{"id":16288,"date":"2020-08-25T13:53:43","date_gmt":"2020-08-25T11:53:43","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=16288"},"modified":"2020-08-28T13:58:02","modified_gmt":"2020-08-28T11:58:02","slug":"logarithmengesetze","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/","title":{"rendered":"Logarithmengesetze"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel wiederholen wir die Gesetze zum Rechnen mit dem Logarithmus.<\/p>\n

An dieser Stelle benutzen wir das Zeichen $\\log(x)$, um zu verdeutlichen, dass diese Regeln f\u00fcr jeglichen Logarithmus zu beliebiger Basis gelten. Meinen wir die Basis zur Eulerschen Zahl $e$, so schreiben wir $\\log_e(x)=\\ln(x)$. Die Regeln fassen wir in folgender Tabelle zusammen:<\/p>\n

\n
\n
Regel<\/div>\n
Erkl\u00e4rung<\/div>\n<\/p><\/div>\n
\n
$\\log(1) = 0$<\/div>\n
\n

Die Nullstelle des Logarithmus ist immer 1.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\log(x)+\\log(y) = \\log(x\\cdot y)$<\/div>\n
\n

Bei der Addition von Logarithmen werden die Argumente multipliziert.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\log(x)-\\log(y)=\\log\\left(\\frac{x}{y}\\right)$<\/div>\n
\n

Bei Subtraktion werden die Argumente dividiert.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\log(x^r)=r\\cdot\\log(x)$<\/div>\n
\n

Ist das ganze Argument mit einer Potenz versehen, d\u00fcrfen wir dieses multiplikativ vor den Logarithmus ziehen.<\/p>\n<\/div><\/div>\n

\n
$\\log_y(x) = \\frac{\\log_a(x)}{\\log_a(y)}$<\/div>\n
\n

Wir k\u00f6nnen jeden Logarithmus durch die links stehende Regel in einer gew\u00fcnschten Basis a berechnen.<\/p>\n<\/div><\/div>\n<\/p><\/div>\n

Diese Regeln verinnerlichen wir anhand der n\u00e4chsten beiden Beispiele. Zuerst vereinfachen wir den gegebenen Term soweit wie m\u00f6glich:<\/p>\n

\\begin{align*}
\n\\ln((1+x)^2)-2\\ln(x)+\\ln(y)+\\ln(2y)&=2\\cdot\\ln(1+x)-2\\ln(x)+\\ln(y\\cdot (2y))\\\\
\n&=2\\cdot\\ln\\left(\\frac{1+x}{x}\\right)+\\ln(2y^2)
\n\\end{align*}<\/p>\n

Das zweite Beispiel zeigt einen der h\u00e4ufigsten Fehler bei den Umformungen mit Logarithmen. Wir d\u00fcrfen wirklich nur den Exponenten aus dem Logarithmus ziehen, wenn das ganze Argument potenziert wird. Es gilt:<\/p>\n

\\begin{align*}
\n\\ln(1+x^2)&\\neq2\\cdot\\ln(1+x)
\n\\end{align*}<\/p>\n

Denn f\u00fcr $x=2$ folgt beispielhaft:<\/p>\n

\\begin{align*}
\n\\ln(1+2^2)=\\ln(5) \\neq 2\\cdot\\ln(1+2)=2\\cdot\\ln(3)=\\ln(3^2)=\\ln(9)
\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Artikel wiederholen wir die Gesetze zum Rechnen mit dem Logarithmus. An dieser Stelle benutzen wir das Zeichen , um zu verdeutlichen, dass diese Regeln f\u00fcr jeglichen Logarithmus zu beliebiger Basis gelten. Meinen wir die Basis zur Eulerschen Zahl , so schreiben wir . Die Regeln fassen wir in folgender Tabelle zusammen: Regel Erkl\u00e4rung […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[74],"tags":[],"yoast_head":"\nLogarithmengesetze - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem Zahl, die sogennante Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Logarithmengesetze - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem Zahl, die sogennante Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-08-28T11:58:02+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/\",\"name\":\"Logarithmengesetze - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-08-25T11:53:43+00:00\",\"dateModified\":\"2020-08-28T11:58:02+00:00\",\"description\":\"Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem Zahl, die sogennante Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/logarithmengesetze\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16288"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=16288"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16288\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16448,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16288\/revisions\/16448"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=16288"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=16288"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=16288"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}