{"id":20,"date":"2015-03-25T20:49:35","date_gmt":"2015-03-25T19:49:35","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=20"},"modified":"2021-05-04T15:39:04","modified_gmt":"2021-05-04T13:39:04","slug":"lgs-loesen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lgs-loesen\/","title":{"rendered":"Lineare Gleichungssysteme"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Wir werden uns in diesem Artikel mit dem Thema Lineare Gleichungssysteme (auch LGS genannt) besch\u00e4ftigen.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#was-sind-lgs\">Was sind lineare Gleichungssysteme?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gleichung-zum-gleichungssystem\">Von einer linearen Gleichung zum Gleichungssyslinetem<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#einsetzungsverfahren\">LGS l\u00f6sen mit Einsetzungsverfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gleichsetzungsverfahren\">LGS l\u00f6sen mit Gleichsetzungsverfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#sonderf\u00e4lle\">Sonderf\u00e4lle<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#additionsverfahren\">LGS l\u00f6sen mit Additionsverfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gaussalgorithmus\">Gau\u00df-Algorithmus<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Wei\u00dft du noch was eine lineare Gleichung ist? Dabei handelt es sich um eine Gleichung ersten Grades,\u00a0d.h. die Variable $x$ kommt in keiner h\u00f6heren als der ersten Potenz vor. Die Parameter $a$ und $b$ k\u00f6nnen reelle Zahlen annehmen, wobei $a\\neq 0$ gilt.<\/p>\n<p>Allgemeine Form: $ax+b=0$<\/p>\n\n<h2 id=\"was-sind-lgs\" class=\"anchor\">Was sind lineare Gleichungssysteme (LGS)?<\/h2>\n<p>Bei linearen Gleichungssystemen befinden sich die Graphen von zwei <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">linearen Funktionen<\/a> (also Geraden) innerhalb eines Koordinatensystems. In diesem Zusammenhang stellen wir fest, dass zwei Geraden zueinander entweder:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>parallel<\/strong> oder<\/li>\n<li><strong>identisch<\/strong> sind bzw.<\/li>\n<li>einen <strong>gemeinsamen Schnittpunkt<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Es geht also darum, herauszufinden, welcher dieser drei F\u00e4lle vorliegt. Das kann auf zwei verschiedene Arten geschehen:<\/p>\n<ul>\n<li>zeichnerisch oder<\/li>\n<li>rechnerisch<\/li>\n<\/ul>\n<p>In diesem Zusammenhang betrachten wir die zwei folgenden Funktionen:<\/p>\n<ol>\n<li>$y=-x+2$<\/li>\n<li>$y=2x-1$<\/li>\n<\/ol>\n<p>Die Darstellung im Koordinatensystem sieht aus wie folgt:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1073\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lgszeichnerisch.png\" alt=\"bil_lgszeichnerisch\" width=\"311\" height=\"288\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lgszeichnerisch.png 499w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lgszeichnerisch-300x278.png 300w\" sizes=\"(max-width: 311px) 100vw, 311px\" \/><\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnen hier sehr gut erkennen, dass die beiden Geraden sich im Punkt $(1|1)$ schneiden. Des Weiteren f\u00e4llt uns auf, dass unsere beiden Geraden unterschiedliche Steigungen haben, n\u00e4mlich\u00a0$-1$ und\u00a0$2$.<\/p>\n<p>In diesem Zusammenhang halten wir also fest, dass Geraden mit unterschiedlicher Steigung immer einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass Geraden mit identischer Steigung parallel zueinander verlaufen oder sogar identisch sind.