In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir euch die Regeln und Berechnung von $\\textbf{Summen}$. Daf\u00fcr f\u00fchren wir zun\u00e4chst das Summenzeichen als abk\u00fcrzende Schreibweise ein und betrachten Regeln, welche uns zum Einen die Aufstellung solcher Summen, aber zum Anderen auch die Berechnung erleichtern werden. Abschlie\u00dfen werden wir das Kapitel mit dem \u00dcbergang zu Folgen von Partialsummen, den sogenannten $\\textbf{Reihen}$, deren Berechnung und Aussagen \u00fcber Konvergenz.<\/p>\n
Um das Arbeiten mit Summen zu vereinfachen, bedienen wir uns am griechischen $\\Sigma$ (Sigma). Betrachten wir folgende Summe:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+3+5+7+9+…+2019
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wir stellen fest, dass es sich bei den Summanden um alle ungeraden Zahlen zwischen $1$ und $2019$ handelt. Eine ungerade Zahl k\u00f6nnen wir stets in der Form $2k-1$ f\u00fcr ein $k\\in\\mathbb{N}$ darstellen. Setzen wir f\u00fcr $k$ die Zahlen $1$, $2$ und $3$ ein, ergibt sich $2\\cdot 1 -1 = 1$, $2\\cdot 2 -1 = 3$ und $2\\cdot 3 -1 =5$. Es gen\u00fcgt also zu wissen, welche Werte von $k$ wir \u00fcberhaupt brauchen. Da $2\\cdot 1-1 = 1$ und $2\\cdot 1010 -1 =2019$ ist, ben\u00f6tigen wir alle $k$ zwischen $1$ und $1010$. Damit l\u00e4sst sich die oben aufgef\u00fchrte Summe verk\u00fcrzt schreiben als: <\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+3+5+7+9+…+2019=\\sum_{k=1}^{1010} 2k-1
\n\\end{align*}<\/p>\n
Hinweis: Das $k$ beim Summationsende wird in der Regel zur besseren \u00dcbersicht weggelassen.<\/p>\n
\u00c4hnlich, wie wir es bereits f\u00fcr zwei Summanden kennen, gelten analog f\u00fcr Summen mit beliebig vielen Summanden Pendants zu Gesetzen wie dem Assoziativ- und dem Distributivgesetz. Im Allgemeinen sprechen wir hier von dem Begriff der \\textbf{Linearit\u00e4t}. Damit das Ganze \u00fcbersichtlicher erscheint, stellen wir diese und weitere Eigenschaften in der folgenden \u00dcbersicht dar.
\n
Anschlie\u00dfend betrachten wir ein \\textbf{Beispiel}, in welchem viele der oben aufgef\u00fchrten Regeln angewendet werden. Versuchen wir mit diesen den folgenden Term so weit wie m\u00f6glich zu vereinfachen, folgt diese Umformung:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{array}{rl}
\n &\\sum_{k=4}^{n}a_k+\\sum_{k=1}^{n+3}a_k+\\sum_{k=1}^{n}a_k+\\sum_{k=2}^3 a_k – \\sum_{i=1}^n a_i-a_1+2\\cdot\\sum_{k=1}^1 a_k+2a_{n+1}-\\sum_{k=n+1}^{n+3}a_k\\\\
\n =&\\underbrace{\\left(\\sum_{k=2}^3a_k+\\sum_{k=4}^na_k\\right)}_{\\text{Regel 2}}+\\underbrace{\\left(\\sum_{k=1}^na_k-\\sum_{i=1}^na_i\\right)}_{\\text{Regel 6}}+\\underbrace{\\left(\\sum_{k=1}^{n+3}a_k-\\sum_{k=n+1}^{n+3}a_k\\right)}_{\\text{Regel 2}}+\\left(2\\cdot\\sum_{k=1}^1a_k-a_1\\right)+2a_{n+1}\\\\
\n =&\\sum_{k=2}^{n}a_k+0+\\sum_{k=1}^na_k+\\left(2a_1-a_1\\right)+2a_{n+1} = \\underbrace{\\left(\\sum_{k=2}^na_k+a_1\\right)}_{\\text{Regel 4}}+\\sum_{k=1}^na_k+2a_{n+1}\\\\
\n =&\\sum_{k=1}^n a_k +\\sum_{k=1}^n a_k +2a_{n+1}=2\\cdot \\sum_{k=1}^n a_k + 2a_{n+1}=2\\cdot\\underbrace{\\left(\\sum_{k=1}^n a_k+a_{n+1}\\right)}_{\\text{Regel 3}}=2\\cdot \\sum_{k=1}^{n+1} a_k
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Nun m\u00f6chten wir die erste Regel zur Berechnung von Summen einf\u00fchren. Diese tr\u00e4gt basierend auf einer Anekdote des Mathematikers Carl Friedrich Gau\u00df den Namen \\glqq „der kleine Gau\u00df“. Die eigentliche Aufgabenstellung hierzu war die Berechnung der ersten $100$ nat\u00fcrlichen Zahlen, also <\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+2+3+…+100 =~?
