{"id":1777,"date":"2016-05-19T10:12:37","date_gmt":"2016-05-19T08:12:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mechanik\/?page_id=1777"},"modified":"2018-06-15T09:19:05","modified_gmt":"2018-06-15T07:19:05","slug":"mohrscher-spannungskreis","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/mohrscher-spannungskreis\/","title":{"rendered":"Der Mohr’sche Spannungskreis"},"content":{"rendered":"\n

Wenn es um den Mohr’schen Spannungskreis geht, werden in der Regel folgende Aufgabentypen behandelt:<\/p>\n

(i) Ermittlung von Hauptspannungen<\/strong><\/p>\n

(ii) Ermittlung der Spannungen in gedrehten Koordinatensystemen<\/strong><\/p>\n

Gegeben sei der ebene Spannungszustand $\\underline{\\underline{\\sigma}} = \\begin{pmatrix} \\sigma_x & \\tau_{xy} \\\\ \\tau_{yx} & \\sigma_y \\end{pmatrix}$. Zu den typischen Aufgabentypen schauen wir uns folgende L\u00f6sungsschritte an\u00a0(vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015).<\/p>\n

L\u00f6sungsschritte zu (i):<\/strong><\/p>\n

\"bil_mohrsch_kreis\"<\/a><\/p>\n

    \n
  1. Achsen $\\sigma-\\tau$ zeichnen \u2013 $\\tau$ positiv nach unten!<\/li>\n
  2. Eintragen der Punkte: $P_x = ( \\sigma_x; \\ \\tau_{xy} )$ und\u00a0$P_y = ( \\sigma_y; \\ -\\tau_{xy} )$<\/li>\n
  3. \n
    Schnittpunkt der Verbindungslinie $\\overline{P_xP_y}$ mit $\\sigma$-Achse liefert Kreismittelpunkt $M$<\/div>\n<\/li>\n
  4. Kreis um $M$ mit Radius $\\overline{MP_x}$ zeichnen<\/li>\n
  5. Hauptspannungen $\\sigma_1, \\ \\sigma_2$ aus Schnittpunkt mit $\\sigma$-Achse abgreifen<\/li>\n
  6. Doppelten Hauptspannungswinkel ablesen $2\\varphi^*$<\/li>\n<\/ol>\n

    L\u00f6sungsschritte zu (ii):<\/strong><\/p>\n

    \"bil_mohrsche_l\u00f6sung2\"<\/a><\/p>\n

      \n
    1. Verbindungen von $P_2$ mit $P_x$ und $P_y$ legen $x-y$-Achsen fest! Richtungssinn von $x$ beliebig, unter Beachtung eines Rechtssystems folgt der Richtungssinn von $y$.<\/li>\n
    2. Von $x$-Achse ausgehend f\u00fcr gegebenen Winkel $\\varphi$ die $\\xi$-Achse (\\xi = Xi) zeichnen<\/li>\n
    3. Unter Beachtung des Richtungssinnes folgt die $\\eta$-Achse ($\\eta$= Eta)
      $\\rightarrow$ Merke: Aus $x$ wird Xi und aus $y$ wird Eta!<\/li>\n
    4. Schnittpunkte der $\\xi-\\eta$-Achse mit Kreis legen Punkte $P_\\xi$ und $P_\\eta$ fest<\/li>\n
    5. Abgreifen der Spannungen\u00a0$P_\\xi=(\\sigma_\\xi , \\ \\tau_{\\xi\\eta})$ und\u00a0$P_\\eta=(\\sigma_\\eta , \\ -\\tau_{\\xi\\eta})$<\/li>\n<\/ol>\n

      Rechnerische Bestimmung:<\/span><\/p>\n

      (i) Hauptnormalspannungen (kurz: Hauptspannungen)<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \n1. \\ \\sigma_1 &= \\sigma_{max} = \\frac{\\sigma_x + \\sigma_y}{2}\u00a0+ \\sqrt{ \\left(\u00a0\\frac{\\sigma_x – \\sigma_y}{2} \\right)^2 + \\tau_{xy}^2}\u00a0\\\\
      \n2. \\ \\sigma_2 &= \\sigma_{max} = \\frac{\\sigma_x +\u00a0\\sigma_y}{2} – \\sqrt{ \\left(\u00a0\\frac{\\sigma_x –\u00a0\\sigma_y}{2} \\right)^2 + \\tau_{xy}^2}\u00a0\\\\
      \n3. \\ \\tau_{12} &= 0
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      $\\rightarrow$\u00a0In Hauptspannungsrichtung verschwindet Schubspannung!<\/p>\n