\u00a0Identisch sind sie aber nur dann, wenn sie ebenfalls den gleichen Schnittpunkt mit der $y$-Achse haben. Wir halten also fest:<\/p>\n<ol>\n<li>$m_1\\neq m_2$ $\\Longrightarrow $ gemeinsamer Schnittpunkt<\/li>\n<li>\u00a0$m_1=m_2\\wedge b_1\\neq b_2$ $\\Longrightarrow $ parallel<\/li>\n<li>\u00a0$m_1=m_2\\wedge b_1=b_2$ $\\Longrightarrow $ identisch<\/li>\n<\/ol>\n<p>[$m_1=$ Steigung der ersten Geraden; $m_2=$ Steigung der zweiten Geraden; $b_1=$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse der ersten Geraden; $b_2=$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse der zweiten Geraden]<\/p>\n<h2 id=\"gleichung-zum-gleichungssystem\" class=\"anchor\">Von einer linearen Gleichung zum Gleichungssystem<\/h2>\n<p>Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte (&#8222;Variablen&#8220;) enthalten.<br \/>\nSchauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n3x_1+4x_2&amp;=-1 \\\\<br \/>\n2x_1+5x_2&amp;=3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der <strong>Unterschied<\/strong> zwischen einer <strong>linearen Gleichung<\/strong> und einem <strong>linearen Gleichungssystem<\/strong> ist das Vorhandensein<\/p>\n<ul>\n<li>mehrerer Gleichungen<\/li>\n<li>mehrerer Unbekannten<\/li>\n<\/ul>\n<p>Im Zusammenhang mit <strong>L<\/strong>inearen <strong>G<\/strong>leichungs-<strong>S<\/strong>ystemen wird auch oft die Abk\u00fcrzung &#8222;LGS&#8220; verwendet.<\/p>\n<p>Allgemeine Form:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\na_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n &amp;= b_1 \\\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n &amp;= b_2 \\\\ \\vdots \\quad \\quad \\vdots \\quad \\quad \\qquad &amp; \\vdots \\\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n &amp;= b_m<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*} 3x_1 &#8211; 2x_2 + 2x_3 &amp;= 1 \\\\ -2x_1 + 5x_2 &#8211; 6x_3 &amp;= 0 \\\\ 4x_1 + 3x_2 &#8211; 2x_3 &amp;= 3 \\end{align*}<\/p>\n<p>Gleichungssysteme mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten kann man folgenderma\u00dfen kategorisieren<\/p>\n<ul>\n<li>Quadratisches Gleichungssystem $m=n$, z.B. 3 Gleichungen und 3\u00a0Unbekannte<\/li>\n<li>Unterbestimmtes Gleichungssystem $m&lt;n$, z.B. 2 Gleichungen und\u00a03 Unbekannte<\/li>\n<li>\u00dcberbestimmtes Gleichungssystem $m&gt;n$, z.B. 3 Gleichungen und 2\u00a0Unbekannte<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei dem Thema lineare Gleichungssysteme geht es haupts\u00e4chlich darum, diese zu l\u00f6sen. Dazu bedient man sich sog. L\u00f6sungsverfahren, die dir bei der Ermittlung der L\u00f6sung helfen sollen. In der Schule besch\u00e4ftigt man sich in der Regel mit folgenden Verfahren:<\/p>\n<ul>\n<li>Additionsverfahren<\/li>\n<li>Einsetzungsverfahren<\/li>\n<li>Gleichsetzungsverfahren<\/li>\n<\/ul>\n<p>Jedes Verfahren kann man zum l\u00f6sen von Gleichungssystemen nutzen. Jedoch ist das Additionsverfahren das Wichtigste, da f\u00fcr lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen systematische L\u00f6sungsverfahren genutzt werden sollten. Hier ist insbesondere das Gauss-Verfahren zu nennen, das auf einem Additionsverfahren beruht.<\/p>\n<p>Es werden 3 F\u00e4lle f\u00fcr die L\u00f6sungen von Gleichungssystemen unterschieden:<\/p>\n<ul>\n<li>eine eindeutige L\u00f6sung, wenn z.B. als L\u00f6sung $x_1=5, x_2=4$ herauskommt.<\/li>\n<li>keine L\u00f6sung, wenn z.B. als L\u00f6sung $3=4$ eine falsche Aussage herauskommt.<\/li>\n<li>unendlich viele L\u00f6sungen, wenn z.B. als L\u00f6sung $0=0$ eine allgemeing\u00fcltige Aussage herauskommt.<\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"einsetzungsverfahren\" class=\"anchor\">LGS l\u00f6sen mit Einsetzungsverfahren<\/h2>\n<p>So gehst du beim Einsetzungsverfahren vor:<\/p>\n<ol>\n<li>Aufl\u00f6sen einer Gleichung nach einer Variablen.<\/li>\n<li>Einsetzen des f\u00fcr diese Variable berechneten Terms in die andere Gleichung.<\/li>\n<li>Aufl\u00f6sen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen.