{"id":1767,"date":"2016-05-19T10:10:12","date_gmt":"2016-05-19T08:10:12","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mechanik\/?page_id=1767"},"modified":"2018-06-15T09:15:44","modified_gmt":"2018-06-15T07:15:44","slug":"flaechentraegheitsmomente-bestimmen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/","title":{"rendered":"Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente"},"content":{"rendered":"\n<ul>\n<li>Auch Fl\u00e4chenmoment 2. Ordnung genannt<\/li>\n<li>SI-Einheit: m$^4$<\/li>\n<li>Abh\u00e4ngig vom Querschnitt<\/li>\n<li>Gibt Widerstand des K\u00f6rpers gegen Biegung an<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2065\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken.png\" alt=\"bil_ftm_balken\" width=\"561\" height=\"115\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken.png 1010w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken-300x61.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken-768x157.png 768w\" sizes=\"(max-width: 561px) 100vw, 561px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Praktische Berechnung zusammengesetzter Querschnitte mit dem Tabellenverfahren<\/li>\n<li>Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente beziehen sich hier zun\u00e4chst auf die Schwerachsen (kleine Buchstaben im Index \u2013 bei Hauptachsen sind gro\u00dfe Buchstaben) $I_y$, $I_z$, $I_{yz}$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente einer beliebigen Querschnittsfl\u00e4che werden mit Hilfe des Satzes von Steiner berechnet. Der Satz von Steiner besagt, dass sich das Fl\u00e4chentragheitsmoment aus dem Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment in den Fl\u00e4chenmittelpunkten der einzelnen Teilfl\u00e4chen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes $z$ von Schwerachse-Gesamtfl\u00e4che zu Schwerachse-Teilfl\u00e4che und Teilfl\u00e4che $A$ zusammensetzt.<a href=\"#_ftn1\" name=\"_ftnref1\">[3]<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment\" name=\"_ftn1\">[3]<\/a> https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment<\/p>\n<p>Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nI_y &amp;= \\sum I_{y_i} + \\sum z_i^2 \\cdot A_i \\\\<br \/>\nI_z &amp;=\u00a0\\sum I_{z_i} + \\sum y_i^2 \\cdot A_i \\\\<br \/>\nI_{yz} &amp;= \\sum I_{yz_i} &#8211;\u00a0\\sum y_i \\cdot z_i \\cdot A_i \\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n\n<h2>Praktische Berechnung mit Tabellenverfahren<\/h2>\n<p>Wie bei der Berechnung des Fl\u00e4chenschwerpunktes, bietet sich die Verwendung einer Tabelle an. Betrachten wir dazu das Beispiel aus dem Kapitel <em>Schwerpunkt berechnen\u00a0<\/em>mit den Schwerpunktkoordinaten $\\bar{y}_s = 50,71$ cm und\u00a0$\\bar{z}_s = 37,14$ cm.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2062\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_schwerpunkt_final1.png\" alt=\"bil_schwerpunkt_final\" width=\"304\" height=\"265\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_schwerpunkt_final1.png 603w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_schwerpunkt_final1-300x261.png 300w\" sizes=\"(max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p>Hier die ausgef\u00fcllte Tabelle f\u00fcr unser Beispiel:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_tabelle.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2103\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_tabelle.png\" alt=\"bil_ftm_tabelle\" width=\"823\" height=\"145\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_tabelle.png 982w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_tabelle-300x53.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_tabelle-768x135.png 768w\" sizes=\"(max-width: 823px) 100vw, 823px\" \/><\/a><\/p>\n<p>F\u00fcr die einzelnen Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente einfacher Teilfl\u00e4chen wie Dreiecken, Rechtecken, Kreisen etc. empfiehlt sich ein Blick in eines der zahlreichen Tabellenb\u00fccher. Z.B. gilt f\u00fcr ein Rechteck:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_rechteck.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2105\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_rechteck.png\" alt=\"bil_ftm_rechteck\" width=\"307\" height=\"173\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_rechteck.png 622w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_rechteck-300x169.png 300w\" sizes=\"(max-width: 307px) 100vw, 307px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Die Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente lauten f\u00fcr dieses Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nI_y &amp;= 573333,33\u00a0+ 257142,88 = 830476,21 \\ \\textrm{cm}^4 \\\\<br \/>\nI_z &amp;= 343333,33\u00a0+ 1028571,48 = 1371904,81 \\ \\textrm{cm}^4\u00a0 \\\\<br \/>\nI_{yz} &amp;= 0\u00a0&#8211; (-514285,68) = 514285,68\u00a0\\ \\textrm{cm}^4<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Video Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente mit Tabellenverfahren berechnen<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Fl&auml;chentr&auml;gheitsmoment mit Tabellenverfahren - Technische Mechanik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_fQ819cOWrhU\"><div id=\"lyte_fQ819cOWrhU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FfQ819cOWrhU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment mit Tabellenverfahren - Technische Mechanik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/fQ819cOWrhU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FfQ819cOWrhU%2F0.jpg\" alt=\"Fl&auml;chentr&auml;gheitsmoment mit Tabellenverfahren - Technische Mechanik\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2>Hauptachsen &#038; Haupttr\u00e4gheitsmomente<\/h2>\n<ul>\n<li>Schwerachsen werden so gedreht, dass Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente maximal ($I_Y$) bzw. minimal ($I_Z$) werden\n<ul>\n<li>Vorteil: In den Haupttr\u00e4gheitsachsen (kurz: Hauptachsen) verschwindet das Deviationsmoment $I_{YZ}=0$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Beachte die Schreibweise: Indizes werden bei Haupttr\u00e4gheitsmomenten gro\u00df geschrieben!