{"id":16532,"date":"2020-11-10T14:51:33","date_gmt":"2020-11-10T13:51:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=16532"},"modified":"2020-11-27T15:23:29","modified_gmt":"2020-11-27T14:23:29","slug":"folgen-und-grenzwerte","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/folgen-und-grenzwerte\/","title":{"rendered":"Folgen und Grenzwerte"},"content":{"rendered":"

In diesem Kapitel besch\u00e4ftigen wir uns mit den sogenannten $\\textbf{Folgen}$ und der $\\textbf{Konvergenz von Folgen}$. Dazu starten wir mit einem definierenden Beispiel. Betrachten wir diese Aufz\u00e4hlung von Zahlen:<\/p>\n

\\begin{align*}
\n1,~ 3,~ 7,~ 15,~ 31,~ 63,~ ?
\n\\end{align*}<\/p>\n

Was wir unter einer Folge verstehen, ist vergleichbar mit Themen bzw. Aufgabenstellungen eines IQ-Tests. Mathematisch gesehen ist es eine Abbildung von den nat\u00fcrlichen Zahlen in einem Zielraum, der meist den reellen Zahlen entspricht. Dies schreiben wir kurz durch:<\/p>\n

\\begin{align*}
\na_n:=a(n):\\mathbb{N}\\rightarrow\\mathbb{R}
\n\\end{align*}<\/p>\n

Dabei wird jede einzelne Auspr\u00e4gung Folgeglied<\/em> genannt, w\u00e4hrend die gesamte Abbildung als Folge<\/em> zu verstehen ist. In unserem Beispiel gilt also:<\/p>\n

\\begin{align*}
\na_1 &= 1\\\\
\na_2 &= 3\\\\
\na_3 &= 7\\\\
\n& \\text{usw.}
\n\\end{align*}<\/p>\n

Wir z\u00e4hlen die einzelnen Elemente ab und geben ihnen eine Bezeichnung.<\/p>\n

Die Fragestellung l\u00e4sst sich nun dahingehend \u00fcbersetzen, dass wir wissen m\u00f6chten, welchen Wert das Folgeglied $a_7$ hat. <\/p>\n

Zwei existierenden Darstellungsformen von Folgen:<\/p>\n

    \n
  1. explizite Darstellung<\/li>\n
  2. rekursive Darstellung<\/li>\n<\/ol>\n

    Was das bedeutet, werden wir sofort am Beispiel verdeutlichen. Schauen wir uns einmal an, wie wir von einer Zahl zu ihrem Nachfolger gelangen:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \n\\underbrace{1,~ 3}_{\\cdot 2 + 1},~ 7,~ 15,~ 31,~ 63,~ ?\\\\
    \n1,~ \\underbrace{3,~ 7}_{\\cdot 2 + 1},~ 15,~ 31,~ 63,~ ?\\\\
    \n1,~ 3,~ \\underbrace{7,~ 15}_{\\cdot 2 + 1},~ 31,~ 63,~ ?\\\\
    \n1,~ 3,~ 7,~ \\underbrace{15,~ 31}_{\\cdot 2 + 1},~ 63,~ ?\\\\
    \n1,~ 3,~ 7,~ 15,~ \\underbrace{31,~ 63}_{\\cdot 2 + 1},~ ?\\\\
    \n1,~ 3,~ 7,~ 15,~ 31,~ \\underbrace{63,~ ?}_{\\cdot 2 + 1}
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Hier erkennen wir schnell, dass sich die Formel, um von einer Zahl zur n\u00e4chsten zu gelangen, nicht \u00e4ndert. Wir nehmen immer den Wert des aktuellen Folgeglieds, f\u00fcr z.B. $7$, multiplizieren mit $2$ und addieren $1$ und erhalten mit $2\\cdot7+1=15$ den Nachfolger. Bei dieser Methode haben wir, ohne es zu wissen, die rekursive Beziehung der Folge erkannt. Denn mathematisch l\u00e4sst sich dies wie folgt festhalten:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \na_1 &= 1 \\\\
    \na_n&=2\\cdot a_{n-1}+1
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Damit l\u00e4sst sich auch $a_7$ errechnen, denn es gilt $a_7=2\\cdot \\overbrace{63}^{=a_6} + 1=127$. So k\u00f6nnen wir auch direkt die charakteristischen Eigenschaften von rekursiv definierten Folgen festhalten.<\/p>\n