<\/li>\n<li>Einsetzen der L\u00f6sung in die Gleichung, die im 1. Schritt berechnet wurde, mit anschlie\u00dfender Berechnung der Variablen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Beispiel f\u00fcr ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{I} \\ \\ 2x_1 + 3x_2 &amp;= 12 \\\\<br \/>\n\\text{II} \\quad \\ \\ x_1 &#8211; x_2 &amp;= 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Gleichung $\\text{II}$ nach $x_1$ umformen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_1=x_2+1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>nun $x_1$ in Gleichung $\\text{I}$ einsetzen und nach der enthaltenden Unbekannten aufl\u00f6sen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2(x_2+1)+3x_2&amp;=12 \\quad |\\ \\textrm{zusammenfassen} \\\\<br \/>\n5x_2+2 &amp;= 12 \\quad |-2 \\\\<br \/>\n5x_2&amp;=10 \\quad |:5 \\\\<br \/>\nx_2&amp;=2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die L\u00f6sung $x_2 \u00a0=2$ in die umgeformte Gleichung $x_1=x_2+1$ aus dem ersten Schritt einsetzen und so die andere Variable berechnen. Es folgt $x_1=x_2+1=2+1=3$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideos zum Thema LGS l\u00f6sen mit &#8222;Einsetzungsverfahren&#8220; an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Einsetzungsverfahren, langsame Version, Teil 1, Gleichungssystem l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_bCjT3wDXf50\"><div id=\"lyte_bCjT3wDXf50\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbCjT3wDXf50%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Einsetzungsverfahren, langsame Version, Teil 1, Gleichungssystem l\u00f6sen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/bCjT3wDXf50\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbCjT3wDXf50%2F0.jpg\" alt=\"Einsetzungsverfahren, langsame Version, Teil 1, Gleichungssystem l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Einsetzungsverfahren in langsamer Version, Teil 2, lineares Gleichungssystem l&ouml;sen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_27xLhqiw-14\"><div id=\"lyte_27xLhqiw-14\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F27xLhqiw-14%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Einsetzungsverfahren in langsamer Version, Teil 2, lineares Gleichungssystem l\u00f6sen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/27xLhqiw-14\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F27xLhqiw-14%2F0.jpg\" alt=\"Einsetzungsverfahren in langsamer Version, Teil 2, lineares Gleichungssystem l&ouml;sen\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"gleichsetzungsverfahren\" class=\"anchor\">LGS l\u00f6sen mit Gleichsetzungsverfahren<\/h2>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Aufl\u00f6sen beider Gleichungen nach der gleichen Variablen.<\/li>\n<li>Gleichsetzen der anderen Seiten der Gleichung.<\/li>\n<li>Aufl\u00f6sen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen.<\/li>\n<li>Einsetzen der L\u00f6sung in eine der umgeformten Gleichung aus Schritt 1 mit anschlie\u00dfender Berechnung der Variablen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Beispiel f\u00fcr ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{I} \\ \\ 2x_1 + 3x_2 = 12 \\\\<br \/>\n\\text{II} \\quad \\ \\ \\ x_1 &#8211; x_2 = 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beide Gleichungen nach der selben Variable umformen, z.B. $x_1$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{Ia} \\ \\ x_1 &amp;= 6 &#8211; 1,5x_2 \\\\<br \/>\n\\text{IIa} \\ \\ x_1 &amp;=x_2 + 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Nun Gleichung $\\text{Ia}$ und $\\text{IIa}$ gleichsetzen, denn es gilt $x_1=x_1$. Es folgt<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n6 &#8211; 1,5x_2 = x_2 + 