{"id":18,"date":"2015-03-25T20:49:17","date_gmt":"2015-03-25T19:49:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=18"},"modified":"2021-01-16T08:21:29","modified_gmt":"2021-01-16T07:21:29","slug":"kurvendiskussion","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kurvendiskussion\/","title":{"rendered":"Kurvendiskussion"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf dieser Seite findest du alles, was du zum Thema Kurvendiksussion wissen musst. Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4ren wir dir anhand von ausf\u00fchrlichen Erkl\u00e4rungen folgende Themen:<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#kurvendiskussion-grundlagen\">Kurvendiskussion Grundlagen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#extrempunkte-kurvendiskussion\">Extrempunkte (Hochpunkte &#038; Tiefpunkte)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#wendepunkte-kurvendiskussion\">Wendepunkte<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#monotonie-kurvendiskussion\">Monotonie<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#kr\u00fcmmung-kurvendiskussion\">Kr\u00fcmmung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#grenzverhalten\">Grenzverhalten (Limes gegen +\/- unendlich)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#symmetrie-kurvendiskussion\">Symmetrie<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#achsenabschnitte-kurvendiskussion\">Achsenabschnitte<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#intervallschreibweise\">Einschub Intervallschreibweise<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#definitionsbereich-kurvendiskussion\">Definitionsbereich<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#wertebereich-kurvendiskussion\">Wertebereich<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"kurvendiskussion-grundlagen\" class=\"anchor\">Kurvendiskussion Grundlagen<\/h2>\n<p><strong>\u00dcbersicht von geometrischen Eigenschaften, die bei einer Kurvendiskussion untersucht werden k\u00f6nnen:<\/strong><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-large wp-image-15160 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Kurvendiskussion-\u00dcbersicht-min-1024x380.png\" alt=\"Kurvendiskussion \u00dcbersicht\" width=\"1024\" height=\"380\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Kurvendiskussion-\u00dcbersicht-min-1024x380.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Kurvendiskussion-\u00dcbersicht-min-300x111.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Kurvendiskussion-\u00dcbersicht-min-768x285.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Kurvendiskussion-\u00dcbersicht-min.png 1516w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p><strong>Zus\u00e4tzlich werden wir folgende Themen untersuchen:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Definitionsbereich<\/li>\n<li>Wertebereich<\/li>\n<li>Symmetrie<\/li>\n<li>Skizze (grob) &#8211; Zeichnung (genau)<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Schau dir vertiefend Daniels Einf\u00fchrungsvideo zum Thema Kurvendiskussion an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Kurvendiskussion &Uuml;bersicht, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_8dAtL1LFduc\"><div id=\"lyte_8dAtL1LFduc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F8dAtL1LFduc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Kurvendiskussion \u00dcbersicht, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/8dAtL1LFduc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F8dAtL1LFduc%2F0.jpg\" alt=\"Kurvendiskussion &Uuml;bersicht, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"extrempunkte-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Extrempunkte (Hochpunkt &#038; Tiefpunkt) berechnen<\/h2>\n<p><strong>Vorgehen:<\/strong><\/p>\n<p><strong>1. Notwendige Bedingung:<\/strong><br \/>\n$f'(x)=0 \\ \\Rightarrow$ wir erhalten potentielle Extremstellen $x_E$!<\/p>\n<p><strong>2. Hinreichende Bedingung:<\/strong><br \/>\n$f'(x_E)=0$ und $f&#8220;(x_E)\\neq 0$<\/p>\n<p>F\u00fcr $f&#8220;(x_E)$ kann folgendes rauskommen:<\/p>\n<ul>\n<li>$f&#8220;(x_E)&lt;0$ Hochpunkt (HP)<\/li>\n<li>$f&#8220;(x_E)=0$ Sattelpunkt (SP), f\u00fcr SP muss zudem $f&#8220;'(x_E)\\neq 0$ sein!