{"id":30,"date":"2015-03-25T20:52:23","date_gmt":"2015-03-25T19:52:23","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=30"},"modified":"2018-06-14T15:52:48","modified_gmt":"2018-06-14T13:52:48","slug":"rationale-funktionen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/rationale-funktionen\/","title":{"rendered":"Rationale Funktionen (Bruchfunktion)"},"content":{"rendered":"\n<p>Bei rationalen Funktionen sind h\u00e4ufig Bruchgleichungen zu l\u00f6sen. Gemeint sind Gleichungen der Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) = \\frac{a x\u00b2 + b x + c}{d x + e} = \\frac{\\textrm{Zaehler}(x)}{\\textrm{Nenner}(x)}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n\n<p>Es handelt sich also um Quotienten (<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/brueche-rechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Br\u00fcche<\/a>) von zwei Polynomen (ganzrationalen Funktionen).<\/p>\n<p>Hierbei sollte zun\u00e4chst immer der Definitionsbereich $\\mathbb{D}$ bestimmt werden, da nicht durch Null geteilt werden darf.<br \/>\nWenn nichts anderes vorgegeben ist, k\u00f6nnen wir zun\u00e4chst alle reellen Zahlen $\\mathbb{R}$ einsetzen.<\/p>\n<h2>Rationale Funktionen Untersuchen<\/h2>\n<p>Die Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen erfolgt im Prinzip wie bei den ganzrationalen Funktionen, doch haben gebrochenrationale Funktionen h\u00e4ufig\u00a0Definitionsl\u00fccken, an denen ihr Graph oft eine senkrechte Asymptote besitzt.<\/p>\n<p><strong>Basics:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Die Untersuchung der <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Nullstellen<\/a> des Nenners von $f(x)$ liefert den maximalen Definitionsmenge, siehe Kurvendiskussion &#8211; Definitionsbereich.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>An den Definitionl\u00fccken liegt dann ein <strong>Pol<\/strong>\u00a0vor, wenn die Nullstelle des Nenners keine Nullstelle des Z\u00e4hlers ist. Der Graph hat an den Polen <strong>senkrechte Asymptoten<\/strong>. Eine Asymptote ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen ann\u00e4hert.<br \/>\nIn anderen Worten: Bei Asymptoten handelt es sich um sogenannte Definitionsl\u00fccken, da wir, egal welcher Wert in die Funktion eingesetzt wird, den entsprechenden Wert der Asymptote nicht herausbekommen werden.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Man untersucht die Funktionswerte $f(x)$ in der Umgebung eines Pols $x_0$, um zu erkennen, ob $f(x) \\to + \\infty$ oder<br \/>\n$f(x) \\to &#8211; \\infty$ f\u00fcr $x \\to x_0$ gilt. Dabei muss man sich dem Pol von rechts und links ann\u00e4hern.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Verhalten f\u00fcr $x \\to \\pm \\infty$ wird durch den Grad $m$ des Polynoms im Z\u00e4hler (also auf dem Bruch) und den Grad\u00a0$n$ des Polynoms im Nenner (also unter dem Bruch) bestimmt.<\/p>\n<p><strong>Es gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Ist $m&lt;n$, so strebt $f(x) \\to 0$ und die $x$-Achse ist die <strong>waagerechte Asymptote<\/strong>\u00a0des Graphen $K$.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Ist $m=n$, so strebt $f(x) \\to c$, wobei $c$ der Quotient der Koeffizienten der h\u00f6chsten Potenzen von $x$ im Z\u00e4hler<br \/>\nund Nenner ist. Die Gerade mit der Gleichung $y=c$ ist die <strong>waagerechte Asymptote<\/strong> von $K$. Da es sich um eine waagerechte Asymptote handeln soll,<br \/>\nhei\u00dft das, dass die Asymptote bzw. die gesuchte Gerade einen waagerechten Verlauf haben soll, das hei\u00dft parallel zur x-Achse verlaufen muss, um als eine waagerechte Asymptote aufgefasst zu werden.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Ist $m=n+1$, so hat $K$ eine <strong>schiefe Asymptote<\/strong>, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt werden muss.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Ist $m&gt;n+1$, so hat $K$ eine <strong>N\u00e4herungskurve vom Grad m-n<\/strong>, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt wird.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir nochmal das Thema Rationale Funktionen in seinem Lernvideo.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Rationale Funktionen, &Uuml;bersicht, echt, unecht, Mathematik | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_5yNQTUdpX2s\"><div id=\"lyte_5yNQTUdpX2s\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F5yNQTUdpX2s%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Rationale Funktionen, \u00dcbersicht, echt, unecht, Mathematik | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/5yNQTUdpX2s\" rel=\"nofollow\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F5yNQTUdpX2s%2F0.jpg\" alt=\"Rationale Funktionen, &Uuml;bersicht, echt, unecht, Mathematik | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2>Tipps zum Umgang mit rationalen Funktionen<\/h2>\n<p>Beim Verlauf gebrochenrationaler Funktionen gibt es viel mehr Variationen als bei ganzrationalen Funktionen.<br \/>\nAuch euer Taschenrechner hilft hier nur dann weiter, wenn man bereits etwas \u00fcber den Verlauf ahnt.<\/p>\n<ul>\n<li>Ist der Grad des Polynoms im Z\u00e4hler gr\u00f6\u00dfer als der Grad des Polynoms im Nenner, so wird der Funktionsterm $f(x)$ durch Polynomdivision umgeformt.<br \/>\nAm umgeformten Funktionsterm erkennt man unmittelbar eine Gleichung der schiefen Asymptote oder des Graphen einer ganzrationalen N\u00e4herungsfunktion.<\/li>\n<li>Man sollte sich \u00fcberlegen, ob sich f\u00fcr $x \\to \\pm \\infty$ ein Graph an eine Asymptote oder N\u00e4herungskurve von oben oder von unten ann\u00e4hert.<\/li>\n<li>Das Ableiten von $f(x)$ ist nach der Polynomdivision meist einfacher.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Bei $f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}$ sind praktisch immer die Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Der Graph $K$ von $f$ ist\n<ul>\n<li><strong>achsensymmetrisch<\/strong> zur Geraden mit der Gleichung $x=c$, wenn gilt $f(c+x)=f(c-x)$.<\/li>\n<li><strong>punktsymmetrisch<\/strong> zum Punkt $Z(c|d)$, wenn gilt $\\frac{1}{2}(f(c+x)+f(c-x))=d$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung das Lernvideo von Daniel zum Thema gebrochenrationale Funktionen.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Rationale, gebrochenrationale Funktionen, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_WN47VxNcNp8\"><div id=\"lyte_WN47VxNcNp8\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FWN47VxNcNp8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Rationale, gebrochenrationale Funktionen, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/WN47VxNcNp8\" rel=\"nofollow\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FWN47VxNcNp8%2F0.jpg\" alt=\"Rationale, gebrochenrationale Funktionen, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bei rationalen Funktionen sind h\u00e4ufig Bruchgleichungen zu l\u00f6sen. 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