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wir duplizieren diese Summe und schreiben sie in verkehrter Reihenfolge in eine zweite Zeile, also genau so:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{array}{ccccccccccccc}
\n0&+&1&+&2&+&…&+&98&+&99&+&100\\\\
\n100&+&99&+&98&+&…&+&2&+&1&+&0
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wir erkennen, dass die Summe in jeder Spalte stets den Wert $100$ ergibt. Die Anzahl der Spalten betr\u00e4gt in diesem Beispiel $101$ (da wir die $0$ mitz\u00e4hlen m\u00fcssen). Dementsprechend erhalten wir als Wert der doppelten Summe $101\\cdot 100$. Es gilt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+2+3+…+100 = \\frac{100\\cdot 101}{2} = 5.050
\n\\end{align*}<\/p>\n
Verallgemeinern l\u00e4sst sich dies auch f\u00fcr eine beliebige Anzahl von Summanden, sodass wir damit die Regel des kleinen Gau\u00df aufschreiben k\u00f6nnen:<\/p>\n
$\\textbf{Regel des kleinen Gau\u00df:}$
\n\\begin{align*}
\n\\sum_{k=1}^{n} k = \\frac{n\\cdot (n+1)}{2}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Mit Hilfe der oben aufgef\u00fchrten Regel wollen wir nun folgenden Term berechnen:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=1}^{50} \\left(3k-2\\right)
\n\\end{align*}<\/p>\n
Daf\u00fcr wenden wir zun\u00e4chst Regeln 5. und 7. aus unserer \u00dcbersicht an, um anschlie\u00dfend mit Hilfe des kleinen Gau\u00df‘ sowie Regel 8. die Summen zu berechnen:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=1}^{50} \\left(3k-2\\right)&=\\sum_{k=1}^{50} 3k – \\sum_{k=1}^{50} 2 =3\\sum_{k=1}^{50} k-2\\sum_{k=1}^{50}1\\\\
\n&=3\\cdot\\frac{50\\cdot 51}{2} – 2\\cdot 50 =3.825 – 100= 3.725
\n\\end{align*}<\/p>\n
Die zweite Rechenregel, die wir uns anschauen, ist die sogenannte \\textbf{geometrische Summenformel}. Die Herleitung m\u00f6chten wir an dieser Stelle nicht betrachten, da sie zum eigentlichen Rechnen wenig beitr\u00e4gt. Diese Summenformel wird oft beim Summieren von Potenzen angewandt. Im Folgenden werden wir verschiedene Formen darstellen. Dabei sei angemerkt, dass jede Darstellung f\u00fcr sich genommen korrekt ist. Es wird sich aber zeigen, dass manche Definitionen in manchen Situation weniger Rechenaufwand mit sich bringen. Eine nicht zwingende, aber unterst\u00fctzende Vorgehensweise w\u00e4re damit die Folgende:<\/p>\n
$\\textbf{Vorgehensweise:}$
\n1. Liegt eine Summe von Potenzen vor?<\/p>\n
2. Falls ja, was ist $q$?<\/p>\n
3. Beginnt die Summe bei $k=0$, ist der erste Summand gleich $1$, beginnt die Summe bei $k=1$, ist der erste Summand gleich $q$ oder beginnt die Summe sogar erst ab einem h\u00f6heren Wert $k=j$, also ist der erste Summand eine h\u00f6here Potenz $q^j$?<\/p>\n
4. Ist $q$ gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als $1$?<\/p>\n
Die zugrunde liegende Summenformel lautet dabei f\u00fcr $q\\neq 1$:
\n\\begin{align*}
\n\\sum_{k=0}^n q^k &= \\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Anhand der Antworten der obigen Fragenliste betrachten wir leicht abgewandelte Formen. Beginnt die Summe erst bei $k=1$, so betrachten wir<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=1}^n q^k &= \\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1.