    Merke:<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. Bei einer rekursiv definierten Folge ben\u00f6tigen wir stets einen oder mehrere Startpunkte (hier: $a_1=1$).<\/li>\n
    2. Bei rekursiv definierten Folgen l\u00e4sst sich das $n$-te Folgeglied immer mit Hilfe eines oder mehrerer Vorg\u00e4nger errechnen (hier: $a_n = 2\\cdot a_{n-1}+1$).<\/li>\n<\/ol>\n

      Wenn bei der Vorschrift der Rekursion mehrere Vorg\u00e4nger ben\u00f6tigt werden, werden ebenso mehrere Startwerte gebraucht. Ein sehr bekanntes Beispiel f\u00fcr einen solchen Sachverhalt liefert die Fibonacci-Folge. Diese ist durch<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \na_0&=1 \\\\
      \na_1 &= 1\\\\
      \na_{n+1}&=a_n+a_{n-1}
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      definiert. Wir sehen hier, dass wir f\u00fcr die Berechnung des $n+1$-ten Folgeglieds sowohl das $n$-te als auch das $n-1$-te Folgeglied ben\u00f6tigen. Dementsprechend brauchen wir f\u00fcr eine wohldefinierte Folge auch zwei Startwerte.<\/p>\n

      Der Vorteil dieser Art der Definition ist, dass sich die rekursive Beziehung meist leichter erkennen l\u00e4sst. Der Nachteil hingegen liegt darin, dass wir in der Regel alle bisherigen Folgeglieder berechnen m\u00fcssen, um zuk\u00fcnftige zu erhalten. <\/p>\n

      Beispiel:<\/strong>
      \nBerechne f\u00fcr die Folge aus diesem Beispiel den Wert von $a_{1234}$. Ziemlich umst\u00e4ndlich und zeitraubend, wenn wir sie \u00fcber die Rekursion l\u00f6sen m\u00f6chten. Hier kommt nun die zweite M\u00f6glichkeit zum Einsatz: die sogenannte $\\textbf{explizite Darstellung}$. Das Erkennen ist bei dieser Methode etwas schwieriger. Da wir in der Rekursion bereits gesehen haben, dass wir den Vorg\u00e4nger immer mit $2$ multiplizieren m\u00fcssen, betrachten wir mal die Zweierpotenzen:<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \n2^0 = 1,~2^1 = 2,~2^2 = 4,~2^3 = 8,~2^4 = 16,~2^5 = 32
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      Es wird ersichtlich, dass die Zahlen aus dem Beispiel immer um $1$ niedriger sind, als die Potenzen. Daher erschlie\u00dfen wir, dass<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \na_n = 2^{n}-1
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      gilt. Zur Kontrolle rechnen wir noch schnell zwei Werte nach:<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \na_5 &= 2^5 -1 = 32-1=31 \\quad \\checkmark\\\\
      \na_7 &= 2^7-1 = 128 – 1 = 127 \\quad \\checkmark
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      Merke<\/strong><\/p>\n

        \n
      1. Der Vorteil der expliziten Darstellung ist, dass wir keinen Startpunkt ben\u00f6tigen und jedes Folgeglied ohne jegliche Berechnung der Vorg\u00e4nger bestimmen k\u00f6nnen.<\/li>\n<\/ol>\n

        Beispielsweise ist $a_{15} = 2^{15} – 1 = 32768 -1 =32767$. Der Nachteil gegen\u00fcber der rekursiven Beziehung besteht hier in der Schwierigkeit, diese Darstellung zu erkennen.<\/p>\n

        Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen wir noch zeigen, dass unsere beiden Darstellungen der Folge auch zusammenpassen. Daf\u00fcr setzen wir die Formel der einen in die andere ein und es ergibt sich mit <\/p>\n

        \\begin{align*}
        \na_n = \\underbrace{2\\cdot a_{n-1} + 1}_{rekursiv} = 2\\cdot (\\underbrace{2^{n-1}-1}_{explizit})+1 = 2^n-2+1 = 2^n-1
        \n\\end{align*}<\/p>\n

        eine wahre Aussage. <\/p>\n

        Eigenschaften von Folgen<\/h2>\n

        Die erste Eigenschaft, die wir betrachten, ist die $\\textbf{Monotonie}$. Allgemein k\u00f6nnen wir die Formel zur Monotonie technisch schnell in einer Tabelle darstellen:<\/p>\n

        \\begin{array}{c|c}
        \n\ta_n \\text{ist monoton wachsend} & a_n \\text{ist monoton fallend} \\\\
        \n\t\\hline
        \n\t\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\geq 1 & \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\leq 1 \\\\
        \n\ta_{n+1}-a_n\\geq 0$ & $a_{n+1}-a_n\\leq 0
        \n\\end{array}<\/p>\n

        Dazu sei angemerkt, dass wir von strenger Monotonie, also streng monoton wachsend und streng monoton fallend sprechen, wenn statt der Zeichen $\\leq$ und $\\geq$ in obiger Tabelle, jeweils die Zeichen $<$ und $>$ stehen.<\/p>\n

        Wir betrachten erneut unser $\\textbf{Beispiel}$ $a_n=2^n-1$. Welche der beiden Formeln wir benutzen, ist einerseits Geschmackssache, andererseits h\u00e4ngt es aber auch etwas von der Folge ab, die betrachtet werden soll. Oftmals ist sowohl der Quotient als auch die Differenzbildung m\u00f6glich und zielf\u00fchrend. In unserem Fall sieht der Quotient von Summen zun\u00e4chst weniger sch\u00f6n aus, sodass wir uns f\u00fcr die zweite Zeile entscheiden. Wir beginnen daher mit der linken Seite und schauen, ob wir diese $\\geq 0$ oder $\\leq 0$ zeigen k\u00f6nnen. Es gilt:<\/p>\n

        \\begin{align*}
        \na_{n+1}-a_n = 2^{n+1}-1-(2^n-1) = 2\\cdot 2^n-1-2^n+1 = 2^n>0.
        \n\\end{align*}<\/p>\n

        Wir sehen, dass unsere Folge streng monoton wachsend ist. Oftmals, mathematisch gesehen erst zu 100\\ korrekt, ist es von Vorteil die Monotonie mit der vollst\u00e4ndigen Induktion zu zeigen.<\/p>\n

        \\par<\/p>\n

        Eine weitere m\u00f6gliche Eigenschaft einer Folge ist die $\\textbf{Beschr\u00e4nktheit}$. Diese sagt etwas dar\u00fcber aus, ob sich die Folge stets oberhalb bzw. unterhalb eines Wertes oder, wenn dies beides erf\u00fcllt ist, zwischen zwei Werten befindet. Das Erkennen einer solchen Schranke ist nicht immer leicht. Hier ist es ratsam ein paar Folgeglieder zu betrachten oder mittels Taschenrechner zu berechnen und eine Vermutung aufzustellen. Auch ein genauer Blick auf die Definition der Folge kann hier helfen. Anschlie\u00dfend kann diese Vermutung per Induktion bewiesen werden. In unserem Beispiel $a_n=2^n-1$ sehen wir schnell, dass diese Folge nach oben nicht beschr\u00e4nkt sein kann, da $\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}2^n = \\infty$ gilt. Daran \u00e4ndert auch die $-1$ nichts. F\u00fcr eine untere Schranke gibt es mehrere M\u00f6glichkeiten, da diese nicht eindeutig ist. Es kann hier schnell auf die Zahl $0$ als untere Schranke raus kommen. Da wir nat\u00fcrliche Zahlen aber so verstehen, dass diese bei $1$ beginnen, k\u00f6nnen wir auch $1$ als untere Schranke zeigen. <\/p>\n