<\/li>\n<li>$f&#8220;(x_E)&gt;0$ Tiefpunkt (TP)<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>3. y-Wert der Extremstelle:<\/strong><br \/>\n$x_E$-Wert in $f(x)$ einsetzen $\\Rightarrow$ $E(x_E\/f(x_E))$<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3984 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp11_1-1024x7151.png\" alt=\"Kurvendiskussion Extrempunkte\" width=\"298\" height=\"208\" \/><\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Achtung!<\/strong><\/p>\n<p>Es muss zwischen lokalen und globalen (oder absoluten) Extremstellen unterschieden werden!\u00a0Stichwort: <strong>Randwerte<\/strong>!<\/p>\n<p>Randwerte in $f(x)$ einsetzen und Ergebnis mit y-Wert vom Extrempunkt vergleichen!\u00a0In dem obigen Bild sieht man, dass der h\u00f6chste Punkt bei $x=30$ liegt und nicht beim errechneten Hochpunkt!<\/p>\n<p>Merkt euch: Bei vorgegeben Intervall immer die Randwerte mit \u00fcberpr\u00fcfen!<br \/>\n<\/div>\n\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zu Extrempunkten<\/h3>\n<p>Untersuche die Funktion $f(x)=\\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x$ mit $D = \\mathbb{R}$ auf Extremstellen.<\/p>\n<p><strong>Schritt 1<\/strong> Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen:<br \/>\n$f'(x)=2x^2+6x+4=0$ liefert die m\u00f6glichen Extremstellen $x_1=-2$ und $x_2=-1$.<\/p>\n<p><strong>Schritt 2<\/strong> Zweite Ableitung bilden und Extremstellen einsetzen: $f&#8220;(x)=4x+6$.<\/p>\n<p>$<br \/>\n\\begin{array}{lcrclll}<br \/>\nf&#8220;(-2) &amp; = &amp;-2 &amp; &lt; 0 &amp; \\Rightarrow &amp; Hochpunkt an der Stelle &amp; x=-2 \\\\<br \/>\nf&#8220;(-1) &amp; = &amp;2 &amp; &gt;0 &amp; \\Rightarrow &amp; Tiefpunkt an der Stelle &amp; x=-1<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/p>\n<p><strong>Schritt 3<\/strong> $y$-Wert des Hoch- und Tiefpunktes berechnen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny=f(-2)=-\\frac{4}{3} \\quad \\textrm{und} \\quad y=f(-1)=-\\frac{5}{3}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Funktion f(x) besitzt einen Hochpunkt bei (-2|-4\/3) und einen Tiefpunkt bei (-1|-5\/3).<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir zum Thema Extremwerte beide Videos von Daniel an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Extremstellen\/Extrempunkte Teil 1, 1.Ableitung=0 und f&acute;&acute;(x) ungleich 0 | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_EU8SQRA7Qjo\"><div id=\"lyte_EU8SQRA7Qjo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEU8SQRA7Qjo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Extremstellen\/Extrempunkte Teil 1, 1.Ableitung=0 und f\u00b4\u00b4(x) ungleich 0 | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/EU8SQRA7Qjo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEU8SQRA7Qjo%2F0.jpg\" alt=\"Extremstellen\/Extrempunkte Teil 1, 1.Ableitung=0 und f&acute;&acute;(x) ungleich 0 | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Extremstellen\/Extrempunkte Teil 2, mit Monotonietabelle | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_kv9Q_B78Wow\"><div id=\"lyte_kv9Q_B78Wow\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fkv9Q_B78Wow%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Extremstellen\/Extrempunkte Teil 2, mit Monotonietabelle | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/kv9Q_B78Wow\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fkv9Q_B78Wow%2F0.jpg\" alt=\"Extremstellen\/Extrempunkte Teil 2, mit Monotonietabelle | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"wendepunkte-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Wendepunkte<\/h2>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong>:<\/p>\n<p><strong>1. Notwendige Bedingung: <\/strong>:<\/p>\n<p>$f&#8220;(x)=0 \\ \\Rightarrow$ wir erhalten potentielle Wendestellen $x_W$!<\/p>\n<p><strong>2. Hinreichende Bedingung: <\/strong>:<\/p>\n<p>$f&#8220;(x_W)=0$ und $f&#8220;'(x_W)\\neq 0$<\/p>\n<p>F\u00fcr $f&#8220;'(x_W)$ kann folgendes rauskommen:<\/p>\n<ul>\n<li>$f&#8220;'(x_W)&lt;0$ Links-rechts-Wendestelle<\/li>\n<li>$f&#8220;'(x_W)&gt;0$ Rechts-links-Wendestelle<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>3. y-Wert der Wendestelle:<\/strong><\/p>\n<p>$x_W$-Wert in f(x) einsetzen $\\Rightarrow$ $W(x_W\/f(x_W))$<\/p>\n<p>Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Kr\u00fcmmungsverhalten \u00e4ndert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Hinweise, wann man den Wendepunkt berechnen soll sind, wenn:<\/p>\n<ul>\n<li>nach der st\u00e4rksten Zunahme vom Graph<\/li>\n<li>nach der st\u00e4rksten Abnahme vom Graph<\/li>\n<\/ul>\n<p>gefragt ist.