{"id":1816,"date":"2016-05-31T09:15:26","date_gmt":"2016-05-31T07:15:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=1816"},"modified":"2020-01-31T14:05:21","modified_gmt":"2020-01-31T13:05:21","slug":"wachstumsprozesse","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wachstumsprozesse\/","title":{"rendered":"Wachstumsprozesse"},"content":{"rendered":"\n<p>Berechnungen zu Wachstum bzw. Wachstumsprozesse besch\u00e4ftigen sich mit der Entwicklung von einem Bestand. Eine wichtige Idee dabei ist, dass die \u00c4nderung des Bestands (also Zunahme und Abnahme) die Ableitung des Bestands ist.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#linearewachstumsprozesse\">Lineare Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#exponentiellewachstumsprozesse\">Exponentielle Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#e-funktion\">e-Funktion und Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#unbegrenztewachstumsprozesse\">Unbegrenzte Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beschraenktewachstumsprozesse\">Beschr\u00e4nkte Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#logistischewachstumsprozesse\">Logistische Wachstumsprozesse<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gr\u00f6\u00dfererwachstum\">Gr\u00f6\u00dferer Wachstums-\/Zerfallszeitraum<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"linearewachstumsprozesse\">Lineare Wachstumsprozesse<\/h2>\n<p>Das lineare Wachstum ist sehr, sehr einfach. Es handelt sich hierbei um einen Bestand mit einer gleichm\u00e4\u00dfigen Entwicklung! Es kommt also in jeder Zeitspanne immer die gleiche Menge dazu (oder geht weg). Lineare Wachstumsprozesse werden durch Geraden beschrieben, der Ansatz lautet also:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny=m\\cdot x+b \\quad \\textrm{oder auch} \\quad B(t)=m\\cdot t+b<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>In einen T\u00fcmpel, der anfangs 200 m$^3$ dreckiges, stinkendes Wasser enth\u00e4lt, flie\u00dfen t\u00e4glich 4 m$^3$ sauberes, kristallklares Wasser dazu.<\/p>\n<p><strong>1. Wieviel Wasser enth\u00e4lt der See nach 50 Tagen?<\/strong><\/p>\n<p>Lineares Wachstum wird einfach durch unsere bekannte Geradengleichung beschrieben. Da Wachstumsprozesse meist von der Zeit $t$ (Englisch f\u00fcr &#8222;time&#8220;) abh\u00e4ngen, sehr ihr oft auch $B(t)=m\\cdot t+b$. Hier h\u00e4ngt der Bestand $B$ von der Zeit $t$ ab. $b$ bezeichnet hierbei den Bestand zum Zeitpunkt 0, $m$ die Zunahme pro Zeiteinheit $t$. Unser Beispiel k\u00f6nnen wir also wie folgt beschreiben:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB(t)=4\\cdot t+ 200 \\quad [\\textrm{m}^3]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Um herauszufinden, wieviel Wasser nach 50 Tagen enthalten ist, setzen wir $t=50$ in die obige Gleichung ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB(50)=4\\cdot 50+ 200 =400 \\ \\textrm{m}^3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Antwort: Nach 50 Tagen sind 400 m$^3$ in dem T\u00fcmpel.<\/p>\n<p><strong>2.\u00a0Wann enth\u00e4lt der See 1000 m$^3$ Wasser?<\/strong><\/p>\n<p>L\u00f6sungsweg 1 &#8211; \u00dcberlegen: Zu Beginn waren schon 200 m$^3$ im T\u00fcmpel, also sind $1000-200=800$ m$^3$ hinzugekommen. Da 4 m$^3$ t\u00e4glich hinzuflie\u00dfen, brauche ich 800\/4=200 Tage, damit 1000 m$^3$ im T\u00fcmpel sind.<\/p>\n<p>L\u00f6sungsweg 2 &#8211; Gleichung verwenden: Der Bestand $B$ soll 1000 m$^3$ sein. Also setzen wir die 1000 in die Geradengleichung ein und stellen nach der Unbekannten $t$ um. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB(t)&amp;=4\\cdot t+ 200 \\\\<br \/>\n1000&amp;=4\\cdot t+ 200 \\quad \\Rightarrow \\quad t=200 \\quad [\\textrm{Tage}]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>3. Wann ist nur noch 1% des Wassers dreckig?