          \n
        1. $\\textbf{Induktionsanfang}$ $n=1$: $a_1 = 2^1-1 = 1 \\geq 1 \\quad \\checkmark$<\/li>\n
        2. $\\textbf{Induktionsvoraussetzung:}$ Die Behauptung $a_n\\geq 1$ gelte f\u00fcr ein $n\\in\\mathbb{N}$ beliebig.<\/li>\n
        3. $\\textbf{Induktionsschritt}$ $n \\rightarrow n+1$: $a_{n+1}=2^{n+1}-1\\geq 2^n-1 = a_n~\\overset{\\text{I.V.}}{\\geq}~1$<\/li>\n<\/ol>\n

          Konvergenz<\/h3>\n

          Eine sehr wichtige Eigenschaft ist die $\\textbf{Konvergenz von Folgen}$. Diese ist erfahrungsgem\u00e4\u00df nicht leicht zu verstehen, daher werden wir uns langsam an die Sache herantasten. Zun\u00e4chst ist zu kl\u00e4ren, was wir unter der Konvergenz von Folgen genau verstehen. Ein salopper Definitionsversuch w\u00e4re zu sagen, dass eine Folge $a_n$ gegen einen Grenzwert $a$ konvergiert, wenn sie sich diesem im Unendlichen immer weiter ann\u00e4hert. Die Definition halten wir nun mathematisch fest, um Interpretationsspielr\u00e4ume auszuschlie\u00dfen.<\/p>\n

          Definition Konvergenz<\/strong>
          \nSei $a_n:\\mathbb{N}\\rightarrow\\mathbb{R}$ eine Folge und $a\\in\\mathbb{R}$, so sagen wir, dass $a_n$ gegen $a$ konvergiert, in Zeichen $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n = a$, wenn
          \n\\begin{align*}
          \n\\forall~\\varepsilon>0~\\exists~n_0\\in\\mathbb{N}:\\forall~n\\geq n_0:~
          \n\\left|a_n-a\\right|<\\varepsilon.\n\\end{align*}\n\nDies bedeutet, dass egal welchen Wert f\u00fcr $\\varepsilon$ wir uns vorgeben, wir immer einen Index $n_0$ finden, der in der Regel von $\\varepsilon$ abh\u00e4ngt, sodass alle Folgeglieder mit einem h\u00f6heren Index einen kleineren Abstand zum Grenzwert $a$ haben als $\\varepsilon$. Zudem halten wir fest, dass eine Folge, die nicht konvergiert, $\\textbf{divergent}$ genannt wird und wir eine Folge, die gegen $0$ konvergiert, $\\textbf{Nullfolge}$ nennen.\n\nBetrachten wir die Folge $a_n=1+\\frac{1}{n}$.\n\n\"\"<\/p>\n

          und geben erhalten wir f\u00fcr den Grenzwert $1$ dieser Folge einen $\\varepsilon-$Schlauch\\grqq{} mit $1+0{,}4 = 1{,}4$ und $1-0{,}4=0{,}6$. Die Definition der Konvergenz sagt jetzt aus, dass egal wie klein wir das $\\varepsilon$ w\u00e4hlen, es immer einen Index gibt, ab welchem alle weiteren Elemente der Folge innerhalb dieses Schlauchs landen und auch nicht mehr verlassen! In obiger Zeichnung f\u00fcr $\\varepsilon=0{,}4$ ist dies bereits ab $a_3$ erf\u00fcllt. W\u00fcrden wir $\\varepsilon$ verkleinern und beispielsweise $\\varepsilon=0{,}2$ betrachten, so w\u00e4ren die Folgeglieder erst ab $a_6$ und allen weiteren Elementen innerhalb des Schlauchs. Wir werden mathematisch zeigen, dass der in der Zeichnung behauptete Grenzwert korrekt ist, also dass gilt: $a=1$. Dazu m\u00fcssen wir obige Definition nachrechnen. Zun\u00e4chst betrachten wir die Differenz:<\/p>\n