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3985 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wendepunkte-867x10241.png\" alt=\"Kurvendiskussion Wendepunkte\" width=\"304\" height=\"359\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wendepunkte-867x10241.png 304w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wendepunkte-867x10241-254x300.png 254w\" sizes=\"(max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p>Schaut euch unbedingt den Abschnitt &#8222;Was ist in der Funktion gegeben?&#8220; an.<\/p>\n<p>Wenn $f(x)$ schon die Geschwindigkeit angibt und es wird nach der st\u00e4rksten Zunahmegeschwindigkeit gefragt, dann ben\u00f6tigt man den Hochpunkt!<\/p>\n<p>Auch hier wieder der Hinweis mit den Randwerten! Hier sollten bei einem vorgegeben Intervall in die 1. Ableitung Randwerte und $x$-Wert von WP eingesetzt werden. Das, was jeweils raus kommt (die \u00c4nderung\/Zunahme bei positivem Wert oder Abnahme bei negativem Wert) mit errechneten Wendestellen vergleichen.<\/p>\n\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zu Wendepunkten<\/h3>\n<p>Untersuche die Funktion $f(x)=\\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x$ mit $D = \\mathbb{R}$ auf Wendestellen.<\/p>\n<p><strong>Schritt 1:<\/strong>\u00a0Zweite Ableitung bilden und gleich Null setzen: f&#8220;(x)=4x+6=0 liefert die m\u00f6gliche Wendestelle x=-1,5.<\/p>\n<p><strong>Schritt 2:<\/strong>\u00a0Dritte Ableitung bilden und Wendestellen einsetzen: $f&#8220;'(x)=4\\neq 0$. Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir hier fertig, denn die dritte Ableitung ist immer ungleich Null! Es liegt ein Rechts-links Wendepunkt vor.<\/p>\n<p><strong>Schritt 3:<\/strong>\u00a0y-Wert des Wendepunktes berechnen: y=f(-1,5)=-1,5.<br \/>\nDie Funktion f(x) besitzt einen Wendepunkt bei (-1,5|-1,5).<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir die beiden Lernvideos von Daniel zum Thema Wendestellen an und vertiefe dein Wissen!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 1, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_nUlhKWC63sg\"><div id=\"lyte_nUlhKWC63sg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FnUlhKWC63sg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 1, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/nUlhKWC63sg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FnUlhKWC63sg%2F0.jpg\" alt=\"Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 1, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 2, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_A4SdEYCU0oY\"><div id=\"lyte_A4SdEYCU0oY\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FA4SdEYCU0oY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 2, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/A4SdEYCU0oY\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FA4SdEYCU0oY%2F0.jpg\" alt=\"Wendestellen\/Wendepunkte bestimmen Teil 2, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"monotonie-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Monotonie<\/h2>\n<p>Zur Beurteilung des Monotonieverhaltens (Steigungsverhaltens) einer Funktion f(x) kann die Ableitung f'(x) betrachtet werden.\u00a0Bekanntlich liefert die erste Ableitung einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f\u2019(x), welche die an jeder Stelle x beschreibt, ob der Graph gerade steigt ($\\nearrow$) oder f\u00e4llt ($\\searrow$). Damit l\u00e4sst sich der Monotoniesatz wie folgt formulieren:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-7497 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/monotonie-steigend-abfallend.jpg\" alt=\"\" width=\"507\" height=\"145\" \/><\/p>\n<p>Streng monoton bedeutet hierbei, dass die Steigungsfunktion f'(x) an keiner Stelle x den Wert 0 annimmt!