<\/strong><\/p>\n<p>An dieser Stelle denken wir einmal nach und schauen uns den Aufgabentext an. Es flie\u00dft nur sauberes Wasser hinzu. Das einzig dreckige Wasser in dem T\u00fcmpel ist der Anfangsbestand. Demnach sind die gesuchten $1\\%$ die anf\u00e4nglichen $200$ m$^3$. Mit Hilfe des Dreisatz k\u00f6nnen wir herausfinden, dass $100\\%$ also $20000$ m$^3$ sein m\u00fcssen.<\/p>\n<p>Jetzt stellt sich die Frage, wann $20000$ m$^3$ im T\u00fcmpel sind. Das k\u00f6nnen wir genau so wie Aufgabenteil 2. l\u00f6sen. Wir verwenden hier den zweiten L\u00f6sungsweg und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nB(t)&amp;=4\\cdot t+ 200 \\\\<br \/>\n20000&amp;=4\\cdot t+ 200 \\quad \\Rightarrow \\quad t=4950 \\quad [\\textrm{Tage}]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>\u00a0Schau dir vertiefend das Lernvideo zum Thema Lineare Wachstumsprozesse an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lineares Wachstum alleine als Grundlage, danach exponentielles Wachstum, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_X_qMRWUhqkQ\"><div id=\"lyte_X_qMRWUhqkQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX_qMRWUhqkQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lineares Wachstum alleine als Grundlage, danach exponentielles Wachstum, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/X_qMRWUhqkQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX_qMRWUhqkQ%2F0.jpg\" alt=\"Lineares Wachstum alleine als Grundlage, danach exponentielles Wachstum, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"exponentiellewachstumsprozesse\" class=\"anchor\">Exponentielle Wachstumsprozesse<\/h2>\n<p>Im vorherigen Kapitel haben wir gelernt, was es mit dem linearen Wachstum auf sich hat. Wir haben bewusst auf die Darstellung des linearen Zerfalls verzichtet, weil die Abl\u00e4ufe identisch sind. Der einzige Unterschied ist, dass etwas immer gleich viel abnimmt anstatt zunimmt.<\/p>\n<p>Exponentielle Wachstumsprozesse sind Prozesse, in welchen die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu).<\/p>\n<p>Exponentielle Wachstumsprozesse werden durch die Funktionsgleichung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{Endwert} \\ &amp;= \\ \\textrm{Startwert} \\cdot \\textrm{Basis}^x \\\\<br \/>\nf(x) &amp;= s \\cdot b^x \\\\<br \/>\nf(t) &amp;=a \\cdot q^{t}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;q &gt; 1 \\ \\textrm{als Wachstumsfaktor} \\\\<br \/>\n\\textrm{und} \\ &amp;q &lt; 1 \\ \\textrm{als Zerfallsfaktor}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>beschrieben.<\/p>\n<p>Was bedeutet das jetzt? Hier ein paar Beispiele:<\/p>\n<ul>\n<li>200 Fliegen verdoppeln t\u00e4glich ihre Anzahl: $f(t) =200 \\cdot 2^{t}$<\/li>\n<li>200 Fliegen halbieren t\u00e4gliche ihre Anzahl: $f(t) =200 \\cdot 0,5^{t}$<\/li>\n<li>200 Fliegen vermehren sich t\u00e4glich um 7 $\\%$. Allgemein: $f(t) =a \\cdot \\left(1+\\frac{p}{100} \\right) ^{t}$<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t) =200 \\cdot \\left(1+\\frac{7}{100} \\right)^t = 200 \\cdot 1,07^t<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>200 Fliegen werden t\u00e4glich 5 $\\%$ weniger. Allgemein: $f(t) =a \\cdot \\left(1-\\frac{p}{100} \\right) ^{t}$<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t) =200 \\cdot \\left(1-\\frac{5}{100} \\right)^t = 200 \\cdot 0,95^t<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die nachfolgende Abbildung soll euch als \u00dcbersicht zum Thema Wachstumsprozesse dienen. Hier sind lineare und exponentielle Prozesse gegen\u00fcbergestellt, so dass die Unterschiede deutlich werden k\u00f6nnen.