          \\begin{align*}
          \n\\left|a_n-1\\right| = \\left|1+\\frac{1}{n}-1\\right| = \\left|\\frac{1}{n}\\right|=\\frac{1}{n}
          \n\\end{align*}<\/p>\n

          Nun fordern wir, dass $n_0\\geq\\frac{1}{\\varepsilon}$ ist, welches f\u00fcr jedes $\\varepsilon>0$ gefunden werden kann. Damit gilt dann f\u00fcr alle $n>n_0$:<\/p>\n

          \\begin{align*}
          \n\\frac{1}{n}<\\frac{1}{n_0}=\\frac{1}{\\frac{1}{\\varepsilon}}=\\varepsilon\n\\end{align*}\n\nInsgesamt haben wir nach der Definition der Konvergenz von Folgen also gezeigt, dass $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n=1$ gilt. Der gro\u00dfe Nachteil bei direktem Nachrechnen der Definition ist, dass der Grenzwert $a$, in diesem Falle $1$, bekannt sein oder zumindest richtig geraten werden muss, um anschlie\u00dfend verifiziert werden zu k\u00f6nnen. Daher werden wir im Folgenden verschiedene Hilfsmittel besprechen, um die Konvergenz auch mit anderen Methoden zeigen zu k\u00f6nnen.\n\nAls Erstes betrachten wir verschiedene $\\textbf{Grenzwerts\u00e4tze}$. Diese erlauben es, zusammengesetzte Folgen in ihren Einzelheiten zu untersuchen und die Grenzwerte anschlie\u00dfend zusammenzufassen. \n\nBeipsiel<\/strong>
          \nGegeben seien die Folgen $(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ und $(b_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ mit $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n=a$ und $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}b_n=b$. Dann gilt: <\/p>\n

            \n
          1. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}|a_n|=|a|$<\/li>\n
          2. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n+b_n=a+b$<\/li>\n
          3. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}c\\cdot a_n=c\\cdot a$ f\u00fcr alle $c\\in\\mathbb{R}$<\/li>\n
          4. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n\\cdot b_n=a\\cdot b$<\/li>\n
          5. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n^k=a^k$ f\u00fcr $k\\in\\mathbb{N}$<\/li>\n<\/ol>\n

            Gilt $b_n\\neq 0$ und $b\\neq 0$, dann folgt:
            \n$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{a_n}{b_n}=\\frac{a}{b}$<\/p>\n

            Gilt $a_n\\geq 0$, dann folgt:
            \n$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[k]{a_n}=\\sqrt[k]{a}$ <\/p>\n

            Um diese \\qrcodesidestart\\qrcodeside{https:\/\/stdy.help\/r\/bcc93d43c7}{Grenzwerts\u00e4tze}Grenzwerts\u00e4tze gewinnbringend anwenden zu k\u00f6nnen, bedarf es einiger bekannter Grenzwerte von Folgen. <\/p>\n

              \n
            1. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a=a$, f\u00fcr $a\\in\\mathbb{R}$<\/li>\n
            2. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{n^k}=0$, f\u00fcr $k>0$<\/li>\n
            3. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{n^k}{c^n}=0$, f\u00fcr $k,~c>0$<\/li>\n
            4. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{c}=1$, f\u00fcr $c>0$<\/li>\n
            5. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{n}=1$<\/li>\n
            6. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}q^n=0$, f\u00fcr $|q|<1$<\/li>\n
            7. $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}q^n=\\infty$, f\u00fcr $|q|>1$<\/li>\n<\/ol>\n

