat\u00fcrlichen Logarithmus ln.<\/p>\n<p>Ein n\u00fctzlicher Zusammenhang ist<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ne^{\\ln(x)} = x \\quad \\textrm{bzw.} \\quad \\ln(e^x)=x.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige <strong>Beispiele<\/strong> zum L\u00f6sen von Gleichungen mit $e$-Funktionen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ne^{2x}\\cdot (x^2-2) = 0  \\\\<br \/>\ne^{2x}= 0 \\\u00a0 \\vee \\ x^2-2&amp;=0 \\quad |+2 \\\\<br \/>\nx^2&amp;=2 \\quad |\\sqrt{ ~~}  \\\\<br \/>\nx_1=\\sqrt{2} \\ &amp;\\wedge \\ x_2=-\\sqrt{2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Warum bringt $e^{2x}= 0$ keine L\u00f6sung? <\/p>\n<p>Wenn man beide Seite logarithmiert folgt $\\ln(2x)=\\ln(0)$. <\/p>\n<p>Da der nat\u00fcrliche Logarithmus aber f\u00fcr 0 nicht definiert ist ($\\mathbb{D}=(0,\\infty))$, gibt es keine L\u00f6sung.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{lrcll}<br \/>\na) &amp; 8e^{-2x}-16 &amp; = &amp; 0 &amp; \\quad |+16 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; 8e^{-2x} &amp; = &amp; 16 &amp; \\quad |:8 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; e^{-2x} &amp;= &amp; 2 &amp; \\quad | \\ln \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; \\ln(e^{-2x}) &amp; = &amp; \\ln(2) &amp; \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; -2 x &amp; = &amp; \\ln(2) &amp; \\quad |:(-2) \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; x &amp; =&amp; -\\ln(2)\/2 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{lrcll}<br \/>\nb) &amp; 4e^{3x}-e^{2x} &amp; = &amp; 0 &amp; \\quad |+e^{2x} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; 4e^{3x} &amp; = &amp; e^{2x} &amp; \\quad | \\ln \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; \\ln(4 \\cdot e^{3x}) &amp;=&amp; \\ln(e^{2x}) &amp; \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; \\ln(4)+\\ln(e^{3x}) &amp; =&amp; 2x &amp; \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; \\ln(4)+3x &amp; =&amp; 2x &amp;\\quad |-3x \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; \\ln(4) &amp; =&amp; -1x &amp;\\quad |\\cdot (-1) \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; -\\ln(4) &amp; =&amp; x &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Wie du Nullstellen mit dem Newtonverfahren bestimmen kannst, zeigt dir Daniel nochmal per Video!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Newtonverfahren, Newtonsches N&auml;herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l&ouml;sen, Mathehilfe\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;showinfo\\=0\" id=\"WYL_LUhg7rrP39Y\"><div id=\"lyte_LUhg7rrP39Y\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLUhg7rrP39Y%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC hidden\"><div class=\"tT\">Newtonverfahren, Newtonsches N\u00e4herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l\u00f6sen, Mathehilfe<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/LUhg7rrP39Y\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLUhg7rrP39Y%2F0.jpg\" alt=\"Newtonverfahren, Newtonsches N&auml;herungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen l&ouml;sen, Mathehilfe\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"UngleichungenLoesen\" class=\"anchor\">Ungleichungen l\u00f6sen<\/h2>\n<p>Das Thema Ungleichungen wird h\u00e4ufig nicht in der Schule behandelt. Wir wollen uns dieses Thema jedoch kurz angucken und die wichtigsten Regeln festhalten. Grunds\u00e4tzlich d\u00fcrfen Ungleichungen nach denselben Regeln wie Gleichungen gel\u00f6st werden.<\/p>\n<p>Es gibt eine Ausnahme. Sobald ihr die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt, muss das Ungleichzeichen seine Richtung \u00e4ndern. Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;-3x + 7 &amp; &lt; &amp; -6x-5 \u00a0&amp;|+3x \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; 7 &amp;&lt;&amp; -3x-5 &amp; |+5 \\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Bis jetzt sind wir genau so verfahren, als w\u00fcrde es sich um eine lineare Gleichung handeln. Aber jetzt kommt die vorhin erw\u00e4hnte Ausnahme. Wir teilen unsere Ungleichung durch $-3$ und m\u00fcssen nun also unser Ungleichzeichen umdrehen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}\u00a0&amp;12 &amp; &lt; &amp; -3x \u00a0&amp;|:(-3) \\\\\u00a0\\Leftrightarrow &amp; -4 &amp;&gt;&amp; x &amp; \\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Beachte: $\\mathrm{\\ -4&gt;x}$ ist das gleiche wie $\\mathrm{\\ x&lt;-4}$.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Ungleichung, Ungleichungen l&ouml;sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_l9tOD_JKzCc\"><div id=\"lyte_l9tOD_JKzCc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fl9tOD_JKzCc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Ungleichung, Ungleichungen l\u00f6sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/l9tOD_JKzCc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fl9tOD_JKzCc%2F0.jpg\" alt=\"Ungleichung, Ungleichungen l&ouml;sen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Schaut euch auch auf jeden Fall die Playlist zum Thema Gleichungen l\u00f6sen an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Terme und Gleichungen, Bruchgleichungen, Ungleichungen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHjM0_gGTkVHw5tD61_5QzCn\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHjM0_gGTkVHw5tD61_5QzCn\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FYw-u7P39ChQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Terme und Gleichungen, Bruchgleichungen, Ungleichungen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHjM0_gGTkVHw5tD61_5QzCn\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Um Gleichungen l\u00f6sen zu k\u00f6nnen gibt es einige Standardtechniken, die wir euch auf dieser Seite zeigen. Wichtig ist, dass ihr diese Techniken verinnerlicht, denn sie werden euch nahezu t\u00e4glich im Mathematikunterricht begegnen. Inhaltsverzeichnis Gleichung l\u00f6sen Grundlagen Bruchgleichungen l\u00f6sen Ausklammern pq-Formel ABC-Formel Substitution Polynomdivision Newtonverfahren Gleichung mit e-Funktion l\u00f6sen Ungleichungen l\u00f6sen Gleichung l\u00f6sen Grundlagen Daniel erkl\u00e4rt [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":5,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Gleichung l\u00f6sen und umformen genau erkl\u00e4rt - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Gleichung l\u00f6sen f\u00e4llt dir schwer? 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