{"id":1755,"date":"2016-05-19T10:06:37","date_gmt":"2016-05-19T08:06:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mechanik\/?page_id=1755"},"modified":"2018-09-24T12:09:01","modified_gmt":"2018-09-24T10:09:01","slug":"prinzip-der-virtuellen-arbeit","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/prinzip-der-virtuellen-arbeit\/","title":{"rendered":"Prinzip der virtuellen Arbeit"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema &#8222;Prinzip der virtuellen Arbeit&#8220;. Wir gehen dabei auf folgende Themen ein:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#definition\">Definition<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#berechnung-von-lagerreaktionen\">Berechnung von Lagerreaktionen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispiele\">Beispiele<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"definition\" class=\"anchor\">Definition<\/h2>\n<p>H\u00e4ufig wird in den \u00dcbungen das Prinzip der virtuellen Arbeit (kurz: P.d.v.A.) zur Berechnung von Lagerreaktionen verwendet.<\/p>\n<p>Grundgedanke: Kr\u00e4fte f\u00fchren virtuelle (gedachte) Bewegung durch!<\/p>\n<ul>\n<li>In Wirklichkeit nicht vorhanden<\/li>\n<li>Infinitesimal klein (Tangentenregel)<\/li>\n<li>Geometrisch zul\u00e4ssig<\/li>\n<\/ul>\n<p>Merke: \u201eJede Bewegung eines starren K\u00f6rpers ist als Drehung um einen Absolutpol (M) darstellbar. Dieser kann auch im Unendlichen liegen.\u201c<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1846\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva-1024x395.png\" alt=\"Prinzip der virtuellen Arbeit\" width=\"560\" height=\"216\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva-1024x395.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva-300x116.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva-768x296.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pdva.png 1180w\" sizes=\"(max-width: 560px) 100vw, 560px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Der Zusammenhang zwischen Verdrehung $d\\varphi$ und Verschiebung $dv$\u00a0kann mit dem Tangens ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*} \\tan(d\\varphi)=\\frac{dv}{a} \\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr kleine Winkel gilt $\\tan(d\\varphi)=d\\varphi$ und somit vereinfacht sich der Ausdruck zu:<\/p>\n<p>\\begin{align*} d\\varphi=\\frac{dv}{a} \\end{align*}<\/p>\n<h2 id=\"berechnung-von-lagerreaktionen\" class=\"anchor\">Fahrplan zur Berechnung von Lagerraktionen<\/h2>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen:<\/span>\u00a0(vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik &#8211; Statik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2012)<\/p>\n<p>1) L\u00f6sen der Bindung: System ist dann verschiebbar ($f=1$)<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Hinweis: Wenn das Schnittmoment an einer bestimmten Stelle bestimmt werden soll, muss ein Gelenk eingef\u00fchrt werden. Das Moment tritt stets paarweise auf, weshalb du 2 Momente entgegengesetzt eintragen musst. Das ist dann die gesuchte Unbekannte.<\/p>\n<p>2) Polplan erstellen (siehe Regeln Polplan)<\/p>\n<p>3) Verschiebungsfigur zeichnen<\/p>\n<p>4) PdvA aufstellen: $\\delta A= \\sum F_i \\cdot \\delta a_i + \\sum M_i \\cdot \\delta \\varphi = 0$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Tipp: in Abh\u00e4ngigkeit <span style=\"text-decoration: underline;\">einer<\/span> unabh\u00e4ngigen kinematischen Gr\u00f6\u00dfe \u2013 also entweder vom Winkel oder einer bestimmten L\u00e4nge. Wichtig bei mehrteiligen Systemen: Zusammenhang zwischen den verschiedenen Winkeln!<\/p>\n<p>5) Aufl\u00f6sen nach unbekannter Gr\u00f6\u00dfe<\/p>\n<h2 id=\"beispiele\" class=\"anchor\">Beispiele<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel mehrteiliges System<\/h3>\n<p>Bestimme die vertikale Auflagerreaktion des unteren Lagers <i>B<\/i> mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit. Bekannt: $F, \\ \\overline{M}=F \\cdot a, \\ a, \\ \\alpha=45^{\\circ}$<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1919\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp.png\" alt=\"bil_pdva_bsp\" width=\"179\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp.png 538w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp-208x300.png 208w\" sizes=\"(max-width: 179px) 100vw, 179px\" \/><\/a><\/p>\n<p>L\u00f6sung:<\/p>\n<p>Wir arbeiten einfach den Fahrplan zur Berechnung von Lagerreaktionen ab, um die L\u00f6sung zu erhalten.<\/p>\n<p>1. Bindung l\u00f6sen &#8211; Was hei\u00dft das?<\/p>\n<p>Gesucht ist die vertikale Lagerreaktion . Um diese zu bestimmen, machen wir aus dem Festlager ein Loslager und tragen die gesuchte Kraft ein.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1920\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp_freischnitt-1024x592.png\" alt=\"bil_pdva_bsp_freischnitt\" width=\"523\" height=\"302\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp_freischnitt-1024x592.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp_freischnitt-300x174.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp_freischnitt-768x444.