<\/p>\n\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1826\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/wachstum.png\" alt=\"Wachstumsprozesse\" width=\"745\" height=\"605\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/wachstum.png 745w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/wachstum-300x244.png 300w\" sizes=\"(max-width: 745px) 100vw, 745px\" \/><\/p>\n<p>Typisch f\u00fcr exponentielle Wachstumsprozesse ist die <em>Verdopplungszeit<\/em> bzw. <em>Generationszeit<\/em>, wo gefragt wird, wann der doppelte Startwert (oder Anfangsbestand) erreicht wird\u00a0und die <em>Halbwertszeit<\/em> (bei exponentieller Abnahme), wo gefragt wird, wann der halbe Startwert (oder Anfangsbestand) erreicht wird. Da bei der Verdopplungszeit immer nach dem doppelten Startwert ($2\\cdot S$) mit $S$ als Startwert gefragt wird, steht auf der linken Seite der Gleichung immer eine 2 bzw. eine 0,5 bei der Halbwertszeit.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele:<\/h3>\n<p><strong>Generationszeit:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t)&amp;=200 \\cdot 1,05^t \\\\<br \/>\n400&amp;=200 \\cdot 1,05^t \\quad |:200 \\\\<br \/>\n2&amp;=1,05^t \\quad | \\textrm{mit log} \\\\<br \/>\nt&amp;=\\log_{1,05}(2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Halbwertszeit:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t)&amp;=200 \\cdot 0,8^t \\\\<br \/>\n100&amp;=200 \\cdot 0,8^t \\quad |:200 \\\\<br \/>\n0,5&amp;=0,8^t \\quad |\\textrm{mit log} \\\\<br \/>\nt&amp;=\\log_{0,8}\\left(0,5\\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"e-funktion\">e-Funktion und Wachstumsprozesse<\/h2>\n<p>Wenn die Basis der Exponentialfunktion die eulersche Zahl $e$ ist, dann sprechen wir im von DER Exponentialfunktion. H\u00e4ufig wird bei Aufgaben zu Wachstums- oder Zerfallsprozessen die Basis $e$ gew\u00e4hlt. Die allgemeine Form lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t)&amp;=a\\cdot e^{\\pm k\\cdot t} \\\\<br \/>\n\\textrm{mit} \\quad \\quad k&amp;=ln(1+\\frac{p}{100} ) \\quad \\textrm{als Wachstumskonstante und} \\\\<br \/>\nk&amp;=ln(1-\\frac{p}{100} ) \\quad \\textrm{als Zerfallskonstante.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Exponentialfunktion aufstellen mit 2 Punkten<\/strong><\/p>\n<p>H\u00e4ufig sind die Aufgaben bei Wachstumsprozessen so gestellt, dass aus dem Aufgabentext zwei Punkte herausgefunden werden m\u00fcssen und man aus diesen zwei Punkten eine Exponentialfunktion aufstellen muss. Dazu gucken wir uns direkt mal ein typisches Beispiel an.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>Daniel hat einen normalen Hormonspiegel von 6 mg\/l. Als er Chantal zum ersten Mal sieht, schnellt der Hormonspiegel innerhalb 3 Minuten auf 9 mg\/l hoch. Wie hoch ist der Hormonspiegel nach einer Viertelstunde, wenn man von einer Entwicklung gem\u00e4\u00df $h(t)=a\\cdot e^{kt}$ ausgehen kann?<\/p>\n<p><strong>Wie gehen wir vor?<\/strong> Die Form der Funktion, hier Exponentialfunktion, ist bereits gegeben. Folgende Infomationen m\u00fcssen aus der Aufgabenstellung herausgezogen werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nt&amp;=0: \\ h(0)=6 \\quad \\textrm{daraus folgt der Punkt} \\ P_1(0|6)\\\\<br \/>\nt&amp;=3: \\ h(3)=9 \\quad \\textrm{daraus folgt der Punkt} \\ P_2(3|9) \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Gesucht ist der Hormonspiegel nach einer Viertelstunde, also $h(15)=?$.<br \/>\nAus $P_1(0|6)$ und $P_2(3|9)$ folgen dann zwei Gleichungen, die wir nach den uns bekannten Verfahren nach den beiden Unbekannten $a$ und $k$ aufl\u00f6sen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad 6&amp;=a \\cdot \\underbrace{e^{k\\cdot 0}}_{=1} \\\\<br \/>\n\\textrm{II} \\quad 9&amp;=a \\cdot e^{k\\cdot 3}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus Gleichung $\\textrm{I}$ folgt direkt $a=6$ und das setzen wir in Gleichung $\\textrm{II}$ ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n9 \u00a0&amp; =6 \\cdot e^{k\\cdot 3} \\quad |:6 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \u00a01,5 \u00a0&amp;= e^{3k} \\quad\u00a0|\\ \\ln \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\quad \u00a0\\ln(1,5) \u00a0&amp;= 3k \u00a0\\quad |:3 