Als N\u00e4chstes befassen wir uns mit dem L\u00f6sen von Ungleichungen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass statt eines Gleichheitszeichens ($=$) eines der Zeichen $<$, $>$, $\\leq$, oder $\\geq$ in der Ungleichung stehen. Beispielsweise sind<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx>5
\n\\qquad \\qquad
\nx^2-1<1
\n\\qquad \\qquad
\ne^x>\\ln(x)
\n\\end{align*}<\/p>\n
jeweils Ungleichungen. Zur L\u00f6sung dieser gibt es zwei m\u00f6gliche Vorgehensweisen. <\/p>\n
Vorgehen bei Ungleichungen:<\/strong> <\/p>\n Eine Besonderheit bei Ungleichungen ist, wenn die Ungleichung als Produkt von zwei Faktoren vorliegt. Da wir wissen, dass<\/p>\n \\begin{align*} gilt, ergibt sich f\u00fcr das Beispiel<\/p>\n \\begin{align*} folgende L\u00f6sungsstrategie:<\/p>\n \\begin{align*} \\begin{align*} Aus dem ersten Paar $x>1$ und $x>-5$ erhalten wir als L\u00f6sung $x>1$, da diese die andere impliziert. Aus dem zweiten Paar $x<1$ und $x<5$ erhalten wir $x<-5$, da diese die andere impliziert. Die L\u00f6sung unserer Ungleichung lautet also<\/p>\n \\begin{align*} Die gleiche L\u00f6sung erhalten wir mit Hilfe des anderen Ansatzes. Es gilt:<\/p>\n \\begin{align*} Wir setzen also einen Wert kleiner als $-5$, einen Wert zwischen $-5$ und $1$ und einen Wert gr\u00f6\u00dfer als $1$ ein. W\u00e4hlen wir beispielsweise $-6$, $0$ und $2$, folgt:<\/p>\n \\begin{align*} Aus der Aufgabenstellung sind die positiven Werte f\u00fcr uns interessant, sodass wir wiederum als L\u00f6sungsmenge<\/p>\n \\begin{align*} erhalten.<\/p>\n Dies sehen wir direkt durch die beiden Gleichungen<\/p>\n \\begin{align*} denn w\u00fcrde sich das Zeichen bei Multiplikation der ersten Gleichung mit $-1$ nicht umdrehen, so w\u00e4re die zweite Gleichung falsch.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Als N\u00e4chstes befassen wir uns mit dem L\u00f6sen von Ungleichungen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass statt eines Gleichheitszeichens ($=$) eines der Zeichen , , , oder in der Ungleichung stehen. Beispielsweise sind \\begin{align*} x>5 \\qquad \\qquad x^2-1<1 \\qquad \\qquad e^x>\\ln(x) \\end{align*} jeweils Ungleichungen. Zur L\u00f6sung dieser gibt es zwei m\u00f6gliche Vorgehensweisen. Vorgehen bei Ungleichungen: Wir […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[74],"tags":[],"yoast_head":"\n\n
\n+ \\cdot + = + \\qquad \\qquad + \\cdot (-) = (-) \\cdot + = (-) \\qquad \\qquad (-) \\cdot (-) = +
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n(x-1)\\cdot (x+5)>0
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{array}{crclcrcl}
\n& (x-1) &>& 0 & \\text{ und } & (x+5)&>& 0 \\\\
\n&x &>& 1 & & x&>& -5
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{array}{crclcrcl}
\n\\text{ oder } & (x-1) &<& 0 & \\text{ und } & (x+5)&<&0 \\\\
\n & x &<& 1 & & x &<&-5
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\mathbb{L}=(-\\infty,-5)\\cup(1,\\infty)
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{array}{crl}
\n&(x-1)\\cdot (x+5)&=~0\\\\
\n\\Leftrightarrow~&x&=~1 \\text{ oder } x=~-5
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{array}{cll}
\n(-6-1)\\cdot (-6+5)&=~(-7)\\cdot (-1)&=~7\\\\
\n(0-1)\\cdot (0+5)&=~(-1)\\cdot (-5)&=~-5\\\\
\n(2-1)\\cdot (2+5)&=~(1)\\cdot (7)&=~7
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\mathbb{L} = (-\\infty,-5)\\cup(1,\\infty)
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n\\begin{array}{crcll}
\n&3 &<& 5 & | \\cdot (-1)\\\\\n\\Leftrightarrow &-3 &> & -5 &
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n