<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3986 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp16_1-300x2411.png\" alt=\"Kurvendiskussion Monotonieverhalten\" width=\"210\" height=\"169\" \/><\/p>\n<p>Streng monoton steigend &#8211; Ableitung \u00fcberall echt gr\u00f6\u00dfer Null.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3987 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp16_2-300x2411.png\" alt=\"Kurvendiskussion Monotonieverhalten 2\" width=\"208\" height=\"167\" \/><\/p>\n<p>Monoton steigend &#8211; Ableitung \u00fcberall gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null.<\/p>\n<p>Das Ganze soll euch anhand des folgenden Beispiels klar werden.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel 1<\/h3>\n<p>Die Funktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=\\frac{1}{9}x^3 &#8211; \\frac{1}{3}x^2 &#8211; \\frac{8}{3} x + \\frac{26}{9}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>soll mit Hilfe der ersten Ableitung auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden.<\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\"> Das allgemeine Vorgehen l\u00e4sst sich so ungef\u00e4hr beschreiben:<\/span><\/p>\n<ol>\n<li>Ableitung $f'(x)$ bilden.<\/li>\n<li>$f'(x)=0$ setzen und <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Nullstellen<\/a> der Ableitungsfunktion bestimmen &#8211; hier: x=-2 und x=4.<\/li>\n<li>\u00fcberpr\u00fcfung, ob Werte der Ableitungsfunktion gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als 0 sind &#8211; indem wir Werte, die links und rechts von den Nullstellen liegen, in die Ableitungsfunktion einsetzen. So kann ein eventueller Vorzeichenwechsel &#8211; der auf eine \u00e4nderung der Steigung hinweist &#8211; schnellstens entdeckt werden. Hier zum Beispiel so: $f'(x=-3); \\ f'(x=0);\\ f'(x=5)$. Man kann aber auch andere Werte einsetzen &#8211; aber nicht die Nullstellen!<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p><strong>Das Monotonieverhalten Lernvideo von Daniel hilft dir nochmals das Thema zu verstehen!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Monotonie, Monotonieverhalten einer Funktion, Steigung untersuchen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_DUduGskMh3Q\"><div id=\"lyte_DUduGskMh3Q\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FDUduGskMh3Q%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Monotonie, Monotonieverhalten einer Funktion, Steigung untersuchen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/DUduGskMh3Q\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FDUduGskMh3Q%2F0.jpg\" alt=\"Monotonie, Monotonieverhalten einer Funktion, Steigung untersuchen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"kr\u00fcmmung-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Kr\u00fcmmung<\/h2>\n<p>Zur Beurteilung der Kr\u00fcmmung verwendet man h\u00e4ufig die zweite Ableitung. Es gilt<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;f&#8220;(x) &gt; 0 \\quad \\Rightarrow \\quad f(x) \\ \\textrm{ist links gekr\u00fcmmt bzw. konvex} \\ \\cup \\\\<br \/>\n&amp;f&#8220;(x) &lt; 0 \\quad \\Rightarrow \\quad f(x) \\ \\textrm{ist rechts gekr\u00fcmmt bzw. konkav} \\ \\cap \\end{align*}<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3988 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kruemmung1.png\" alt=\"Kurvendiskussion Kr\u00fcmmung\" width=\"342\" height=\"135\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kruemmung1.png 342w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kruemmung1-300x118.png 300w\" sizes=\"(max-width: 342px) 100vw, 342px\" \/><br \/>\nDas ganze soll euch anhand des folgenden <strong>Beispiels<\/strong>\u00a0klar werden. Die Funktion \\begin{align*} f(x)=x^2, \\quad x \\in \\mathbb{R} \\end{align*} soll mit Hilfe der zweiten Ableitung auf ihr Kr\u00fcmmungsverhalten untersucht werden. Wir bilden zun\u00e4chst die zweite Ableitung \\begin{align*} f'(x)=2x \\quad \\Rightarrow \\quad f&#8220;(x)=2&gt;0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und sehen, dass die zweite Ableitung stets gr\u00f6\u00dfer als 0 und damit linksgekr\u00fcmmt bzw. konvex ist.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch das Kr\u00fcmmungsverhalten einer Funktion nochmals per Video!