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \u00a0k \u00a0&amp;= \\frac{\\ln(1,5)}{3} \\approx 0,135<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Damit folgt f\u00fcr die gesuchte Wachstumsfunktion: $h(t)=6\\cdot e^{0,135 \\cdot t}$. Wenn Ihr die Funktion habt, ist der Rest meist einfach. Daniel hat nach 15 Minuten einen Hormonspiegel von<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nh(15)=6\\cdot e^{0,135 \\cdot 15} \\approx 45,46 \\ \\frac{\\textrm{mg}}{\\textrm{l}}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beachtet bitte, dass die Rundungsfehler bei $e$-Funktionen sehr hoch sind.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir nochmals alles zum Thema exponentielle Wachstumsprozesse in seinem Lernvideo.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersichten, auch Zerfall | Mathe by Daniel Jung, Erkl&auml;rvideo\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_T4SvgEO20s4\"><div id=\"lyte_T4SvgEO20s4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FT4SvgEO20s4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Exponentielles Wachstum, \u00dcbersichten, auch Zerfall | Mathe by Daniel Jung, Erkl\u00e4rvideo<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/T4SvgEO20s4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FT4SvgEO20s4%2F0.jpg\" alt=\"Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersichten, auch Zerfall | Mathe by Daniel Jung, Erkl&auml;rvideo\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"unbegrenztewachstumsprozesse\">Unbegrenzte Wachstumsprozesse bzw. unbegrenzter Zerfall<\/h2>\n<p>In diesem Abschnitt sollt ihr eine \u00dcbersicht zu unbegrenztem Wachstum\/Zerfall bekommen. Wir haben $N(t)$ als den $y$-Wert, der rauskommt, wenn ich einen Anfangswert<br \/>\n$N(0)$ mal $e^{k\\cdot t}$ habe. $k$ muss dabei gr\u00f6\u00dfer als Null sein. Dabei ist es egal, ob Wachstum oder Zerfall vorliegt.<\/p>\n<p><strong>Unbegrenztes Wachstum:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nN(t)&amp;=N(0)\\cdot e^{k\\cdot t} \\\\<br \/>\nN'(t)&amp;=k \\cdot N(0)\\cdot e^{k\\cdot t} \\\\<br \/>\n&amp;=k \\cdot N(t)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Verdopplungszeit: $t=\\frac{\\ln(2)}{k}$<\/p>\n<p><strong>Unbegrenzter Zerfall:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nN(t)&amp;=N(0)\\cdot e^{-k\\cdot t} \\\\<br \/>\nN'(t)&amp;=-k \\cdot N(0)\\cdot e^{-k\\cdot t} \\\\<br \/>\n&amp;=-k \\cdot N(t)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Halbwertszeit: $t=\\frac{\\ln(0,5)}{-k}$<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zur Halbwertszeit<\/h3>\n<p>In lebenden Organismen betr\u00e4gt der Anteil des Kohlenstoffisotops C14 etwa ein Billionstel aller Kohlenstoffatome. In abgestorbenen Organismen zerf\u00e4llt das C14-Isotop exponentiell. Nach 1000 Jahren sind noch ca. 0,886 Billionstel vorhanden. Bestimme die Halbwertszeit von C14.<\/p>\n<p>Es liegt ein unbegrenzter Zerfall vor. Unser Ansatz lautet zun\u00e4chst $N(t)=N(0)\\cdot e^{-kt}$. Wir m\u00fcssen also den Anfangswert $N(0)$ und $k$ bestimmen.<br \/>\n2 Informationen sind im Aufgabentext gegeben, um gesuchten Werte zu bestimmen:<\/p>\n<ul>\n<li>Anfangswert: $N(0)=1$<\/li>\n<li>Nach 1000 Jahren: $N(1000)=0,886$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hinweis: Die Einheit ist Billionstel. Wir erhalten<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0,886&amp;=1\\cdot e^{-k\\cdot 1000} \\quad | \\ln \\\\<br \/>\n\\ln(0,886)&amp;=-k\\cdot 1000 \\\\<br \/>\nk&amp;=0,000121<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und damit die Funktion, die den unbegrenzten Verfall beschreibt: $N(t)=1\\cdot e^{-0,000121\\cdot t}$.