              Die Folge $q^n$, welche in den Punkten $6.$ und $7.$ beschrieben wird, hei\u00dft $\\textbf{geometrische Folge}$ und wird im Kapitel \u00fcber Summen und Reihen ebenfalls eine Rolle spielen. Mit Hilfe der Grenzwerts\u00e4tze und dieser ersten bekannten Grenzwerte sind wir in der Lage, Folgen zu bearbeiten, die aus diesen Arten zusammengesetzt sind. Daher werden wir einige Beispiele dazu betrachten. Hierbei darf nicht vergessen werden, dass wir uns bei Folgen in den nat\u00fcrlichen Zahlen bewegen und eventuelle Grenzwertmethoden aus dem Kapitel der Funktionen nicht direkt anwendbar sind. <\/p>\n

              Beispiel: Wir betrachten einen Bruch aus zwei Polynomen.<\/strong><\/p>\n

                \n
              1. Finde den Summanden im Nenner, der am schnellsten w\u00e4chst und die anderen dominiert.<\/li>\n
              2. Klammere sowohl im Z\u00e4hler als auch im Nenner diese Potenz aus, auch wenn sie gr\u00f6\u00dfer als die Potenzen ist, die im Z\u00e4hler vorkommen.<\/li>\n
              3. K\u00fcrze die gr\u00f6\u00dfte Potenz.<\/li>\n
              4. Benutze bei Konvergenz die Grenzwerts\u00e4tze $2.$ und $6.$.<\/li>\n
              5. Sollte im Z\u00e4hler ein divergenter Teil vorkommen, so argumentieren wir anders. Dies ist der Fall, falls die gr\u00f6\u00dfte Potenz des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist, als die gr\u00f6\u00dfte Potenz des Nenners.<\/li>\n<\/ol>\n

