<\/div>
\n<\/p>\n
\n
Berechnung der Fl\u00e4che zwischen Graph und x-Achse mit Hilfe der Integralrechnung<\/h2>\n
Vorgehen:<\/strong><\/p>\n\n- Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten.<\/li>\n
- Ist die Fl\u00e4che stets oberhalb der x-Achse kannst du ganz normal das Integral berechnen.<\/li>\n<\/ul>\n
Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat, ist ein Teil der Fl\u00e4che unterhalb der x-Achse und eine Fl\u00e4che oberhalb $x$-Achse. Die Fl\u00e4che unterhalb der x-Achse muss dann im Betrag genommen werden.<\/p>\n
![\"Integralrechnung](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_int_flaeche.png\")
<\/p>\n
\n
\nBeispiel 1<\/strong>
\nGegeben sei die Funktion $f(x)=-x^2+7x-10$ (siehe Abbildung). Es soll die Fl\u00e4che berechnet werden, die von dem Graph und der x-Achse eingeschlossen wird. Zun\u00e4chst werden die Nullstellen berechnet: $x_1=2$ und $x_2=5$. Das sind gleichzeitig unsere Integrationsgrenzen.<\/p>\nL\u00f6sung Beispiel 1<\/strong>
\nEs folgt f\u00fcr die Fl\u00e4che:<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\int\\limits_2^5 -x^2+7x-10\\\u00a0\\textrm{d}x &= \\left[ -\\frac{x^3}{3}+\\frac{7x^2}{2}-10x \\right]_2^5 \\\\
\n&= \\left( -\\frac{5^3}{3} + \\frac{7 \\cdot 5^2}{2}-10 \\cdot 5 \\right) – \\left( -\\frac{2^3}{3} + \\frac{7 \\cdot 2^2}{2} – 10 \\cdot 2 \\right) \\\\
\n&= 4,5 \\ [\\textrm{FE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBeispiel 2<\/strong>
\nBestimme die Fl\u00e4che, welche vom Graphen der Funktion $f(x)=-0,5x^2+3x-2,5$ und der x-Achse eingeschlossen wird.<\/p>\nL\u00f6sung Beispiel 2<\/strong>
\nZuerst setzen wir die Funktion „gleich 0“ und erhalten durch gekonntes Rechnen die Nullsten $x_1=1$ und $x_2=5$. Anschlie\u00dfend folgt die Berechnung der Fl\u00e4cheninhalte:<\/p>\n\\begin{align*}
\nA=\\int_1^5-0,5x^2+3x-2,5 \\textrm{d}x=\\Bigg[-\\frac{1}{6}x^3+\\frac{3}{2}x^2-2,5x\\bigg]_1^5=\\frac{16}{3}[FE]
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBeispiel 3<\/strong>
\nBestimme die Fl\u00e4che, welche vom Graphen der Funktion $f(x)=0,5x^3-x^2-4x$ und der x-Achse eingeschlossen wird.<\/p>\nL\u00f6sung Beispiel 3<\/strong>
\nWir gehen genauso wie im vorherigen Beispiel vor und bestimmen zun\u00e4chst die Nullstellen der Funktion.
\nNullstellen: $x_1=-2, x_2=0$ und $x_3=4$. Es folgt f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt:<\/p>\n![\"Fl\u00e4cheninhalt-Integrale](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/fl\u00e4cheninhalt-Integrale.png\")
<\/p>\n
\nBeispiel 4<\/strong>
\nIn der nachfolgenden\u00a0Abbildung soll die Fl\u00e4che einer Funktion f(x) im Intervall [2,4] bestimmt werden.
\n![\"Integralrechnung](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp52-300x193.png\")
<\/p>\nBeispiel 4<\/strong>
\nDer Ausdruck $\\int_2^4 f(x)\\\u00a0\\textrm{d}x = -6$ gibt hierbei nicht den gesuchten Fl\u00e4cheninhalt an, sondern den Integralwert!
\nAus diesem Grund ist die Berechnung der Nullstellen wichtig. Da eine Nullstelle bei x=2,5 vorliegt, also innerhalb unserer Integrationsgrenzen, gibt es einen Vorzeichenwechsel und ein Teil des Graphen muss unterhalb der x-Achse liegen.<\/p>\nTipp: Teilfl\u00e4che von unterer Grenze zu Nullstelle $A_1$ und von Nullstelle zu oberer Grenze $A_2$ berechnen. Es folgt mit<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA_1 = \\int_2^{2,5} f(x) \\\u00a0\\textrm{d}x = 1\\ [\\textrm{FE}]\u00a0\\quad \\textrm{und} \\quad
\nA_2 = \\int_{2,5}^4 f(x) \\\u00a0\\textrm{d}x = |-7| = 7\\ [\\textrm{FE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
der gesuchte Fl\u00e4cheninhalt $A_{ges} = A_1 + A_2 = 8$ [FE].<\/p>\n
\nBeispiel 5<\/strong>
\nBestimme f\u00fcr die Funktion $f(x)=-x^3+6x^2-8x$ den Fl\u00e4cheninhalt zwischen dem Graph der Funktion f(x) und der x-Achse im vorgegebenen Intervall I=[1,3].<\/p>\n\nL\u00f6sung Beispiel 5<\/strong>
\nZuerst m\u00fcssen wir die Nullstellen der Funktion bestimmen. Diese lauten $x_1$=0, $x_2$=2 und $x_3$=4.