<br \/>\nErst jetzt beginnen wir mit der Fragestellung. Wir verwenden einfach die Formel von oben und es folgt f\u00fcr die Halbwertszeit:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nt=\\frac{\\ln(0,5)}{-0,000121} \\approx 5728 \\ \\textrm{Jahre}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir hierzu das Lernvideo zum Thema exponentielle, unbegrenzte Wachstumsprozesse an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Exponentielles, unbegrenztes Wachstum, Zerfall | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_Ap_nOeemA2A\"><div id=\"lyte_Ap_nOeemA2A\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FAp_nOeemA2A%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Exponentielles, unbegrenztes Wachstum, Zerfall | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Ap_nOeemA2A\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FAp_nOeemA2A%2F0.jpg\" alt=\"Exponentielles, unbegrenztes Wachstum, Zerfall | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"beschraenktewachstumsprozesse\" >Beschr\u00e4nkte Wachstumsprozesse und beschr\u00e4nkte Abnahme<\/h2>\n<p>Grunds\u00e4tzlich unterscheidet man zwischen beschr\u00e4nktem Wachstum und beschr\u00e4nkter Abnahme. Ganz allgemein gilt mit $k&gt;0$, $s \\in \\mathbb{R}$ und $t$ f\u00fcr die Zeit.:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t) = S\\pm c \\cdot e^{-k\\cdot t}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beschr\u00e4nkter Wachstumsprozess:<\/strong><\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" alignleft wp-image-1827 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_wachstum-300x274.png\" alt=\"Beschr\u00e4nkter Wachstumsprozess\" width=\"300\" height=\"274\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_wachstum-300x274.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_wachstum.png 501w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/center><\/p>\n<p>Beispiel f\u00fcr beschr\u00e4nktes Wachstum: Ihr holt ein Glas Milch aus dem K\u00fchlschrank und stellt es in euer Zimmer. Wir haben eine Zunahme der Temperatur, die beschr\u00e4nkt ist auf die Raumtemperatur.<\/p>\n<p><strong>Beschr\u00e4nkte Abnahme<\/strong><\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" alignleft wp-image-1828 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_abnahme-300x268.png\" alt=\"Beschr\u00e4nkter Abnahmeprozess\" width=\"300\" height=\"268\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_abnahme-300x268.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_beschr_abnahme.png 508w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/center><\/p>\n<p>Beispiel f\u00fcr beschr\u00e4nkte Abahme: Ihr erhitzt ein Glas Milch und stellt es in euer Zimmer. Wir haben eine Abnahme der Temperatur, die beschr\u00e4nkt ist auf die Raumtemperatur.<br \/>\nCharakteristisch f\u00fcr beschr\u00e4nktes Wachstum oder beschr\u00e4nkte Abnahme ist, dass die Steigung mit steigender Zeit abnimmt. Unterschied zu logistischem Wachstum!<\/p>\n<p><strong>Sieh dir zur Vertiefung Daniels Video zum Thema beschr\u00e4nkte Wachstumsprozesse an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Beschr&auml;nktes Wachstum, beschr&auml;nkte Abnahme | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_7CfwEp0CE2M\"><div id=\"lyte_7CfwEp0CE2M\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F7CfwEp0CE2M%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Beschr\u00e4nktes Wachstum, beschr\u00e4nkte Abnahme | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/7CfwEp0CE2M\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F7CfwEp0CE2M%2F0.jpg\" alt=\"Beschr&auml;nktes Wachstum, beschr&auml;nkte Abnahme | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"logistischewachstumsprozesse\">Logistische Wachstumsprozesse<\/h2>\n<p>\u00c4hnlich wie beim beschr\u00e4nkten Wachstum erkennt ihr, wenn man nach rechts schaut, die Steigung des Graphen immer weiter abnimmt bis sie 0 ist und sich einem Grenzwert asymptotisch ann\u00e4hert. Anders als beim beschr\u00e4nkten Wachstum ist es aber so, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn zunimmt, bevor sie abnimmt. In der Abbildung seht ihr eine Beispiel, wie ein logistisches Wachstum graphisch aussehen k\u00f6nnte.