1<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nEntstandene Geichung nach $x_2$ aufl\u00f6sen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n6 &#8211; 1,5x_2 &amp;= x_2 + 1 \\quad |+1,5x_2 \\ -1 \\\\<br \/>\n5 &amp;= 2,5x_2 \\quad \\ |:2,5 \\\\<br \/>\n2 &amp;=x_2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Abschlie\u00dfend noch die L\u00f6sung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt (also in $\\text{Ia}$ oder $\\text{IIa}$) einsetzen und die andere Variable berechnen. Wir setzen $x_2=2$ in $\\text{IIa}$\u00a0ein und erhalten: \u00a0$x_1=2+1=3$.<\/p>\n<p><strong>Daniel zeigt euch nochmal wie man mit dem Gleichsetzungsverfahren LGS l\u00f6sen kann.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichsetzungsverfahren, Gleichungssystem l&ouml;sen, LGS, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt, Nachhilfe\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_6BuVmbuxZco\"><div id=\"lyte_6BuVmbuxZco\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F6BuVmbuxZco%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Gleichsetzungsverfahren, Gleichungssystem l\u00f6sen, LGS, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt, Nachhilfe<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/6BuVmbuxZco\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F6BuVmbuxZco%2F0.jpg\" alt=\"Gleichsetzungsverfahren, Gleichungssystem l&ouml;sen, LGS, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt, Nachhilfe\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"sonderf\u00e4lle\" class=\"anchor\">Sonderf\u00e4lle<\/h2>\n<p>Wie am Anfang schon kurz beschrieben, ist es m\u00f6glich, dass sich unsere beiden Geraden nicht schneiden, sondern parallel oder sogar identisch sind. Wenn dieser Fall eintritt, bekommen wir nat\u00fcrlich bei unserer Berechnung auch keine Schnittpunktkoordinaten. Wir gucken uns jetzt zu beiden F\u00e4llen jeweils eine Aufgabe an, damit ihr nicht verwirrt seid, falls so ein Fall in der Pr\u00fcfung auftauchen sollte.<\/p>\n<h3>Parallele Geraden<\/h3>\n<p>Zwei parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber nicht den gleichen Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Dazu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcl}<br \/>\n\\textrm{I} &amp; y &amp;=&amp;2x-2 \\\\<br \/>\n\\textrm{II} &amp; y &amp;=&amp; 2x-5<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir sehen auf den ersten Blick, dass unsere beiden Steigungen identisch sind. Das gilt hier aber nicht f\u00fcr die Schnittpunkte mit der $y$-Achse.<\/p>\n<p>Wir wenden jetzt das Gleichsetzungsverfahren an und gucken was passiert:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x-2&amp;=2x-5 | -2x \\\\ \\\\<br \/>\n-2&amp;=-5<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten eine falsche Aussage, denn $-2$ ist eben nicht gleich $-5$. Damit h\u00e4tten wir gezeigt, dass es keine L\u00f6sung gibt, also dass sich die Geraden nicht schneiden und dass unsere Geraden daher parallel zueinander verlaufen.<\/p>\n<h3>Identische Geraden<\/h3>\n<p>Zwei identische Geraden lassen sich nicht immer gleich auf den ersten Blick erkennen. Dazu das folgende Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcl}<br \/>\n\\textrm{I} &amp; 4x &amp;=&amp;5-y \\\\<br \/>\n\\textrm{II} &amp; 8x &amp;=&amp; 10-2y<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Im ersten Moment sieht es nicht so aus, als w\u00e4ren diese beiden Geraden identisch, denn sowohl die Steigungen als auch die Schnittpunkte mit der $y$-Achse scheinen unterschiedliche Werte zu haben. Doch nehmen wir an, dass wir jetzt das Gleichsetzungsverfahren anwenden wollen w\u00fcrden, m\u00fcssten wir unsere zweite Gleichung vorher noch durch 2 teilen. Unsere beiden Gleichungen h\u00e4tten dann