{"id":16408,"date":"2020-08-26T14:34:04","date_gmt":"2020-08-26T12:34:04","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=16408"},"modified":"2020-08-28T14:54:40","modified_gmt":"2020-08-28T12:54:40","slug":"partialbruchzerlegung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/","title":{"rendered":"Partialbruchzerlegung"},"content":{"rendered":"

Mit der Partialbruchzerlegung wird uns ein Verfahren an die Hand gegeben, mit dem wir einen Bruch in m\u00f6glichst viele Summanden aufteilen k\u00f6nnen. Dadurch ersparen wir uns bei gewissen Rechnungen, wie z.B. dem Integrieren, komplizierte Ausdr\u00fccke.<\/p>\n

Vorgehen der Partialbruchzerlegung:<\/h2>\n
    \n
  1. Wir vergleichen den Grad des Z\u00e4hlers mit dem Grad des Nenners. Das bedeutet, wir betrachten jeweils den h\u00f6chsten vorkommenden Exponenten. Ist der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer, f\u00fchren wir zun\u00e4chst eine Polynomdivision mit dem gesamten Nenner durch. Dies funktioniert genauso wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, sodass wir als L\u00f6sung einen Bruch erhalten, bei dem der Grad des Nenners gr\u00f6\u00dfer als der des Z\u00e4hlers ist.<\/li>\n
  2. Wir berechnen die Nullstellen des neuen Nenners und f\u00fchren anhand der Art der Nullstellen einen vordefinierten Ansatz durch (siehe nachstehende Tabelle).<\/li>\n
  3. Mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs<\/strong> ermitteln wir die fehlenden Parameter.<\/li>\n

    Die Arten der Nullstellen sind Folgende:<\/p>\n

  4. & $x_0$ ist $k$-fache nicht-reelle Nullstelle & $\\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}+\\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^2}+ \\ldots +\\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^k}$\\\\ <\/li>\n<\/ol>\n
    \n
    \n
    Art der Nullstelle<\/div>\n
    Ansatz<\/div>\n<\/p><\/div>\n
    \n
    $x_0 \\textrm{ ist einfache reelle Nullstelle}$<\/div>\n
    $\\frac{A}{x-x_0}$<\/div>\n<\/p><\/div>\n
    \n
    $x_0 \\textrm{ ist } k\\textrm{-fache reelle Nullstelle}$<\/div>\n
    $\\frac{A_1}{x-x_0}+\\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+…+\\frac{A_k}{(x-x_0)^k}$<\/div>\n<\/p><\/div>\n
    \n
    $x_0 \\textrm{ ist einfache nicht-reelle Nullstelle}$<\/div>\n
    $\\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}$<\/div>\n<\/p><\/div>\n
    \n
    $x_0 \\textrm{ ist }k\\textrm{-fache nicht-reelle Nullstelle}$<\/div>\n
    $\\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}+\\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^2}+ \\ldots +\\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^k}$<\/div>\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