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1829\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_logwachstum.png\" alt=\"logistischer Wachstumsprozess\" width=\"424\" height=\"211\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_logwachstum.png 424w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_logwachstum-300x149.png 300w\" sizes=\"(max-width: 424px) 100vw, 424px\" \/><\/p>\n<p>Wie kommt man auf den Grenzwert (Schranke $S$), der hier 20 ist? Einfach ausgedr\u00fcckt: Zahl oben durch Zahl, die alleine steht, ist die sogenannte Schranke, bei der sich der Graph vom Wert her einpendelt. In unserem Beispiel: $10\/0,5=20$.<br \/>\nDie Zahl, die unter dem Bruchstrich alleine steht, ist zeitgleich der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Hier: $0,5.$ Damit hat man alle Sonderheiten gekl\u00e4rt.<br \/>\nAllgmein gilt f\u00fcr logistisches Wachstum folgende Gleichung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(t) = \\frac{a\\cdot S}{a+(S-a)\\cdot e^{-S kt} },<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>wobei $a=f(0)$, $0&lt;a&lt;S$, $k&gt;0$ und $S&gt;0$.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Logistisches Wachstum, logistische Funktion | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_okTwq17PZjM\"><div id=\"lyte_okTwq17PZjM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FokTwq17PZjM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Logistisches Wachstum, logistische Funktion | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/okTwq17PZjM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FokTwq17PZjM%2F0.jpg\" alt=\"Logistisches Wachstum, logistische Funktion | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"gr\u00f6\u00dfererwachstum\">Gr\u00f6\u00dferer Wachstums-\/Zerfallszeitraum<\/h2>\n<p>Wenn ein gr\u00f6\u00dferer Zeitraum als \\textit{t\u00e4glich, st\u00fcndlich, min\u00fctlich} vorgegeben ist, z.B. alle 4 Tage werden 200g 20\\% mehr, habt ihr zwei M\u00f6glichkeiten, die Exponentialfunktion aufzustellen:<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 1:<\/strong><br \/>\nRichtigen Wachstumsfaktor ausrechnen!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=200 \\cdot q^x \\\\<br \/>\n\\underbrace{240}_{200+20\\%}&amp;=200 \\cdot q^4 \\quad |:200 \\\\<br \/>\n1,2&amp;=q^4 \\quad \\quad \\quad \\ | \\textrm{4. Wurzel ziehen} \\\\<br \/>\nq&amp;=\\sqrt[4]{1,2} \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\ f(x)&amp;=200 \\cdot \\left( \\sqrt[4]{1,2} \\right)^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 2:<\/strong><\/p>\n<p>Exponenten anpassen!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=200 \\cdot (\\underbrace{1,2}_{1+\\frac{0,2}{100}})^{\\frac{1}{4}x} \\\\<br \/>\n&amp;=200 \\cdot \\left(1,2^{\\frac{1}{4}} \\right)^x \\\\<br \/>\n&amp;=200 \\cdot \\left( \\sqrt[4]{1,2} \\right)^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnungen zu Wachstum bzw. Wachstumsprozesse besch\u00e4ftigen sich mit der Entwicklung von einem Bestand. Eine wichtige Idee dabei ist, dass die \u00c4nderung des Bestands (also Zunahme und Abnahme) die Ableitung des Bestands ist. Inhaltsverzeichnis Lineare Wachstumsprozesse Exponentielle Wachstumsprozesse e-Funktion und Wachstumsprozesse Unbegrenzte Wachstumsprozesse Beschr\u00e4nkte Wachstumsprozesse Logistische Wachstumsprozesse Gr\u00f6\u00dferer Wachstums-\/Zerfallszeitraum Lineare Wachstumsprozesse Das lineare Wachstum ist sehr, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":17,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Wachstumsprozesse - exponentiell und linear - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du brauchst Hilfe bei der Berechnung von Wachstumsprozessen? 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