die folgende Gestalt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n\\textrm{I} &amp; 4x &amp;=&amp;5-y &amp; \\\\<br \/>\n\\textrm{II} &amp; 8x &amp;=&amp; 10-2y &amp; |:2 \\\\ &amp;&amp;&amp;&amp; \\\\<br \/>\n\\textrm{I} &amp; 4x &amp;=&amp;5-y &amp; \\\\<br \/>\n\\textrm{II} &amp; 4x &amp;=&amp; 5-y &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Nun sehen wir, dass unsere beiden Gleichungen identisch sind. Trotzdem wollen wir gucken was passiert, wenn wir die Terme gleichsetzen und einfach weiter rechnen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rcll}<br \/>\n5-y &amp;=&amp;5-y &amp; | -5 \\\\<br \/>\n-y &amp;=&amp; -y &amp; | +y \\\\<br \/>\n0 &amp; = &amp; 0 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten also eine wahre Aussage, denn 0 ist gleich 0. Falls unsere beiden Geraden identisch sein sollten, muss eine wahre Aussage herauskommen.<\/p>\n<h2 id=\"additionsverfahren\" class=\"anchor\">LGS l\u00f6sen mit Additionsverfahren<\/h2>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.<\/li>\n<li>\u00dcberlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegf\u00e4llt.<\/li>\n<li>Berechne die Unbekannten.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Beispiel f\u00fcr ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{I} \\ \\ 2x_1 + 3x_2 &amp;= 12 \\\\<br \/>\n\\text{II} \\quad \\ \\ x_1 &#8211; x_2 &amp;= 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Entscheide, welche Unbekannten elimiert werden soll!<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 1:<\/strong> $x_1$ eliminieren, dass schaffen wir indem wir $\\text{I}-2\\cdot \\text{II}$ rechnen.<br \/>\n<strong>M\u00f6glichkeit 2:<\/strong> $x_2$ eliminieren, dass schaffen wir indem wir $\\text{I}+3\\cdot \\text{II}$\u00a0rechnen.<\/p>\n<p>Hier zeigen wir euch M\u00f6glichkeit 1:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n\\text{I} &amp; 2x_1 + 3x_2 &amp;=&amp; 12 &amp; \\\\<br \/>\n\\text{II} &amp; x_1 &#8211; x_2 &amp;=&amp; 1 &amp; |\\cdot (-2) \\\\ &amp;&amp;&amp;&amp; \\\\<br \/>\n\\text{I} &amp; 2x_1 + 3x_2 &amp;=&amp; 12 &amp; \\\\<br \/>\n\\text{IIa} &amp;-2x_1 + 2x_2 &amp;=&amp; -2 &amp; |\\text{I}+\\text{II}a \\\\ &amp;&amp;&amp;&amp; \\\\<br \/>\n\\text{I} &amp;2x_1 + 3x_2 &amp;=&amp; 12 &amp; \\\\<br \/>\n\\text{IIb} &amp; 5x_2 &amp;=&amp; 10 &amp; \\Rightarrow x_2=2<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zuletzt setzen wir $x_2=2$ in eine der beiden urspr\u00fcnglichen Zeilen (also $\\text{I}$ oder $\\text{II}$) ein, um $x_1$ zu berechnen. Wir setzen in $\\text{II}$ ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_1-x_2 \u00a0&amp; =1 \\quad \\textrm{mit}~x_1=3 \\\\<br \/>\nx_1-2 \u00a0&amp; =1 \\quad |+2 \\\\<br \/>\nx_1 \u00a0&amp; =3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Daniel zeigt dir, wie du mit dem Additionsverfahren LGS l\u00f6sen kannst.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Additionsverfahren, Gleichungssystem l&ouml;sen, LGS, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_T08IjF7OPf4\"><div id=\"lyte_T08IjF7OPf4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FT08IjF7OPf4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Additionsverfahren, Gleichungssystem l\u00f6sen, LGS, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/T08IjF7OPf4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FT08IjF7OPf4%2F0.jpg\" alt=\"Additionsverfahren, Gleichungssystem l&ouml;sen, LGS, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"gaussalgorithmus\" class=\"anchor\">Gau\u00df-Algorithmus<\/h2>\n<p>Gegeben sei das Gleichungssystem<\/p>\n<p>\\begin{align*} x_1 &#8211; x_2 + 2x_3 &amp;= 0 \\\\ -2x_1 + x_2 &#8211; 6x_3 &amp;= 0 \\\\ x_1 &#8211; 2x_3 &amp;= 3 \\\\ \\end{align*}<\/p>\n<p>Unter dem &#8222;L\u00f6sen linearer Gleichungssysteme&#8220; versteht man die Berechnung von Unbekannten &#8211; in diesem Fall von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.