{"id":24,"date":"2015-03-25T20:49:54","date_gmt":"2015-03-25T19:49:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=24"},"modified":"2019-11-05T17:37:57","modified_gmt":"2019-11-05T16:37:57","slug":"extremwertprobleme","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/extremwertprobleme\/","title":{"rendered":"Extremwertprobleme"},"content":{"rendered":"\n

Bei Extremwertprobleme (auch Optimierungsaufgaben oder Extremwertaufgaben genannt) geht es darum, Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen zu erhalten.<\/p>\n

Man sucht also eine Funktion, die unser Problem beschreibt und nur noch von einer Variablen abh\u00e4ngt. Wenn unsere Funktion von mehreren Variablen abh\u00e4ngt, m\u00fcssen Variablen durch Nebenbedingungen so eliminiert werden, dass nur noch eine Variable vorliegt.<\/p>\n

Wenn z.B. nach maximalen Volumen gefragt wird, ist die Hauptbedingung $V = \\dots$. Soll nach minimaler Oberfl\u00e4che gesucht werden ist die Hauptbedingung $O =\\dots$.<\/p>\n

Die Nebenbedingung enth\u00e4lt Informationen, wie zum Beispiel ein gegebenes Volumen, wenn die Oberfl\u00e4che minimal bzw. maximal werden soll.<\/p>\n

Vorgehensweise bei Extremwertaufgaben<\/h2>\n
    \n
  1. Hauptbedingung aufstellen: Was soll maximal\/minimal werden?<\/li>\n
  2. Rand- bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text!<\/li>\n
  3. Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptbedingung einsetzen $\\Rightarrow$ Zielfunktion.<\/li>\n
  4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen.<\/li>\n
  5. Alle fehlenden Werte bestimmen. (Randwerte beachten!)<\/li>\n<\/ol>\n

    In diesem Themengebiet kommen zwei Aufgabentypen recht h\u00e4ufig vor: K\u00f6rperaufgaben<\/em> und umgangssprachlich Punkt auf Graph-Aufgaben<\/em>.<\/p>\n

    Wir m\u00f6chten an dieser Stelle zun\u00e4chst auf den zweiten Aufgabentypen eingehen. Oft ist hier eine Funktion $f(x)$ vorgegeben, die sich in einem beliebigen Quadranten des Koordinatensystems befindet und in der sich ein Dreieck befindet, dessen H\u00f6he und Breite abh\u00e4ngig von der Funktion $f$ ist. Genau so ein Fall wird im folgenden Beispiel behandelt.<\/p>\n

    \n

    Beispiel<\/h3>\n

    Gegeben sei die Funktion $f(x)$ im ersten Quadranten. Welche Koordinaten muss der Punkt $P$ besitzen, damit der Fl\u00e4cheninhalt des grau schraffierten Dreiecks maximal ist?<\/p>\n

    \"Extremwertprobleme<\/p>\n

    Hauptbedingung:<\/strong>
    \nUnsere Hauptbedingung ist demnach der\u00a0Fl\u00e4cheninhalt des Dreiecks:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \nA_\\Delta=\\frac{1}{2}\\cdot g \\cdot h
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Die Nebenbedingung ist in diesem Fall, dass der Punkt $P$ auf dem Funktionsgraphen liegen muss.<\/p>\n

    Das ist eine n\u00fctzliche Information, denn so k\u00f6nnen wir die Grundseite $g$ und die H\u00f6he $h$ in der Formel durch die Koordinaten von $P$ ersetzen:<\/p>\n

    Nebenbedingung:<\/strong>
    \n\\begin{align*}
    \ng=u \\ \\ \\textrm{und} \\ \\\u00a0h=f(u)=-\\frac{1}{6}u^2+4,5
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Anschlie\u00dfend die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und wir erhalten die Zielfunktion:<\/p>\n

    \\begin{align*}
    \nA_\\Delta(u) =\\frac{1}{2}\\cdot u \\cdot\\left( -\\frac{1}{6}u^2+4,5 \\right) =-\\frac{1}{12}u^3+2,25 u
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Unsere Zielfunktion ist nur noch abh\u00e4ngig von der Unbekannten $u$. Wir untersuchen die Funktion nun auf Extremstellen.<\/p>\n

    Die notwendige Bedingung:<\/strong>
    \n\\begin{align*}
    \nA’_\\Delta(u) = -\\frac{1}{4} u^2+2,25=0
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    liefert die beiden m\u00f6glichen Extremstellen $u_1=3$ und $u_2=-3$.<\/p>\n

    Da wir uns laut Aufgabentext im ersten Quadranten befinden haben wir nur die L\u00f6sung $u_1=3$.<\/p>\n

    Die Pr\u00fcfung, ob wirklich ein Maximum vorliegt, wird mit der zweiten Ableitung gemacht und liefert $A“_\\Delta(u_1=3)=-3\/2<0$.<\/p>\n

    F\u00fcr $u_1=3$ ist die Zielfunktion, also die Fl\u00e4che des Dreiecks, wirklich maximal! Den meisten Lehrern reicht dieser Nachweis aus und ihr m\u00fcsst jetzt\u00a0noch die restlichen Werte bestimmen, hier die $y$-Koordinate von $P$: $f(3)=3$. Damit lautet der Punkt, der zur maximalen Fl\u00e4che des Dreiecks f\u00fchrt $P(3|3)$.<\/p>\n

    Ab und zu wird noch der Nachweis gefordert, ob es sich tats\u00e4chlich um ein globales Maximum handelt. Um das zu pr\u00fcfen, schauen wir uns das Verhalten der Funktion $A(u)$ an den Randwerten an. Doch was sind unsere Randwerte? Da wir uns laut Aufgabenstellung im ersten Quadranten befinden, ist der zul\u00e4ssige Definitionsbereich zwischen 0 und der Nullstelle der Funktion $f(x)$, also: $D = [0; 5{,}2]$. An den R\u00e4ndern gilt $\\lim_{u \\to 0} A(u)=\\lim_{u \\to 5{,}2} A(u) = 0 $. Da $A(u)$ in $D = [0; 5{,}2]$ \u00a0differenzierbar ist, gibt es in \u00a0$D $\u00a0au\u00dfer bei \u00a0$u = 3$\u00a0kein weiteres Maximum.<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    In der folgenden Abbildung findet ihr weitere typische Beispiele zu Extremwertaufgaben mit den dazugeh\u00f6rigen Zielfunktionen.<\/p>\n

    Die gr\u00f6\u00dfte Schwierigkeit ist in der Regel, die Zielfunktion zu bestimmen. Diese Funktionen dann auf Extremstellen zu untersuchen, ist dann nicht mehr das Problem.<\/p>\n

    \"Extremwertaufgaben<\/p>\n<\/div>\n

    Hier eine vollst\u00e4ndige Playlist mit Lernvideos zum Thema Extremwertprobleme.<\/strong><\/p>\n

    Playlist: Extremwertprobleme, Optimierungsprobleme, Maximierung, Minimierung, Analysis<\/div><\/div>
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