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp_freischnitt.png 1409w\" sizes=\"(max-width: 523px) 100vw, 523px\" \/><\/p>\n<p>F\u00fcr den Polplan m\u00fcssen wir etwas improvisieren. Jedes System muss einen Pol haben. Bei System 2 ist sofort durch das Festlager klar, wo der Pol ist. Bei System 1 ist es etwas kniffliger. Zun\u00e4chst kann der geometrische Ort beim Loslager eingetragen werden. Dann bedient man sich der Regel 5, um ein verschiebbares System zu erschaffen. Dazu erzeugen wir einen zus\u00e4tzlichen geometrischen Ort, der Pol (2) und den Zwischenpol verbindet. Dies ist ein geometrischer Ort von System 1! Der Schnittpunkt der beiden geometrischen Orte ergibt den Pol von System 1. Das System ist nun verschiebbar.<\/p>\n<p>3. Verschiebungsfigur ausgehend vom Polplan zeichnen<\/p>\n<p>Bei mehrteiligen Systemen sollte immer der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Verdrehwinkeln $\\delta \\varphi_i$ hergestellt werden. <img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1921\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_verschiebungsfigur.png\" alt=\"bil_pdva_verschiebungsfigur\" width=\"178\" height=\"289\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_verschiebungsfigur.png 436w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_verschiebungsfigur-185x300.png 185w\" sizes=\"(max-width: 178px) 100vw, 178px\" \/>Dazu schauen wir uns den Zwischenpol an, der von beiden Polen aus verschoben werden kann. Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nd\\varphi_2\\cdot 2a &amp;= dv_C= d \\varphi_1 \\cdot a \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\ d\\varphi_1 &amp;= 2\\varphi_2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>4. P.d.v.A. aufstellen<\/p>\n<p>Hier muss nun beachtet werden, ob die angreifenden \u00e4u\u00dferen Kr\u00e4fte mit der virtuell gedachten Verschiebung oder dagegen wirken. Daraus resultiert dann das Vorzeichen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ndA\u00a0= \\sum F_i \\cdot da_i + \\sum M_i \\cdot d \\varphi<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus obiger Gleichung folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ndA= -B_y \\cdot dv_B + F\\cdot \\cos(\\alpha) \\cdot dv_C+\\overline{M}\\cdot d\\varphi_1 =0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>5. Im Gleichgewicht muss dieser Ausdruck gleich Null sein. Nun die Gleichung in Abh\u00e4ngigkeit von nur einer virtuellen Gr\u00f6\u00dfe umstellen und diese Ausklammern.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n-B_y \\cdot d\\varphi_1 \\cdot a + F\\cdot \\cos(\\alpha) \\cdot d\\varphi_1 \\cdot a +\\overline{M}\\cdot d\\varphi_1 &amp;=0 \\\\<br \/>\nd\\varphi_1 \\cdot \\left( -B_y \\cdot a + F\\cdot \\cos(\\alpha) \\cdot a +\\overline{M} \\right) &amp;=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wie l\u00f6sen wir diesen Ausdruck? Merke: Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Da virtuelle Gr\u00f6\u00dfen beliebig, aber in der Regel ungleich Null sind, muss der Klammerausdruck gleich Null sein. Es folgt das Ergebnis:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB_y = F\\cdot \\cos(\\alpha) +\\frac{\\overline{M}}{a} = F\\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{F\\cdot a}{a}=\\frac{F}{\\sqrt{2}} +F<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Video zur Beispielaufgabe &#8211; Berechnung der Lagerkraft $A_y$<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Virtuelle Arbeit - mehrteiliges System - Technische Mechanik 1\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_9FSuzxo4eVE\"><div id=\"lyte_9FSuzxo4eVE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F9FSuzxo4eVE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Virtuelle Arbeit - mehrteiliges System - Technische Mechanik 1<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/9FSuzxo4eVE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F9FSuzxo4eVE%2F0.jpg\" alt=\"Virtuelle Arbeit - mehrteiliges System - Technische Mechanik 1\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/div>\n\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Aufgabe Schnittmoment einteiliges System<\/h3>\n<p>Bestimme mit Hilfe des P.d.v.A. das Schnittmoment in Balkenmitte. Bekannt: $\\overline{M}, \\ l$<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp2.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2091\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp2.png\" alt=\"bil_pdva_bsp2\" width=\"343\" height=\"140\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp2.png 703w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_pdva_bsp2-300x122.png 300w\" sizes=\"(max-width: 343px) 100vw, 343px\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>L\u00f6sungsvideo zur Aufgabe:<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Prinzip der virtuellen Arbeit - Schnittmoment berechnen (2)\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_XtgFy89ZMug\"><div id=\"lyte_XtgFy89ZMug\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXtgFy89ZMug%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Prinzip der virtuellen Arbeit - Schnittmoment berechnen (2)<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XtgFy89ZMug\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXtgFy89ZMug%2F0.jpg\" alt=\"Prinzip der virtuellen Arbeit - Schnittmoment berechnen (2)\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema &#8222;Prinzip der virtuellen Arbeit&#8220;. Wir gehen dabei auf folgende Themen ein: Definition Berechnung von Lagerreaktionen Beispiele Definition H\u00e4ufig wird in den \u00dcbungen das Prinzip der virtuellen Arbeit (kurz: P.d.v.A.) zur Berechnung von Lagerreaktionen verwendet. Grundgedanke: Kr\u00e4fte f\u00fchren virtuelle (gedachte) Bewegung durch! 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