- \n
- Um welche Art Funktion handelt es sich? An der Anzahl an Unbekannten sehen wir, wie viele Bedingungen aufgestellt werden m\u00fcssen.<\/li>\n
- Ist eine Symmetrie vorhanden?<\/li>\n
- Wird eine Aussage \u00fcber Punkte $f(x)=y$, die Steigung $f'(x)=m$, Extremstellen $f'(x)=0$ oder Wendestellen $f“(x)=0$? getroffen?<\/li>\n
- Alle Informationen\u00a0in mathematische Gleichungen \u00fcbersetzen.<\/li>\n
- LGS aufstellen und l\u00f6sen.<\/li>\n
- Funktionsgleichung aufschreiben und Probe durchf\u00fchren.<\/li>\n<\/ul>\n\n
Beispiel<\/h3>\n
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Koordinatenursprung geht, bei $x=1$ ein Minimum und im Punkt $W(2\/3|2\/27)$ einen Wendepunkt. Wir arbeiten hierf\u00fcr unser obiges Schema ab.<\/p>\n
- \n
- Art der Funktion: Polynom 3. Grades hat die allgemeine Form\n
\\begin{align*}
\nf(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\\\
\nf'(x)&=3ax^2 + 2bx + c \\\\
\nf“(x)&=6ax+2b
\n\\end{align*}<\/p>\nMit $a,\\ b, \\ c$ und $d$ liegen vier Unbekannte vor, die bestimmt werden m\u00fcssen. Wir ben\u00f6tigen also 4 Bedingungen!<\/li>\n
- Aussage \u00fcber Symmetrie nicht vorhanden.<\/li>\n
- Aus „der Graph geht durch den Koordinatenursprung“ folgern wir: (I) $f(0)=0$\n
Minimum an der Stelle $x_E=1$ bringt uns die Info (II) $f'(x_E=1)=0$<\/p>\n
Wendepunkt bei $W(2\/3|2\/27)$ bringt uns die Info (III) $f“(x_W)=0$ und (IV) $f(2\/3)=2\/27$<\/li>\n
- Informationen in LGS aufstellen\n
\\begin{align*}
\n&\\text{(I)} \\quad a\\cdot 0^3+b\\cdot 0^2+c \\cdot 0+d = 0 \\quad \\rightarrow d=0 \\\\ \\\\
\n&\\text{(II)} \\quad a\\cdot (2\/3)^3+b\\cdot (2\/3)^2+c \\cdot (2\/3) = (2\/27) \\\\ \\\\
\n&\\text{(III)} \\quad 3a\\cdot 1^2+ 2b\\cdot 1+c = 0 \\\\ \\\\
\n&\\text{(IV)} \\quad 6a\\cdot (2\/3)+2b = 0
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/li>\n - Das LGS, bestehend aus den Gleichungen (II)-(IV), anschlie\u00dfend l\u00f6sen und wir erhalten f\u00fcr die gesuchten Parameter
\n$a=1 ,\\ b=-2, \\ c=1,$ und $d=0$ und damit die gesuchte Funktion 3. Grades mit<\/p>\n\\begin{align*}
\nf(x)=x^3-2x^2+x
\n\\end{align*}\n<\/li>\n<\/ol>\n![\"Steckbriefaufgaben](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_steckbrief1.png\")
\n<\/div>\nSteckbriefaufgaben mit e-Funktion<\/h2>\n
Bei Steckbriefaufgaben kann auch die $e$-Funktion gesucht sein. Denkt dabei einfach an die ganz normalen Schritte bei Steckbriefaufgaben. Eine allgemeine Funktion k\u00f6nnte die Form<\/p>\n
\\begin{align*}
\nf(x)=a\\cdot e^{-kx}
\n\\end{align*}<\/p>\naufweisen. Die Unbekannten $u,\\ k$ gilt es nun zu ermitteln. Daher muss die Aufgabenstellung zwei Bedingungen hergeben, um die Unbekannten bestimmen zu k\u00f6nnen. In unserem Beispiel soll die Funktion durch die Punkte $P(2|4)$ und $Q(5|200)$ gehen. Wir stellen somit das Gleichungssystem<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\text{I}& \\quad \\quad 4=a \\cdot e^{-2k} \\\\
\n\\text{II}& \\quad 200= a\\cdot e^{-5k}
\n\\end{align*}<\/p>\nauf und l\u00f6sen es nach den Unbekannten $a$ und $k$ auf. Eine M\u00f6glichkeit ist es, Gleichung I nach $a$ umzustellen und in II einzusetzen.<\/p>\n
\\begin{array}{lcrcll}
\n\\text{aus I folgt:} \\quad & & \\frac{4}{e^{-2k}} &= & a & \\quad | umschreiben \\\\
\n& \\Leftrightarrow & 4 \\cdot e^{2k} &= & a & \\\\
\n\\text{in II einsetzen:} \\quad & & 200 & = & 4\\cdot e^{2k}\\cdot e^{-5k} &\\quad | Potenzgesetze \\\\
\n& \\Leftrightarrow & 50 &= & e^{-3k} & \\quad | logarithmieren\\\\
\n& \\Leftrightarrow & ln(50) &= &\u00a0 -3k & \\\\
\n& \\Leftrightarrow & k &\\approx &\u00a0 -1,3 &
\n\\end{array}<\/p>\nWir erhalten dann f\u00fcr $k=-1,3$ und $a=0,3$ und damit lautet die gesuchte Funktion<\/p>\n
\\begin{align*}
\nf(x)= 0,3 \\cdot e^{1,3\\cdot x}
\n\\end{align*}<\/p>\nEin einfacheres Beispiel w\u00e4re es, wenn die gesuchte Funktion die Form<\/p>\n
\\begin{align*}
\nf(x)=4\\cdot e^{-kx}
\n\\end{align*}<\/p>\naufweist und durch den Punkt $P(2|10)$ soll. Warum soll diese Aufgabe einfacher sein? Weil es nur eine Unbekannte $k$ gibt und demnach nur eine Gleichung mit $10=4\\cdot e^{-2k}$ aufgestellt werden muss um $k$ zu bestimmen.<\/p>\n
In dieser Playlist findest du weitere Lernvideos rund um das Thema Steckbriefaufgaben!<\/strong><\/p>\n
Playlist: Steckbriefaufgaben, Funktionen aufstellen, Rekonstruktion, Modellierung<\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div>
- Art der Funktion: Polynom 3. Grades hat die allgemeine Form\n