\u00a0Da zum L\u00f6sen eines Gleichungssystems meist mehrere Schritte notwendig sind, wird es irgendwann l\u00e4stig, bei jedem Schritt das ganze Gleichungssystem nochmal abzuschreiben. Aus diesem Grund lassen wir die Unbekannten ($x_1$,$x_2$,$x_3$) weg und schreiben nur die Koeffizienten auf.<\/p>\n<p>Statt<br \/>\n\\begin{align*} x_1 &#8211; x_2 + 2x_3 &amp;= 0 \\\\ -2x_1 + x_2 &#8211; 6x_3 &amp;= 0 \\\\ x_1 &#8211; 2x_3 &amp;= 3 \\\\ \\end{align*}<br \/>\nschreiben wir<br \/>\n\\begin{align*} \\begin{array}{rrr|c} x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 &amp; r. S. \\\\ \\hline 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0\\\\ -2 &amp; 1 &amp; -6 &amp; 0\\\\ 1 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 3 \\end{array} \\end{align*}<\/p>\n<p>Dabei steht &#8222;r. S.&#8220; f\u00fcr die rechte Seite des Gleichungssystems. Das ist der Teil, der rechts von dem Gleichheitszeichen steht. Wir erhalten also die Koeffizientenschreibweise des LGS.<br \/>\nZiel des Gau\u00df-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen (dazu gleich mehr) unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Was zun\u00e4chst sehr abstrakt klingt, ist eigentlich gar nicht so schwierig. Nach einigen Umformungen sieht das Gleichungssystem so aus:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|c} x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 &amp; r. S. \\\\ \\hline 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0\\\\ 0&amp; -1 &amp; -2 &amp; 0\\\\ 0&amp; 0 &amp; -6 &amp; 3 \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Doch was hat uns diese Umformung gebracht? Erst wenn wir wieder unsere Unbekannten einf\u00fcgen, wird deutlich, was uns diese Nullen bringen.<br \/>\n\\begin{align*} x_1 &#8211; x_2 + 2x_3 &amp;= 0 \\\\ -x_2 &#8211; 2x_3 &amp;= 0 \\\\ -6x_3 &amp;= 3 \\\\ \\end{align*}<\/p>\n<p>Ist das Gleichungssystem so umgeformt, dass unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen sind, kann man die Unbekannten ganz leicht berechnen.<br \/>\nWie komme ich aber auf die Nullen? Um die Nullen zu berechnen, darf man Zeilen<\/p>\n<ul>\n<li>vertauschen<\/li>\n<li>mit einer Zahl multiplizieren<\/li>\n<li>durch eine Zahl dividieren<\/li>\n<li>addieren<\/li>\n<li>subtrahieren<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hier die schrittweise L\u00f6sung unseres Beispiels:\u00a0Um die Null in der 3. Zeile und 1. Spalte zu erhalten, betrachten wir zun\u00e4chst unser Ausgangsgleichungssystem.<\/p>\n<p>\\begin{align*}\\begin{array}{rrr|c} 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0\\\\ -2 &amp; 1 &amp; -6 &amp; 0\\\\ 1 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 3 \\end{array} \\end{align*}<br \/>\nScharfes Hinsehen verr\u00e4t, dass wir unsere dritte Zeile von der ersten Zeile abziehen m\u00fcssen. Ausf\u00fchrlich:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|l} 1 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 3 \\qquad \\text{3. Zeile}\\\\ 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0 \\qquad \\text{1. Zeile}\\\\ \\hline 0 &amp; 1 &amp; -4 &amp; 3 \\qquad \\text{3. Zeile &#8211; 1. Zeile} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Unser Gleichungssystem sieht nach dem ersten Schritt also wie folgt aus:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|l} 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0 \\qquad \\text{1. Zeile}\\\\ -2 &amp; 1 &amp; -6 &amp; 0 \\qquad \\text{2. Zeile}\\\\ 0 &amp; 1 &amp; -4 &amp; 3 \\qquad \\text{3. Zeile*} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nDas $*$ zeigt