    Dieses Vorgehen verinnerlichen wir nun anhand eines Beispiels. Sei dazu der Term<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \n\\frac{1}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    gegeben. Wir sehen, dass der Grad des Nenners gr\u00f6\u00dfer als der des Z\u00e4hlers ist und dass wir eine einfache Nullstelle an der Stelle $x_0=-5$ sowie eine doppelte Nullstelle an der Stelle $x_0=1$ vorliegen haben. Dies ergibt mit dem 2.) Ansatz\\footnote{Zur besseren \u00dcbersicht w\u00e4hlen wir statt $A_1$, $A_2$ besser $A$, $B$ usw.}:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \n\\frac{1}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}&=\\frac{A}{x-1}+\\frac{B}{(x-1)^2}+\\frac{C}{x+5}\\\\
    \n&=\\frac{A\\cdot(x-1)\\cdot(x+5)}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}+\\frac{B\\cdot(x+5)}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}+\\frac{C\\cdot(x-1)^2}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}\\\\
    \n&=\\frac{A\\cdot(x^2+4x-5)+B\\cdot(x+5)+C\\cdot(x^2-2x+1)}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    An dieser Stelle ordnen wir den Z\u00e4hler auf der rechten Seite immer neu, um den Koeffizientenvergleich zu erhalten. Dazu ordnen wir die Summanden nicht nach den auftretenden Variablen $A$, $B$ und $C$, sondern nach den auftretenden Potenzen $x^2$, $x$ und den Werten ohne $x$. Damit gilt:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \n\\frac{1}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}&=\\frac{Ax^2+4Ax-5A+Bx+5B+Cx^2-2Cx+C}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}\\\\
    \n&=\\frac{(A+C)x^2+(4A+B-2C)x-5A+5B+C}{(x-1)^2\\cdot(x+5)}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Da die Nenner auf den beiden \u00e4u\u00dfersten Seiten gleich sind, m\u00fcssen auch die Z\u00e4hler \u00fcbereinstimmen, sodass wir folgende Gleichungen f\u00fcr unseren Koeffizientenvergleich erhalten:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \n\\begin{array}{rll}
    \nA+C &= 0 & \\Rightarrow \\textrm{ da auf der linken Seite kein Term }x^2\\text{ vorkommt}\\\\
    \n4A+B-2C &= 0& \\Rightarrow \\textrm{ da auf der linken Seite kein Term }x\\text{ vorkommt}\\\\
    \n-5A+5B+C &= 1& \\Rightarrow \\textrm{ da auf der linken Seite der Wert }1\\text{ steht}
    \n\\end{array}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Wie wir ein solches Gleichungssystem systematisch l\u00f6sen k\u00f6nnen, werden wir im Kapitel \u00fcber lineare Algebra genauer erfahren. Hier begn\u00fcgen wir uns mit der L\u00f6sung:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \nA=-\\frac{1}{36}, \\quad B=\\frac{1}{6}, \\quad C=\\frac{1}{36}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Wir k\u00f6nnen unseren Ausgangsterm daher wie folgt umschreiben:
    \n\\begin{align*}
    \n\\frac{1}{(x-1)^2\\cdot(x+5)} = -\\frac{1}{36\\cdot(x-1)}+\\frac{1}{6\\cdot(x-1)^2}+\\frac{1}{36\\cdot(x+5)}
    \n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Mit der Partialbruchzerlegung wird uns ein Verfahren an die Hand gegeben, mit dem wir einen Bruch in m\u00f6glichst viele Summanden aufteilen k\u00f6nnen. Dadurch ersparen wir uns bei gewissen Rechnungen, wie z.B. dem Integrieren, komplizierte Ausdr\u00fccke. Vorgehen der Partialbruchzerlegung: Wir vergleichen den Grad des Z\u00e4hlers mit dem Grad des Nenners. Das bedeutet, wir betrachten jeweils den […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[74],"tags":[],"yoast_head":"\nDie Partialbruchzerlegung (mit Beispielen) - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Die Partialbruchzerlegung erm\u00f6glicht es dir einen Bruch in m\u00f6glichst viele Summanden aufteilen zu k\u00f6nnen. Lerne hier, wie man sie anwendet!\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Die Partialbruchzerlegung (mit Beispielen) - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Die Partialbruchzerlegung erm\u00f6glicht es dir einen Bruch in m\u00f6glichst viele Summanden aufteilen zu k\u00f6nnen. Lerne hier, wie man sie anwendet!\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-08-28T12:54:40+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/\",\"name\":\"Die Partialbruchzerlegung (mit Beispielen) - StudyHelp Online-Lernen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-08-26T12:34:04+00:00\",\"dateModified\":\"2020-08-28T12:54:40+00:00\",\"description\":\"Die Partialbruchzerlegung erm\\u00f6glicht es dir einen Bruch in m\\u00f6glichst viele Summanden aufteilen zu k\\u00f6nnen. Lerne hier, wie man sie anwendet!\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/partialbruchzerlegung\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16408"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=16408"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16408\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16454,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/16408\/revisions\/16454"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=16408"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=16408"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=16408"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}