\n\\end{align*}<\/p>\n
Seltener beginnt die Summenformel erst bei einer h\u00f6heren Potenz, hier $q^j$. Dies resultiert dann meist in der Berechnung von zwei Summen:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=j}^n q^k = \\frac{1-q^{n+1}}{1-q} -\\sum_{k=0}^{j-1} q^k = \\frac{1-q^{n+1}}{1-q}- \\frac{1-q^j}{1-q} =\\frac{q^j-q^{n+1}}{1-q}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Zus\u00e4tzlich lohnt es sich bei einem Wert von $q>1$ die Reihenfolge zu \u00e4ndern, also<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=0}^n q^k = \\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
\n\\end{align*}<\/p>\n
zu berechnen, um weniger Probleme mit negativen Vorzeichen zu bekommen, die sonst im Z\u00e4hler und Nenner entstehen. Wichtig ist hierbei, dass dies nur erlaubt ist, wenn die Reihenfolge sowohl im Z\u00e4hler als auch im Nenner getauscht wird! Nat\u00fcrlich k\u00f6nnen wir bei den angepassten Beispielen, bei denen die Summe nicht mit $k=0$ beginnt, ebenfalls die Reihenfolge \u00e4ndern. Wir schauen uns das an zwei Beispielen mal genauer an:
\n$\\textbf{Beispiel}$ Wir betrachten die Summe:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{16}+…+\\frac{1}{2048} =~?
\n\\end{align*}<\/p>\n
Hierbei gehen wir der Einfachheit halber nach der empfohlenen Weise vor. Wir erkennen, dass es sich um eine Summe von Potenzen handelt, n\u00e4mlich mit $q=\\frac{1}{2}$, denn die ersten Potenzen von $q$ sind $q^0=1$, $q^1 =\\frac{1}{2}$, $q^2=\\frac{1}{4}$ und $q^3=\\frac{1}{8}$. Um den obersten Index zu bestimmen, rechnen wir nach, dass $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{11}=\\frac{1}{2048}$ gilt. Damit erhalten wir die kompakte Schreibweise:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{16}+…+\\frac{1}{2.048} = \\sum_{k=0}^{11} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^k
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da die Summe mit $1$ also $q^0$ beginnt und zus\u00e4tzlich $\\frac{1}{2}<1$ ist, berechnen wir den Wert der Summe wie folgt:\n\n\\begin{align*}\n\\sum_{k=0}^{11} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^k=\\frac{1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{12}}{1-\\frac{1}{2}}\n=\\frac{1-\\frac{1}{4.096}}{\\frac{1}{2}} =2\\cdot \\frac{4.095}{4.096}\n=\\frac{4.095}{2.048}\\approx 1{,}9995\n\\end{align*}\n\n$\\textbf{Beispiel}$ Wir betrachten die Summe:\n\\begin{align*}\n100+1.000+10.000+...+10.000.000.000 =~?\n\\end{align*}\n\n\nWir erkennen, dass die Summe nicht bei $1$ beginnt. F\u00fcr den Wert $q$ springen eventuell schnell die Werte $10$ und $100$ in den Vordergrund. Dabei k\u00f6nnen wir $100$ ausschlie\u00dfen, da $100^2=10.000$ nicht der zweite Summand ist. So folgern wir, dass $q=10$ gilt. Der erste Summand ist dabei $100=10^2$ und der Letzte $10.000.000.000 =10^{10}$. Da $q=10>1$ ist, berechnen wir die Summe wie folgt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\sum_{k=2}^{10} 10^k = \\frac{10^{11}-1}{10-1}-\\frac{10^2-1}{10-1} =11.111.111.111 – 11 = 11.111.111.100
\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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