                Der Summand, der im Nenner am st\u00e4rksten w\u00e4chst, ist $n^2$, sodass wir diesen ausklammern und k\u00fcrzen.<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n=\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{n^2\\cdot(3-\\frac{4n}{n^2}+\\frac{5}{n^2})}{n^2\\cdot(\\frac{6}{n^2}-5+\\frac{9n}{n^2})}=\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{3-\\frac{4}{n}+\\frac{5}{n^2}}{\\frac{6}{n^2}-5+\\frac{9}{n}}
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Mit Hilfe der Grenzwerts\u00e4tze k\u00f6nnen wir nun die Grenzwerte der einzelnen Summanden im Z\u00e4hler und im Nenner bestimmen:<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n&=\\frac{\\overbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}3}^{\\rightarrow~3}-\\overbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{4}{n}}^{\\rightarrow~0}+\\overbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{5}{n^2}}^{\\rightarrow~0}}{\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{6}{n^2}}_{\\rightarrow~ 0}-\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}5}_{\\rightarrow~ 5}+\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{9}{n}}_{\\rightarrow~0}} =\\frac{3-0+0}{0-5+0} = -\\frac{3}{5}
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Beispiel: Wir betrachten folgenden Ausdruck: $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{3n^5-3^{n+1}+2}{2^{2n}+n^2+3^n}$<\/strong>
                \nZun\u00e4chst m\u00fcssen wir den Summanden, der im Nenner am st\u00e4rksten w\u00e4chst, finden. Dies ist in diesem Falle nicht $3^n$, da wir zun\u00e4chst $2^{2n}=4^n$ umschreiben und mit $4$ die gr\u00f6\u00dfere Basis haben. Also klammern wir nun $4^n$ im Z\u00e4hler und Nenner aus und k\u00fcrzen:<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n=\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{3n^5-3\\cdot 3^{n}+2}{4^{n}+n^2+3^n} &= \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{4^n\\cdot(\\frac{3n^5}{4^n}-3\\cdot\\frac{3^{n}}{4^n}+\\frac{2}{4^n})}{4^n\\cdot(1+\\frac{n^2}{4^n}+\\frac{3^n}{4^n})} =\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{\\frac{3n^5}{4^n}-3\\cdot\\left(\\frac{3}{4}\\right)^n+\\frac{2}{4^n}}{1+\\frac{n^2}{4^n}+\\left(\\frac{3}{4}\\right)^n}
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Anschlie\u00dfend benutzen wir erneut die Grenzwerts\u00e4tze und erhalten das Ergebnis anhand der bekannten Grenzwerte aus der vorherigen Tabelle:<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n=\\frac{\\overbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{3n^5}{4^n}}^{\\rightarrow~0}-\\overbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}3\\cdot\\left(\\frac{3}{4}\\right)^n}^{\\rightarrow~0}+\\overbrace{\\frac{2}{4^n}}^{\\rightarrow~0}}{\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}1}_{\\rightarrow~1}+\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{n^2}{4^n}}_{\\rightarrow_0}+\\underbrace{\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\left(\\frac{3}{4}\\right)^n}_{\\rightarrow~0}} = \\frac{0+0+0}{1+0+0} =0
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Beispiel: Wir betrachten folgenden Ausdruck: $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{2^n+(-1)^n+4}{n^{10}-\\sqrt[n]{n}-1}$<\/strong>
                \nAuch in diesem Fall klammern wir zun\u00e4chst den am st\u00e4rksten wachsenden Exponenten im Nenner aus (hier: $n^{10}$) und k\u00fcrzen anschlie\u00dfend<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n=\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{n^{10}\\cdot(\\frac{2^n}{n^{10}}+\\frac{(-1)^n}{n^{10}}+\\frac{4}{n^{10}})}{n^{10}\\cdot(1-\\frac{\\sqrt[n]{n}}{n^{10}}-\\frac{1}{n^{10}})}=\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{\\frac{2^n}{n^{10}}+\\frac{(-1)^n}{n^{10}}+\\frac{4}{n^{10}}}{1-\\frac{\\sqrt[n]{n}}{n^{10}}-\\frac{1}{n^{10}}}.
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                An dieser Stelle k\u00f6nnen wir keinen Gebrauch von den Grenzwerts\u00e4tzen machen, da $\\frac{2^n}{n^{10}}$ divergiert und die Grenzwerts\u00e4tze nur bei konvergenten Folgen angewandt werden d\u00fcrfen. Zur L\u00f6sung dieses Beispiels betrachten wir daher die beiden Folgen $\\frac{2^n}{n^{10}}+\\frac{(-1)^n}{n^{10}}+\\frac{4}{n^{10}}$ und $1-\\frac{\\sqrt[n]{n}}{n^{10}}-\\frac{1}{n^{10}}$ getrennt. Die erste divergiert gegen $\\infty$, da der erste Summand gegen $\\infty$ divergiert und die anderen beiden Folgen Nullfolgen sind. Die Folge im Nenner konvergiert gegen $1$, da der erste Summand gegen $1$ konvergiert und die anderen Summanden Nullfolgen sind. Das bedeutet, wir haben einen beschr\u00e4nkten Nenner und einen unbeschr\u00e4nkten Z\u00e4hler, sodass die Folge insgesamt unbeschr\u00e4nkt ist und damit gilt<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{2^n+(-1)^n+4}{n^{10}-\\sqrt[n]{n}-1} = \\infty
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Ein argumentatives Vorgehen ist nach dem K\u00fcrzen immer dann n\u00f6tig, wenn der am st\u00e4rksten wachsende Summand im Z\u00e4hler den am st\u00e4rksten wachsenden Summanden im Nenner dominiert.<\/p>\n

                \n

                \nAls N\u00e4chstes m\u00f6chten wir das sogenannte Sandwich-Lemma oder auch \\textbf{Einschlie\u00dfungssatz} einf\u00fchren.<\/strong>
                \nGegeben seien drei Folgen $(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}},(b_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ und $(c_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$. Das Sandwich-Lemma besagt: Wenn wir eine Folge mit zwei anderen Folgen, die den gleichen Grenzwert haben, einschlie\u00dfen k\u00f6nnen, konvergiert auch die dritte Folge gegen diesen Grenzwert. Mathematisch s\u00e4he dies so aus: Wenn $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n=a$ und $\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}c_n=a$ dann gilt:
                \n\\begin{align*}
                \na_n\\leq b_n\\leq c_n &\\Longrightarrow \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n\\leq \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}b_n\\leq\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}c_n\\\\ \\\\
                \n&\\Longrightarrow a \\leq \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}b_n\\leq a\\\\ \\\\
                \n&\\Longrightarrow \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}b_n=a.
                \n\\end{align*}\n<\/p>\n<\/div>\n