uns, das es sich um eine neue Zeile handelt. Um die Null in der 2. Zeile und 1. Spalte zu erhalten, addieren wir zu der 2. Zeile zweimal die 1. Zeile:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|l} -2 &amp; 1 &amp; -6 &amp; 0 \\qquad \\text{2. Zeile}\\\\ 2 &amp; -2 &amp; 4 &amp; 0 \\qquad \\text{\\(2 \\cdot\\) 1. Zeile}\\\\ \\hline 0 &amp; -1 &amp; -2 &amp; 0 \\qquad \\text{2. Zeile + \\(2 \\cdot\\) 1. Zeile} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Unser Gleichungssystem sieht nach dem zweiten Schritt also wie folgt aus:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|l} 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0 \\qquad \\text{1. Zeile}\\\\ 0 &amp; -1 &amp; -2 &amp; 0\\qquad \\text{2. Zeile*}\\\\ 0&amp; 1 &amp; -4 &amp; 3 \\qquad \\text{3. Zeile} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nUm die Null in der 3. Zeile und 2. Spalte zu erhalten, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile und es folgt<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrr|l} 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 0 \\qquad \\text{1. Zeile}\\\\ {\\color{}0}&amp; -1 &amp; -2 &amp; 0\\qquad \\text{2. Zeile}\\\\ {\\color{}0}&amp; {\\color{}0}&amp; -6 &amp; 3\\qquad \\text{3. Zeile*} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Da die Nullen unter der Hauptdiagonalen berechnet sind, haben wir unser Ziel erreicht. Wie man jetzt die Unbekannten berechnet, wurde bereits oben erkl\u00e4rt.<br \/>\nMerke:<\/p>\n<ul>\n<li>Reihenfolge bei der Berechnung der Nullen spielt eine wichtige Rolle.<\/li>\n<li>Zuerst muss man die beiden Nullen in der ersten Spalte berechnen &#8211; welche der beiden Nullen man zuerst berechnet, ist jedoch egal. Anschlie\u00dfend berechnet man die verbleibende Null in der zweiten Spalte.<\/li>\n<li>Falls in der ersten Zeile (der ersten Spalte!) bereits eine Null vorliegt, lohnt es sich die Zeilen entsprechend zu vertauschen, um sich die Berechnung einer Null zu sparen.<\/li>\n<\/ul>\n\n<h2>Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen<\/h2>\n<p>Zum Thema lineare Gleichungssysteme wollen wir uns die folgende Textaufgabe angucken:<\/p>\n<p>Auf einem Bauernhof leben Schweine und H\u00fchner. Insgesamt gibt es $180$ Tiere, welche zusammen $520$ Beine haben. Wie viele Schweine bzw. H\u00fchner leben auf dem Bauernhof?<br \/>\nAls erstes machen wir uns klar, dass unsere beiden Variablen $x$ und $y$ eindeutig zugeordnet werden m\u00fcssen. In diesem Beispiel ist die folgende Zuordnung hilfreich:<\/p>\n<ol>\n<li>$x$: Anzahl der Schweine auf dem Bauernhof<\/li>\n<li>$y$: Anzahl der H\u00fchner auf dem Bauernhof<\/li>\n<\/ol>\n<p>Durch diese Zuordnung ergibt sich auch schon die erste Gleichung f\u00fcr unser lineares Gleichungssystem, n\u00e4mlich:<br \/>\n\\[x+y=180\\]<\/p>\n<p>Zur Erkl\u00e4rung, die Anzahl der Schweine $x$ addiert mit der Anzahl der H\u00fchner $y$ m\u00fcssen zusammen $180$ ergeben, also die Anzahl aller Tiere auf dem Bauernhof.<\/p>\n<p>Des Weiteren stellen wir fest, dass Schweine Vierbeiner und H\u00fchner Zweibeiner sind. Also ist die Anzahl der Schweine multipliziert mit $4$ und die Anzahl der H\u00fchner multipliziert mit $2$ unsere Gesamtanzahl aller Beine auf dem Bauernhof, n\u00e4mlich 520. Unsere zweite Gleichung lautet also:<br \/>\n\\[4x+2y=520\\]<\/p>\n<p>Unsere beiden Gleichungen schreiben wir jetzt noch einmal geordnet direkt untereinander und l\u00f6sen das lineare Gleichungssystem dann mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n\\text{I} &amp; x + y &amp;=&amp; 180 &amp; \\\\<br \/>\n\\text{II} &amp; 4x+2y &amp;=&amp; 520 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir stellen die erste Gleichung nach $y$ um und setzen den entstandenen Term in die zweite Gleichung