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Kr&uuml;mmungsverhalten einer Funktion, Wendepunkte, &Auml;nderung der Steigung | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_FEo5Bu0JQmU\"><div id=\"lyte_FEo5Bu0JQmU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FFEo5Bu0JQmU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Kr\u00fcmmungsverhalten einer Funktion, Wendepunkte, \u00c4nderung der Steigung | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/FEo5Bu0JQmU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FFEo5Bu0JQmU%2F0.jpg\" alt=\"Kr&uuml;mmungsverhalten einer Funktion, Wendepunkte, &Auml;nderung der Steigung | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Wer mehr \u00fcber die Konvexit\u00e4t einer Funktion erfahren m\u00f6chte findet das in diesem Lernvideo von Daniel.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Konvex, Konkav, Kr&uuml;mmung bei Funktionen, &Uuml;bersicht und Berechnung | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_3-ZXfjsJnTo\"><div id=\"lyte_3-ZXfjsJnTo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F3-ZXfjsJnTo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Konvex, Konkav, Kr\u00fcmmung bei Funktionen, \u00dcbersicht und Berechnung | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/3-ZXfjsJnTo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F3-ZXfjsJnTo%2F0.jpg\" alt=\"Konvex, Konkav, Kr&uuml;mmung bei Funktionen, &Uuml;bersicht und Berechnung | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"grenzverhalten\" class=\"anchor\">Grenzverhalten (limes)<\/h2>\n<ul>\n<li>$\\lim\\limits_{x \\to -\\infty}$ &#8222;ich schaue links&#8220; &#8211; hohe negative Zahl f\u00fcr $x$ einsetzen = &#8222;Wo kommt der Graph her?&#8220;<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}$ &#8222;ich schaue rechts&#8220; &#8211; hohe positive Zahl f\u00fcr $x$ einsetzen = &#8222;Wo geht der Graph hin?&#8220;<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Verhalten f\u00fcr $x \\to \\pm \\infty$<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Schauen wir uns einmal folgende Funktion an: $f(x)= a_n \\cdot x^n$. Zur Beurteilung des Verhaltens betrachtet man immer die <strong>h\u00f6chste Potenz <\/strong>$n$ von $x$ und ihren Koeffizienten $a_n$:\n<ul>\n<li>Wenn $n$ gerade und $a_n&gt;0$ ist, so strebt $f(x) \\to + \\infty$ f\u00fcr $x \\to \\pm \\infty$.<\/li>\n<li>Wenn $n$ gerade und $a_n&lt;0$ ist, so strebt $f(x) \\to &#8211; \\infty$ f\u00fcr $x \\to \\pm \\infty$.<\/li>\n<li>Wenn $n$ ungerade und $a_n&gt;0$ ist, so strebt $f(x) \\to + \\infty$ f\u00fcr $x \\to + \\infty$ und $f(x) \\to &#8211; \\infty$ f\u00fcr $x \\to &#8211; \\infty$.<\/li>\n<li>Wenn $n$ ungerade und $a_n&lt;0$ ist, so strebt $f(x) \\to &#8211; \\infty$ f\u00fcr $x \\to + \\infty$ und $f(x) \\to + \\infty$ f\u00fcr $x \\to &#8211; \\infty$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong> Lass dir das Thema Grenzverhalten nochmals von Daniel erkl\u00e4ren!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Grenzverhalten, Globalverhalten bei Funktionen f&uuml;r x gegen Unendlich | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_ttUWTu3jusA\"><div id=\"lyte_ttUWTu3jusA\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FttUWTu3jusA%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Grenzverhalten, Globalverhalten bei Funktionen f\u00fcr x gegen Unendlich | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ttUWTu3jusA\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FttUWTu3jusA%2F0.jpg\" alt=\"Grenzverhalten, Globalverhalten bei Funktionen f&uuml;r x gegen Unendlich | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"symmetrie-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Symmetrie<\/h2>\n<p><strong>Symmetrieeigenschaften bei ganzrationalen Funktionen:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Kommen in der Funktion nur <em>gerade Exponenten<\/em> vor, wie z.B. bei\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=x^4-2x^2-4<br \/>\n\\end{align*}dann ist die Funktion <em>achsensymmetrisch<\/em> zur y-Achse! Wir k\u00f6nnen die Achsensymmetrie zur y-Achse auch rechnerisch zeigen. Es gilt\\begin{align*}<br \/>\nf(-x)&amp;=f(x) \\\\<br \/>\n(-x)^{4}-2 \\cdot(-x)^{2}-4 &amp;= x^{4}-2 