{"id":16285,"date":"2020-08-25T13:08:55","date_gmt":"2020-08-25T11:08:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=16285"},"modified":"2020-08-25T16:03:59","modified_gmt":"2020-08-25T14:03:59","slug":"potenzgesetze","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/","title":{"rendered":"Potenzgesetze"},"content":{"rendered":"

Wir starten mit der Wiederholung der Potenzgesetze. Dazu haben wir eine Auswahl zun\u00e4chst in folgender Tabelle dargestellt.<\/p>\n

\n
\n
Regel<\/div>\n
Erkl\u00e4rung<\/div>\n<\/p><\/div>\n
\n
$a^0 = 1,~a\\neq 0$<\/div>\n
\n

Eine von 0 verschiedene Zahl ergibt mit 0 potenziert immer 1.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$a^x\\cdot a^y=a^{x+y}$<\/div>\n
\n

Bei Multiplikation gleicher Basis werden die Exponenten addiert.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$a^x\\cdot b^x = (a\\cdot b)^x$<\/div>\n
\n

Bei Multiplikation gleicher Exponenten wird das Produkt der Basen potenziert.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$a^{-x} = \\frac{1}{a^x}$<\/div>\n
\n

Beim Wechsel der Potenz von Z\u00e4hler in Nenner wechselt das Vorzeichen des Exponenten.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$(a^x)^y= a^{x\\cdot y}$<\/div>\n
\n

Bei Potenzierung einer Potenz ergibt das Produkt der Exponenten den neuen Exponenten.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\frac{a^x}{b^x} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^x$<\/div>\n
\n

Die Potenz von Z\u00e4hler und Nenner mit dem gleichen Exponenten stimmt mit der Potenz des gesamten Bruchs dieses Exponenten \u00fcberein.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$<\/div>\n
\n

Bei Division gleicher Basis werden die Exponenten voneinander abgezogen.<\/p>\n<\/div><\/div>\n<\/p><\/div>\n

Die Regeln erlauben es, komplexere Terme zu vereinfachen. Wir schauen uns folgende Beispiele an, wo wir die obigen Regeln anwenden und nicht die einzelnen Werte ausrechnen:<\/p>\n

\\begin{align*}
\n2^5 \\cdot 5^6\\cdot x^6\\cdot \\left(2^4\\right)^2\\cdot 3^5\\cdot 6^3&=\\left(2^5\\cdot 3^5\\right) \\cdot \\left(5^6\\cdot x^6\\right)\\cdot\\left(2^4\\right)^2\\cdot 6^3\\\\
\n&=\\left(2\\cdot 3\\right)^5\\cdot \\left(5\\cdot x\\right)^6\\cdot 2^{4\\cdot 2}\\cdot 6^3 =\\left(6^5\\cdot 6^3\\right)\\cdot (5x)^6\\cdot 2^8\\\\
\n&=6^{5+3}\\cdot (5x)^6\\cdot 2^8 =\\left(6^8\\cdot 2^8\\right)\\cdot (5x)^6 =12^8\\cdot (5x)^6
\n\\end{align*}<\/p>\n

Als zweites Beispiel vereinfachen wir:<\/p>\n

\\begin{align*}
\nx^{(x-1)y}\\cdot y^2 \\cdot y^{-3}\\cdot z^{xy}\\cdot x^y&=\\left(x^{(x-1)y}\\cdot x^y\\right)\\cdot \\left(y^2\\cdot y^{-3}\\right)\\cdot z^{xy}\\\\
\n&=x^{(x-1)y+y}\\cdot y^{2-3}\\cdot z^{xy} =\\left(x^{xy}\\cdot z^{xy}\\right)\\cdot y^{-1} =\\frac{(xz)^{xy}}{y}
\n\\end{align*}<\/p>\n

Diese Potenzgesetze gelten daher auch f\u00fcr die Exponentialfunktion zur Basis $e$. Im Laufe des Hefts wird der Terminus $\\exp(x)$ statt $e^x$ vorkommen. Dies dient lediglich der besseren Darstellung und bedeutet inhaltlich keinerlei Unterschied.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wir starten mit der Wiederholung der Potenzgesetze. Dazu haben wir eine Auswahl zun\u00e4chst in folgender Tabelle dargestellt. Regel Erkl\u00e4rung Eine von 0 verschiedene Zahl ergibt mit 0 potenziert immer 1. Bei Multiplikation gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Bei Multiplikation gleicher Exponenten wird das Produkt der Basen potenziert. Beim Wechsel der Potenz von Z\u00e4hler in […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[74],"tags":[],"yoast_head":"\nDie Potenzgesetze - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Einfache und verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rung der Potenzgesetze. Lerne Potenzen zu multiplizieren, dividieren und zu potenzieren.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Die Potenzgesetze - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Einfache und verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rung der Potenzgesetze. Lerne Potenzen zu multiplizieren, dividieren und zu potenzieren.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-08-25T14:03:59+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/\",\"name\":\"Die Potenzgesetze - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-08-25T11:08:55+00:00\",\"dateModified\":\"2020-08-25T14:03:59+00:00\",\"description\":\"Einfache und verst\\u00e4ndliche Erkl\\u00e4rung der Potenzgesetze. Lerne Potenzen zu multiplizieren, dividieren und zu potenzieren.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/potenzgesetze\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16285"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=16285"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16285\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16286,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16285\/revisions\/16286"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=16285"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=16285"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=16285"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}