ein:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n\\text{I} &amp; x + y &amp;=&amp; 180 &amp; | -x \\\\<br \/>\n\\text{II} &amp; 4x+2y &amp;=&amp; 520 &amp; \\\\ &amp;&amp;&amp;&amp; \\\\<br \/>\n\\text{I} &amp; y &amp;=&amp; 180 &#8211; x &amp; \\\\<br \/>\n\\text{IIa} &amp;4x + 2y &amp;=&amp; 520 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt k\u00f6nnen wir das $y$ aus Gleichung I in Gleichung II einsetzen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rcll}<br \/>\n4x+2\\cdot (180-x) &amp;=&amp; 520 &amp; \\\\<br \/>\n4x+360-2x &amp;=&amp; 520 &amp; \\\\<br \/>\n2x+360 &amp;=&amp; 520 &amp; | -360 \\\\<br \/>\n2x &amp;=&amp; 160 &amp; | :2 \\\\<br \/>\nx&amp;=&amp;80 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt wissen wir also schon einmal, dass $80$ Schweine auf dem Bauernhof leben. Als n\u00e4chstes setzen wir $x=80$ in die obere Gleichung (Gleichung I) ein, um unsere Anzahl der H\u00fchner zu berechnen:<\/p>\n<p>\\[y=180-80=100\\]<\/p>\n<p>Es leben demnach 80 Schweine und 100 H\u00fchner auf dem Bauernhof.<\/p>\n<p>Wir kontrollieren unsere L\u00f6sung mit Gleichung II:<\/p>\n<p>$4x+2y=4\\cdot 80+2\\cdot 100=320+200=520 $\u00a0\u00a0\u2714<\/p>\n<h3>Beispielaufgabe 1) Lineare Gleichungssysteme<\/h3>\n<p>L\u00f6se das folgende Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren:<\/p>\n<p>$I: \\ 2y-4x=3$<br \/>\n$II: \\ x=y+4$<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels beiden Videos zum LGS l\u00f6sen mit Gau\u00df-Algorithmus an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichungssystem (LGS) l&ouml;sen 1, Gau&szlig;-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_c8ofg4ZxnVM\"><div id=\"lyte_c8ofg4ZxnVM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fc8ofg4ZxnVM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Gleichungssystem (LGS) l\u00f6sen 1, Gau\u00df-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/c8ofg4ZxnVM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fc8ofg4ZxnVM%2F0.jpg\" alt=\"Gleichungssystem (LGS) l&ouml;sen 1, Gau&szlig;-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichungssystem (LGS) l&ouml;sen 2, Gau&szlig;-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_yJ2LHr5YPYM\"><div id=\"lyte_yJ2LHr5YPYM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyJ2LHr5YPYM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Gleichungssystem (LGS) l\u00f6sen 2, Gau\u00df-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/yJ2LHr5YPYM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyJ2LHr5YPYM%2F0.jpg\" alt=\"Gleichungssystem (LGS) l&ouml;sen 2, Gau&szlig;-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wir werden uns in diesem Artikel mit dem Thema Lineare Gleichungssysteme (auch LGS genannt) besch\u00e4ftigen. Was sind lineare Gleichungssysteme? Von einer linearen Gleichung zum Gleichungssyslinetem LGS l\u00f6sen mit Einsetzungsverfahren LGS l\u00f6sen mit Gleichsetzungsverfahren Sonderf\u00e4lle LGS l\u00f6sen mit Additionsverfahren Gau\u00df-Algorithmus Wei\u00dft du noch was eine lineare Gleichung ist? Dabei handelt es sich um eine Gleichung ersten [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":7,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[16,15,17],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>LGS l\u00f6sen inkl. Beispiele und Lernvideos - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Gau\u00df-Algorithmus \u2714 Einsetzungsverfahren \u2714 Gleichsetzungsverfahren \u2714 Additionsverfahren \u2714 Wir zeigen dir, wie man Lineare Gleichungssysteme l\u00f6st.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lgs-loesen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"LGS l\u00f6sen inkl. 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