x^{2}-4 \\\\<br \/>\nx^{4}-2 x^{2}-4 &amp;= x^{4}-2 x^{2}-4 \\quad<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Kommen in der Funktion nur <em>ungerade Exponenten<\/em> vor, wie z.B. bei\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=2x^3-4x<br \/>\n\\end{align*}dann ist die Funktion <em>punktsymmetrisch<\/em> zum Ursprung. Wir k\u00f6nnen die Punktsymmetrie zum Ursprung auch rechnerisch zeigen. Es gilt\\begin{align*}<br \/>\nf(-x)&amp;=-f(x) \\\\<br \/>\n2\\cdot (-x)^3-4 \\cdot (-x) &amp;=-(2x^3-4x) \\\\<br \/>\n-2x^3+4x &amp;= -2x^3+4x \\quad<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Eine Funktion f(x) ist zu einer zweiten Funktion g(x) achsensymmetrisch bzgl. der x-Achse, wenn gilt: f(x)=-g(x)<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3982 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_symmetrie1-1024x5571.png\" alt=\"Symmetrie einer Funktion\" width=\"462\" height=\"251\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_symmetrie1-1024x5571.png 462w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_symmetrie1-1024x5571-300x163.png 300w\" sizes=\"(max-width: 462px) 100vw, 462px\" \/><\/p>\n\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir in seinem Lernvideo nochmal alles zur Symmetrie bei Funktionen<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_78ZvTp4lVQs\"><div id=\"lyte_78ZvTp4lVQs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F78ZvTp4lVQs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/78ZvTp4lVQs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F78ZvTp4lVQs%2F0.jpg\" alt=\"Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"achsenabschnitte-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Achsenabschnitte<\/h2>\n<p>Hier werden die Achsenabschnitte<\/p>\n<ul>\n<li>mit der y-Achse untersucht:<br \/>\nGegeben sei eine Funktion $f(x)=2x^2-4x-16$. F\u00fcr den y-Achsenabschnitt setzen wir x=0 in die Funktion ein<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=2x^2-4x-16 \\\\<br \/>\nf(0)&amp;= 2\\cdot 0^2-4\\cdot 0 -16 \\\\<br \/>\nf(0)&amp;=-16<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und wir erhalten mit $S_y(0\/-16)$ den Schnittpunkt von Funktion und y-Achse.<\/p>\n<div class=\"box info\">\nHinweis: Passt auf bei Funktionen, bei denen 0 nicht im Definitionsbereich ist, denn dort d\u00fcrfen wir 0 nicht einsetzen, z.B. $f(x)=1\/x$ oder $f(x)=\\ln(x)$.<br \/>\n<\/div>\n<ul>\n<li>mit der $x$-Achse untersucht:Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch <em>Nullstelle<\/em> genannt.<br \/>\nHierf\u00fcr setzen wir unsere gegebene Funktion f(x)=0.<br \/>\nMit der Funktion von oben folgt f\u00fcr die<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Nullstellen:<\/a>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=0 \\\\<br \/>\n2x^2-4x-16 &amp;=0 \\quad |:2 \\ \\textrm{PQ-Formel} \\\\<br \/>\nx_1=-2 \\ &amp;\\wedge \\ x_2=4.<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir nochmal das Thema Achenschnittpunkte in seinem Lernvideo<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Achsenschnittpunkte\/Achsenabschnitte bei Funktionen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_rlaT6dtiLt4\"><div id=\"lyte_rlaT6dtiLt4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FrlaT6dtiLt4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Achsenschnittpunkte\/Achsenabschnitte bei Funktionen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/rlaT6dtiLt4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FrlaT6dtiLt4%2F0.jpg\" alt=\"Achsenschnittpunkte\/Achsenabschnitte bei Funktionen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"intervallschreibweise\" class=\"anchor\">Einschub Intervallschreibweise<\/h2>\n<p>\\begin{array}{l|l|c}<br \/>\nSchreibweise &amp; Mengenschreibweise &amp; Typ \\\\ \\hline<br \/>\n[a,b] &amp; \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid a \\leq x \\leq b \\} &amp; geschlossen \\\\<br \/>\n[a,b) &amp; \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid a \\leq x &lt; b \\} &amp; halb-offen \\\\<br \/>\n(a,b] &amp; \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid a &lt; x \\leq b \\} &amp; halb-offen \\\\<br \/>\n(a,b) &amp; \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid a &lt;x &lt;b \\} &amp; offen<br \/>\n\\end{array}<\/p>\n<p>Die Intervallschreibweise ist eine abk\u00fcrzende Schreibweise und wird oft beim Definitions- und Wertebereich verwendet. Das Intervall gibt an, in welchem Bereich sich unser x befindet. Zum Beispiel k\u00f6nnen wir $2\\leq x &lt; 4$ abk\u00fcrzend als [2;4) schreiben.