{"id":28,"date":"2015-03-25T20:52:12","date_gmt":"2015-03-25T19:52:12","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=28"},"modified":"2018-11-22T16:53:56","modified_gmt":"2018-11-22T15:53:56","slug":"ln-funktion","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ln-funktion\/","title":{"rendered":"ln-Funktion"},"content":{"rendered":"\n<p>Eine Funktion hei\u00dft <em>Logarithmusfunktion<\/em> (zur Basis $a$), wenn sie allgemein die Form<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\nf(x) = log_a(x), \\ x \\in (0,\\infty)<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p>aufweist, wobei $a$ eine beliebige positive Konstante bezeichnet.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3150\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu.png\" alt=\"ln-Funktion\" width=\"359\" height=\"183\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu.png 359w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu-300x153.png 300w\" sizes=\"(max-width: 359px) 100vw, 359px\" \/><\/p>\n<p>In den speziellen F\u00e4llen $a = e$, $a = 10$ und $a = 2$ spricht man von<\/p>\n<ul>\n<li>$f(x)= \\ln(x)$, als &#8222;nat\u00fcrlichen Logarithmus&#8220;,<\/li>\n<li>$f(x) = lg(x)$, als &#8222;dekadischen Logarithmus&#8220; bzw.<\/li>\n<li>$f(x) = ld(x)$, als &#8222;dyadischen Logarithmus&#8220;.<\/li>\n<\/ul>\n<p>In der Regel rechnen wir aber mit dem nat\u00fcrlichen Logarithmus. Falls aber mal der Fall auftreten sollte &#8211; und das k\u00f6nnte er &#8211;\u00a0dass kein nat\u00fcrlicher Logarithmus vorliegt, kann dieser mit einfachen Mitteln wie folgt umgeschrieben werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nlog_a(x)=\\frac{\\ln(x)}{\\ln(a)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Ein weiterer n\u00fctzlicher Zusammenhang ist<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ne^{\\ln(x)}=x \\ \\textrm{bzw.} \\ \\ln(e^x)=x,<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>der gerade im Bereich &#8222;L\u00f6sen von Gleichungen&#8220; \u00e4u\u00dferst wichtig ist.<\/p>\n\n<h2> Logarithmengesetze<\/h2>\n<ul>\n<li>$\\ln(ab)=\\ln(a)+\\ln(b)$<\/li>\n<li>$\\ln(\\frac{a}{b})=\\ln(a)-\\ln(b)$<\/li>\n<li>$\\ln(a^b)=b\\cdot \\ln(a)$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Video zum Thema ln-Funktion an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"ln(x), Grundlagen, Basics, nat&uuml;rliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_XAJdf9QP-XU\"><div id=\"lyte_XAJdf9QP-XU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXAJdf9QP-XU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">ln(x), Grundlagen, Basics, nat\u00fcrliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XAJdf9QP-XU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXAJdf9QP-XU%2F0.jpg\" alt=\"ln(x), Grundlagen, Basics, nat&uuml;rliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2>Untersuchung von ln-Funktion<\/h2>\n<p>Bei Logarithmusfunktionen ist oft der maximale Definitionsbereich stark eingeschr\u00e4nkt und das Verhalten der Funktionen<br \/>\nan den R\u00e4ndern des Definitionsbereiches nicht unmittelbar ersichtlich. Besonders beim Ableiten k\u00f6nnen Umformungen des Funktionsterms die Anwendung\u00a0von aufw\u00e4ndigeren Ableitungsregeln vermeiden.<\/p>\n<p><strong>Grundlagen<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Da $\\ln(x)$ nur f\u00fcr $x&gt;0$ definiert ist, wird zuerst die Definitionsmenge von $f$ bestimmt.<\/li>\n<li>Wichtige Punkte der Funktion $\\ln(x)$ sind $\\ln(1)=0$ und $\\ln(e)=1$.<\/li>\n<li>Den Funktionsterm $f(x)$ kann man mit den Logarithmengesetzen, die wir schon kennengelernt haben,<br \/>\neventuell vereinfachen.<\/li>\n<li>F\u00fcr $x \\to 0$ strebt $\\ln(x) \\to &#8211; \\infty$.<br \/>\nF\u00fcr $x \\to + \\infty$ strebt $\\ln(x) \\to + \\infty$.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>In Daniels Playlist zur ln-Funktion findest du viele weitere Lernvideos.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"ln(x), Grundlagen, Basics, nat&uuml;rliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_XAJdf9QP-XU\"><div id=\"lyte_XAJdf9QP-XU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXAJdf9QP-XU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">ln(x), Grundlagen, Basics, nat\u00fcrliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XAJdf9QP-XU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXAJdf9QP-XU%2F0.jpg\" alt=\"ln(x), Grundlagen, Basics, nat&uuml;rliche Logarithmusfunktion | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Eine Funktion hei\u00dft Logarithmusfunktion (zur Basis ), wenn sie allgemein die Form \\begin{align} f(x) = log_a(x), \\ x \\in (0,\\infty) \\end{align} aufweist, wobei eine beliebige positive Konstante bezeichnet. 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Hier findest du kostenlose Lernvideos, Beispiele und einfache Erl\u00e4rungen in deiner Sprache.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ln-funktion\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"ln-Funktion inkl. Lernvideos und Beispielen - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Du brauchst Hilfe bei der Berechnung der ln-Funktion? 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