Die Polynomdivision ist ein Werkzeug, um den Grad eines Polynoms zu reduzieren. Meist ist eine Nullstelle der Funktion gegeben- oder l\u00e4sst sich erraten, sodass mit Hilfe der Division der Grad des Polynoms reduziert wird und die verbleibenden Nullstellen berechenbar werden.<\/p>\n
Befassen wir uns dazu im Folgenden mit dem Polynom $2x^3+2x^2-10x+6.$<\/p>\n
Durch Probe erkennen wir, dass $x=1$ eine Nullstelle ist, denn es gilt<\/p>\n
\\begin{align*}
\n2\\cdot 1^3+2\\cdot 1^2-10\\cdot 1+6 = 2+2-10+6=0 \\quad \\checkmark
\n\\end{align*}<\/p>\n
F\u00fcr unser Beispiel hei\u00dft das:
\n\\begin{align*}
\n({2x^3}+2x^2-10x+6):(x-1)=2×2+4x-6 \\\\
\n\\underline{-2x^3+2x^2}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n{4x^2-10x}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n\\underline{-4x^2-10x}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n{-6x+6}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n\\underline{6x+6}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n{0}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
Das bedeutet, dass damit auch
\n\\begin{align*}
\n(2x^2+4x-6)\\cdot (x-1) = 2x^3+2x^2-10x+6
\n\\end{align*}
\ngilt. Damit erhalten wir alle Nullstellen des Ausgangspolynoms, indem wir mit Hilfe der $pq$-Formel oder der quadratischen Erg\u00e4nzung die verbleibenden Nullstellen berechnen. Um das Vorgehen jedoch nochmal zu wiederholen, f\u00fchren wir erneut die Polynomdivision durch. Durch Raten erkennen wir, dass $x=1$ erneut eine Nullstelle von $2x^2+4x-6$ ist, denn es gilt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n2\\cdot 1^2+4\\cdot 1-6 = 0 \\quad \\checkmark
\n\\end{align*}<\/p>\n
Damit erhalten wir<\/p>\n
\\begin{align*}
\n(2x^2+4x-6:(x-1)=2x+6 \\\\
\n\\underline{-2x^2+2x}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n{6x-6}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n\\underline{-6x-6}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\\\
\n{0}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
und abschlie\u00dfend<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{array}{crcll}
\n&2x+6 &=& 0 & |-6 \\\\
\n\\Leftrightarrow & 2x &=&-6 & |:2 \\\\
\n\\Leftrightarrow &x &=&-3 &
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Beenden m\u00f6chten wir diesen Abschnitt mit einer Regel, die es uns erleichtert, Nullstellen zu raten. Denn es gilt folgende Aussage:<\/p>\n
Dabei entspricht das „absolute Glied“ gerade dem Term ohne $x$. In diesem Fall kamen als m\u00f6gliche ganzzahlige Nullstellen also nur alle Teiler von $6$ in Frage. Es reicht demnach $\\{\\pm6,\\,\\pm3,\\,\\pm2,\\,\\pm1\\}$ zu testen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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