<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Formeln zur Berechnung der Haupttr\u00e4gheitsmomente:<\/span><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nI_Y &amp;= I_{max} = \\frac{I_y + I_z}{2}\u00a0+ \\sqrt{ \\left(\u00a0\\frac{I_y &#8211; I_z}{2} \\right)^2 + I_{yz}^2}\u00a0\\\\<br \/>\nI_Z &amp;= I_{min} = \\frac{I_y + I_z}{2} &#8211; \\sqrt{ \\left(\u00a0\\frac{I_y &#8211; I_z}{2} \\right)^2 + I_{yz}^2}\u00a0 \\\\<br \/>\nI_{YZ} &amp;= 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr unser\u00a0Beispiel lauten die Haupttr\u00e4gheitsmomente:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nI_Y &amp;=\u00a01682375,5 \\ \\textrm{cm}^4\u00a0\\\\<br \/>\nI_Z &amp;=520005,52 \\ \\textrm{cm}^4 \\\\<br \/>\nI_{YZ} &amp;= 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Formel zur Berechnung des Winkels der Hauptachsen:<\/span><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\tan \\alpha_Y^* = \\frac{I_{yz}}{I_Y &#8211; I_Z} \\quad \\textrm{und} \\quad \\alpha_Z^* = \\alpha_Y^* + \\frac{\\pi}{2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beachte: In der Mechanik ist der positive Drehsinn entgegen dem Uhrzeigersinn.<\/p>\n<p>F\u00fcr dieses Beispiel lauten die Winkel der Hauptachsen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\alpha_Y^* = 23,87^\\circ\u00a0\\quad \\textrm{und} \\quad \\alpha_Z^* =\u00a0113,87^\\circ<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>In dem folgenden Bild sind die Hauptachsen $Y-Z$ eingetragen, die um den Winkel $\\alpha_Y^*$ um das Schwerachsensystem gedreht wurden. Vorteil: Im Hauptachsensystem verschwindet das Deviationsmoment $I_{YZ}$.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_hauptachsen.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2115\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_hauptachsen.png\" alt=\"bil_ftm_hauptachsen\" width=\"363\" height=\"312\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_hauptachsen.png 618w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_hauptachsen-300x258.png 300w\" sizes=\"(max-width: 363px) 100vw, 363px\" \/><\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auch Fl\u00e4chenmoment 2. Ordnung genannt SI-Einheit: m Abh\u00e4ngig vom Querschnitt Gibt Widerstand des K\u00f6rpers gegen Biegung an Praktische Berechnung zusammengesetzter Querschnitte mit dem Tabellenverfahren Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente beziehen sich hier zun\u00e4chst auf die Schwerachsen (kleine Buchstaben im Index \u2013 bei Hauptachsen sind gro\u00dfe Buchstaben) , , Die Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente einer beliebigen Querschnittsfl\u00e4che werden mit Hilfe des Satzes von [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6510,"menu_order":3,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[22],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente berechnen - Technische Mechanik<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente k\u00f6nnen mittels des Tabellenverfahrens bestimmt werden. Dabei ist auf die Hauptachsen &amp; Haupttr\u00e4gheitsmomente zu achten.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente berechnen - Technische Mechanik\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmomente k\u00f6nnen mittels des Tabellenverfahrens bestimmt werden. Dabei ist auf die Hauptachsen &amp; Haupttr\u00e4gheitsmomente zu achten.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2018-06-15T07:15:44+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_ftm_balken.png\",\"width\":1010,\"height\":207},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/\",\"name\":\"Fl\\u00e4chentr\\u00e4gheitsmomente berechnen - Technische Mechanik\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2016-05-19T08:10:12+00:00\",\"dateModified\":\"2018-06-15T07:15:44+00:00\",\"description\":\"Fl\\u00e4chentr\\u00e4gheitsmomente k\\u00f6nnen mittels des Tabellenverfahrens bestimmt werden. Dabei ist auf die Hauptachsen & Haupttr\\u00e4gheitsmomente zu achten.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/flaechentraegheitsmomente-bestimmen\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1767"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1767"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1767\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8438,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1767\/revisions\/8438"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6510"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1767"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1767"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1767"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}