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir alles rund um die Intervallschreibweise.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Intervalle, Schreibweisen, Mengen, Bereiche, Klammern | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_EwYOn3rWUi0\"><div id=\"lyte_EwYOn3rWUi0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEwYOn3rWUi0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Intervalle, Schreibweisen, Mengen, Bereiche, Klammern | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/EwYOn3rWUi0\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEwYOn3rWUi0%2F0.jpg\" alt=\"Intervalle, Schreibweisen, Mengen, Bereiche, Klammern | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"definitionsbereich-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Definitionsbereich<\/h2>\n<p>Die Bestimmung des Definitionsbereichs ist sehr wichtig. Auch wenn oft in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert,<br \/>\nsollte man sich bevor man irgendetwas rechnet immer vergewissern, welche x-Werte man in die Funktion f(x) \u00fcberhaupt einsetzen darf.<br \/>\nWenn der Definitionsbereich schon vorgegeben ist, m\u00fcsst ihr diesen verwenden.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p>Die 3 Warnschilder bei der Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches:<\/p>\n<ol>\n<li>$\\frac{1}{\\textrm{etwas}}$ verlangt etwas $\\neq 0$<\/li>\n<li>$\\sqrt{\\textrm{etwas}}$ verlangt etwas $\\geq 0$<\/li>\n<li>$\\ln(\\textrm{etwas})$ verlangt etwas $&gt;0$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p>Beachte: Der Definitionsbereich D kann sich beim <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ableiten\/\">Ableiten<\/a> ver\u00e4ndern!<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zum Definitionsbereich<\/h3>\n<p>Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion $f(x)= \\frac{\\sqrt{x^2}}{\\ln(2-x)}$.<\/p>\n<p>Zuf\u00e4lligerweise kommen in der Funktion <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ln-funktion\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Logarithmus<\/a>, <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Bruch<\/a> und <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wurzeln-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Wurzel<\/a> vor! Alarmglocken gehen an. Alle drei Bedingungen von oben werden gepr\u00fcft.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\quad \\frac{1}{\\textrm{etwas}} \\quad \\textrm{verlangt} \\quad \\textrm{etwas} \\neq 0 \\ \\Rightarrow \\ln(2-x) &amp;\\neq 0 \\quad |e^{\\wedge} \\\\<br \/>\n2-x&amp;\\neq e^0 \\\\ 2-x &amp;\\neq 1 \\quad |+x \\ -1 \\\\<br \/>\nx &amp;\\neq 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir wissen jetzt schon mal, dass unser x nicht 1 sein darf. Weiter geht es mit Pr\u00fcfung der Wurzel! Der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) darf nie kleiner als Null sein.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\quad \\sqrt{\\textrm{etwas}} \\quad \\textrm{verlangt} \\quad \\textrm{etwas} \\geq 0 \\ \\Rightarrow \\ x^2 &amp;\\geq 0 \\\\ \\Leftrightarrow \\quad -\\infty &lt; x &amp;&lt; \\infty \\end{align*}<\/p>\n<p>Egal was wir f\u00fcr $x$ einsetzen, durch das $x^2$ kommt immer eine Zahl raus, die gr\u00f6\u00dfer oder gleich 0 ist. Wir d\u00fcrfen also f\u00fcr $x$ alle Zahlen von &#8211; bis + Unendlich einsetzen. Abschlie\u00dfend folgt die Pr\u00fcfung des Logarithmus.