Schritt 1<\/strong><\/p>\n Aufgabenstellung sorgf\u00e4ltig lesen – Welchen Grad soll die zu erstellende Funktion haben? Wenn im Text nicht anders vorgegeben, z.B. Funktion 2. Grades hat die Form<\/p>\n \\begin{align*} dann gilt meist:<\/p>\n \\begin{align*} \\begin{align*} Schritt 2<\/strong><\/p>\n Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)$ sowie der 1. und, wenn kr\u00fcmmungsruckfrei verlangt wird, 2. Ableitung<\/p>\n Schritt 3<\/strong><\/p>\n Bedingungen aufstellen<\/p>\n Schritt 4\u00a0<\/strong><\/p>\n Alle Informationen in mathematische Gleichungen \u00fcbersetzen, LGS aufstellen und l\u00f6sen.<\/p>\n Schritt 5\u00a0<\/strong><\/p>\n Funktionsgleichung aufschreiben<\/p>\n Schauen wir uns dazu ein Beispiel an, um das Prinzip zu verstehen. Gegeben seien die Geraden auf ihren jeweils vorgegeben Definitionsbereichen<\/p>\n \\begin{align*} In dieser Aufgabe soll die knickfreie Verbindung durch eine Funktion 3. Grades realisiert werden. Wie das ganze am Ende aussehen soll, zeigt die untere\u00a0Abbildung. Wir arbeiten das obige Vorgehen ab und erkennen aus der Aufgabenstellung, dass die Funktion den Grad 3 haben soll. Eine ganz allgemeine Funktion dritten Grades sieht so aus:\u00a0$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ \\begin{align*} Die 2. Ableitung ist nicht notwendig, da keine Information bez\u00fcglich des Kr\u00fcmmungsrucks vorliegt. Jetzt stellen wir die Bedingungen auf:<\/p>\n \\begin{align*} In diesem einfachen Beispiel ist die 1. Ableitung (Steigung) der Geraden $g$ und $h$ gleich Null, da die Geraden parallel zur $x$-Achse verlaufen. Das Gleichungssystem bestehend aus 4 Gleichungen m\u00fcssen wir jetzt mit den uns bekannten Verfahren oder dem Taschenrechner l\u00f6sen. In diesem Fall gibt es keine eindeutige L\u00f6sung, sondern unendlich viele. Wir sagen also, dass z.B. $a=1\/16$ sei und daraus folgt f\u00fcr die anderen Koeffizienten: $b=0$, $c=-3\/4$ und $d=2$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet<\/p>\n \\begin{align*} An dieser Stelle wollen wir uns noch ein weiteres Beispiel<\/strong>\u00a0angucken, bei dem es eine eindeutige L\u00f6sung gibt. Es sind zwei Geraden<\/p>\n \\begin{align*} gegeben, die jeweils nur in einem bestimmten Abschnitt definiert sind. Diese beiden Geraden sollen nun so miteinander verbunden werden, dass sie eine knickfreie Parabel darstellen. \\begin{align*} Es m\u00fcssen 3 Unbekannte bestimmt werden. Im n\u00e4chsten Schritt \u00fcberlegen wir uns die Bedingungen.<\/p>\n \\begin{align*}
\nf(x)=ax^2+bx+c
\n\\end{align*}<\/p>\n\n
\nf(x)=ax^3+bx^2+cx+d
\n\\end{align*}<\/p>\n\n
\nf(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
\n\\end{align*}<\/p>\n\n\n
Beispiel Trassierung mit Geraden<\/h2>\n
\ng(x)=3, \\quad D_g=[-5;-2] \\quad \\textrm{und} \\quad h(x)=1, \\quad D_h=[2;4].
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n![\"Trassierung](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_trassierung.png\")
\nEs gilt also 4 Unbekannte zu bestimmen: $a$, $b$, $c$ und $d$. Dazu ben\u00f6tigen wir 4 Bedingungen. Zun\u00e4chst aber bilden wir kurz die 1. Ableitung.<\/p>\n
\nf'(x)=3ax^2+2bx+c
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n&\\text{ohne Sprung:} &\\quad g(-2) =f(-2) \\quad &\\Rightarrow &3=a(-2)^3+b(-2)^2-2c+d \\\\
\n&\\text{ohne Sprung:} &\\quad h(2) =f(2) \\quad &\\Rightarrow &1=a(2)^3+b(2)^2+2c+d \\\\
\n&\\text{ohne Knick:} &\\quad g'(-2) =f'(-2) \\quad &\\Rightarrow &0=3a(-2)^2+2\\cdot(-2)b+c \\\\
\n&\\text{ohne Knick:} &\\quad h'(2) =f'(2) \\quad &\\Rightarrow &0=3a(2)^2+2 \\cdot 2 b +c \\\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nf(x)=\\frac{1}{16}x^3-\\frac{3}{4}x+2, \\quad D_f=[-2;2].
\n\\end{align*}<\/p>\n
\ng(x)=-4x-14, \\ \\ -5 \\leq x \\leq -2 \\quad \\textrm{und} \\quad h(x)=6x-6,5, \\ \\ 0,5 \\leq x \\leq 3,
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nDie untere\u00a0Skizze stellt die qualtiativen Verl\u00e4ufe der Geraden und der gesuchten Parabel anschaulich dar. Eine allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel und dessen erster Ableitung lautet:<\/p>\n
\nf(x)&=ax^2+bx+c \\\\
\nf'(x)&=2ax+b
\n\\end{align*}<\/p>\n![\"Trassierung\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_trassierung2.png\")
<\/p>\n
\n\\text{ohne Sprung:} \\quad g(-2) &=f(-2) \\quad \\Rightarrow -6=a(-2)^2-2b+c \\\\
\n\\text{ohne Sprung:} \\quad h(0,5) &=f(0,5) \\quad \\Rightarrow -3,5=a(0,5)^2+0,5b+c \\\\
\n\\text{ohne Knick:} \\quad g'(-2) &=f'(-2) \\quad \\Rightarrow -4=-4a+b \\\\
\n\\text{ohne Knick:} \\quad h'(0,5) &=f'(0,5) \\quad \\Rightarrow 6=a+b \\\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
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