                Auch dieses Vorgehen verstehen wir anhand von Beispielen besser. \\newline \\textbf{Beispiel} Betrachten wir im Folgenden den Grenzwert<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}.
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                An dieser Stelle d\u00fcrfen wir nicht die Wurzel aus den einzelnen Summanden ziehen. Aber wir finden zwei Folgen, die diese Folge von oben und unten wie ein Sandwich einschlie\u00dfen und uns bei der L\u00f6sungsfindung helfen. Zum Einen ist <\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n2^n+3^n+4^n \\geq 4^n,
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                da alle Summanden positiv sind. Auf der anderen Seite gilt aber auch<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n2^n+3^n+4^n\\leq 4^n+4^n+4^n = 3\\cdot 4^n.
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Mit diesen Absch\u00e4tzungen erhalten wir nun die Grenzwerte<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{4^n} =\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty} 4 = 4 \\qquad \\qquad
                \n\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{3\\cdot 4^n} =4\\cdot\\underbrace{\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{3}}_{\\rightarrow~1}=4
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                und damit haben wir mit dem Sandwich-Lemma das Ergebnis<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n4 = \\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{4^n}\\leq \\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}\\leq \\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{3\\cdot 4^n}=4,
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                sodass $\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}=4$ gilt.<\/p>\n

                Im Anschluss m\u00f6chten wir eine weitere Klasse von Folgen betrachten, welche mit einem kleinen Trick schnell gel\u00f6st werden kann. Dabei handelt es sich um die \\textbf{Differenz zweier Wurzeln}. Betrachten wir als \\textbf{Beispiel} die Folge $(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ mit $a_n=\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}$. An dieser Stelle nutzen wir die 3. binomische Formel und erweitern mit der Summe der beiden Wurzeln. Wir erhalten:<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}&=\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{(\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1})\\cdot(\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1})}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}}\\\\
                \n&=\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{\\sqrt{n}^2-\\sqrt{n-1}^2}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}} =\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{n-(n-1)}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}} =\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}}
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Mit Hilfe des oben eingef\u00fchrten Sandwich-Lemmas zeigen wir die Konvergenz dieser Folge gegen $0$ mit den beiden Absch\u00e4tzungen:<\/p>\n

                \\begin{align*}
                \n\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}&\\geq\\sqrt{n}\\\\
                \n\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}&\\leq\\sqrt{n}+\\sqrt{n}=2\\cdot\\sqrt{n}
                \n\\end{align*}<\/p>\n

                Mit $0=\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{2\\cdot\\sqrt{n}}\\leq\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n-1}}\\leq\\lim\\limits_{ n\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{n}}=0$
                \nfolgt die Behauptung.<\/p>\n

                $\\textbf{Anmerkung}$: Bei einer Nullfolge ist es genauso korrekt, als untere Absch\u00e4tzung die konstante Folge $0$ statt $\\frac{1}{2\\cdot\\sqrt{n}}$ zu w\u00e4hlen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                In diesem Kapitel besch\u00e4ftigen wir uns mit den sogenannten $\\textbf{Folgen}$ und der $\\textbf{Konvergenz von Folgen}$. Dazu starten wir mit einem definierenden Beispiel. Betrachten wir diese Aufz\u00e4hlung von Zahlen: \\begin{align*} 1,~ 3,~ 7,~ 15,~ 31,~ 63,~ ? \\end{align*} Was wir unter einer Folge verstehen, ist vergleichbar mit Themen bzw. Aufgabenstellungen eines IQ-Tests. 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