<\/p>\n<p>\\begin{align*} 3. \\quad \\ln(\\textrm{etwas}) \\quad \\textrm{verlangt} \\quad \\textrm{etwas} &gt; 0 \\ \\Rightarrow 2-x &amp;&gt; 0 \\quad |+x \\\\<br \/>\n2 &gt; x \\ \\Leftrightarrow \\ x&amp;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr den Definitionsbereich von $f(x)$ m\u00fcssen alle Bedingungen, die gepr\u00fcft wurden, erf\u00fcllt sein. Welche $x$-Werte erf\u00fcllen alle 3 Bedingungen? Am Einfachsten kann man sich das am Zahlenstrahl klar machen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3983 \" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_definitionsbereich1.png\" alt=\"Definitionsbereich einer Funktion\" width=\"355\" height=\"131\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_definitionsbereich1.png 431w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_definitionsbereich1-300x111.png 300w\" sizes=\"(max-width: 355px) 100vw, 355px\" \/><\/p>\n<p>Der maximale Definitionsbereich f\u00fcr die Funktion f(x) lautet demnach<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nD_f = \\underbrace{(-\\infty,1) \\cup (1,2)}_{\\textrm{Intervallschreibweise}} = \\left\\{x \\in \\mathbb{R} | x&lt;1 \\vee 1&lt;x&lt;2 \\right\\}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir vertiefend zum Thema Definitionsbereich nochmal Daniels Lernvideo an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Definitionsbereich, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_vae0zt2onTQ\"><div id=\"lyte_vae0zt2onTQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fvae0zt2onTQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Definitionsbereich, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/vae0zt2onTQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fvae0zt2onTQ%2F0.jpg\" alt=\"Definitionsbereich, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"wertebereich-kurvendiskussion\" class=\"anchor\">Wertebereich<\/h2>\n<p>Der Wertebereich W ist die Menge von y-Werten, die du erh\u00e4ltst, wenn du jedes m\u00f6gliche x in die Funktion $f(x)$ einsetzt. Anders gesagt: Alles, was f\u00fcr y rauskommen kann! Betrachten wir den Wertebereich des folgenden Graphen:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1170 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp39-300x202.png\" alt=\"Wertebereich Kurvendiskussion\" width=\"300\" height=\"202\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp39-300x202.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp39.png 602w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nW = [-8;\\infty)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Hierbei ist -8 der niedrigste y-Wert, der erreicht wird. Nach oben gibt es jedoch keine Begrenzung; es kann jeder positive y-Wert angenommen werden. Nach dem Wertebereich wird selten bis nie gefragt. Wichtig ist bei Anwendungsaufgaben den Blick f\u00fcr &#8222;H\u00f6hen&#8220;\/&#8220;Tiefen&#8220; zu haben!<\/p>\n<p><strong> Schau dir zu dem Thema Werebereich das passende Video von Daniel an&#8220;<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Wertebereich, Funktionen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_bXVHCN4iANk\"><div id=\"lyte_bXVHCN4iANk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbXVHCN4iANk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Wertebereich, Funktionen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/bXVHCN4iANk\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbXVHCN4iANk%2F0.jpg\" alt=\"Wertebereich, Funktionen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite findest du alles, was du zum Thema Kurvendiksussion wissen musst. Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4ren wir dir anhand von ausf\u00fchrlichen Erkl\u00e4rungen folgende Themen: Inhaltsverzeichnis Kurvendiskussion Grundlagen Extrempunkte (Hochpunkte &#038; Tiefpunkte) Wendepunkte Monotonie Kr\u00fcmmung Grenzverhalten (Limes gegen +\/- unendlich) Symmetrie Achsenabschnitte Einschub Intervallschreibweise Definitionsbereich Wertebereich Kurvendiskussion Grundlagen \u00dcbersicht von geometrischen Eigenschaften, die bei einer [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":6,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Kurvendiskussion einfach &amp; vollst\u00e4ndig erkl\u00e4rt \u2022 StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Kurvendiskussion - Ob Extremstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte oder Nullstellen - Mit diesem Artikel verstehst du endlich alles!\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kurvendiskussion\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Kurvendiskussion einfach &amp; 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