\nWICHTIG! Wie bei genauerem Hinsehen zu erkennen ist, befindet sich die Nullstelle $x_3$ nicht in dem Intevall I. Somit ergibt sich folgende Rechnung:<\/p>\n\\begin{align*}
\n&A=\\left\\lvert \\int_1^2 \\ -x^3+6x^2-8x \\ \\textrm{d}x \\right\\rvert + \\left\\lvert \\int_2^3 \\ -x^3+6x^2-8x \\ \\textrm{d}x \\right\\rvert \\\\
\n&=\\left\\lvert \\Bigg[-\\frac{1}{4}x^4+2x^3-4x^2\\bigg]_1^2 \\right\\rvert + \\left\\lvert \\Bigg[-\\frac{1}{4}x^4+2x^3-4x^2\\bigg]_2^3\u00a0\\right\\rvert \\\\
\n&=\\left\\lvert -\\frac{7}{4} \\right\\rvert + \\left\\lvert \\frac{7}{4} \\right\\rvert = \\frac{7}{2} \\textrm{[FE]}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\nFl\u00e4che zwischen zwei sich schneidenden Graphen berechnen<\/h2>\n
Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und $f(x)\u00a0\\ge g(x)$ f\u00fcr alle x in [a; b],
\ndann ist die Fl\u00e4che, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA=\\int_a^b (f(x)-g(x)) \\\u00a0\\textrm{d}x=[F(x)-G(x)]|_a^b =(F(b)-G(b))-(F(a)-G(a)).
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nBeispiel 1<\/strong>
\nBestimme den Fl\u00e4cheninhalt, der von den Funktionen<\/p>\n\\begin{align*}
\nf(x) = -\\frac{x^2}{12}+5 \\quad \\textrm{und} \\quad
\ng(x) = \\frac{x^2}{6}+1
\n\\end{align*}<\/p>\n
eingeschlossen wird.<\/p>\n
L\u00f6sung Beispiel 1<\/strong>
\nHierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir zun\u00e4chst die Schnittpunkte der beiden Funktionen.<\/p>\n![\"Integralrechnung](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_integral_2graphen.png\")
<\/p>\n
Dazu setzen wir beide Funktionen gleich und erhalten<\/p>\n
\\begin{align*}
\nf(x)&=g(x) \\\\
\n-\\frac{x^2}{12}+5 &= \\frac{x^2}{6}+1 \\\\
\nx_1=-4 \\ &\\wedge \\ x_2=4
\n\\end{align*}<\/p>\n
Nun haben wir alle Informationen um die Fl\u00e4che zwischen den beiden Graphen durch folgendes Integral zu berechnen:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\int_{-4}^4 (f(x)-g(x))\\ \\textrm{d} x = \\int_{-4}^4 -\\frac{x^2}{12}+5 – (\\frac{x^2}{6}+1)\\ \\textrm{d}\u00a0x = \\int_{-4}^4 -\\frac{x^2}{4}+4 \\ \\textrm{d}\u00a0x
\n\\end{align*}<\/p>\n
Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus der oberen Funktion die untere. Man w\u00fcrde nun einen negativen Fl\u00e4cheninhalt herausbekommen, also m\u00fcssen Betragsstriche gesetzt werden.<\/p>\n
Vorgehen<\/strong>:<\/p>\n\n- Schnittstellen finden<\/li>\n
- Teilintegrale aufstellen und Betragsstriche setzen.<\/li>\n<\/ol>\n
Dann weiter vorgehen wie in dem Beispiel zuvor.<\/p>\n
\nBeispiel 2<\/strong>
\nBestimme den Fl\u00e4cheninhalt zwischen den Graphen von f(x)<\/strong> und g(x)<\/strong>.<\/p>\na)
\n$f(x)=x^3-6x^2+9x \\text{ und } g(x)=-0,5x^2+2x$<\/p>\n
b)
\n$f(x)=-x^2+4 \\text{ und } g(x)=-x^4+4x^2$<\/p>\n
L\u00f6sung zu 2a)<\/strong><\/p>\nSchnittpunkte von f und g: $x_1$=0, $x_2$=2 und $x_3$=3,5. Es folgt f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA&= \\left| \\int_0^2 f(x)-g(x) \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{2}^{3,5} f(x)-g(x) \\ \\textrm{d}x \\right| \\\\
\n&= \\left| \\int_0^2 x^3-5,5x^2+7x \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{2}^{3,5} x^3-5,5x^2+7x \\ \\textrm{d}x \\right| \\\\
\n&= \\left| \\left[ \\frac{1}{4}x^4-\\frac{11}{6}x^3+\\frac{7}{2}x^2 \\right]_0^2 \\right|+ \\left| \\left[ \\frac{1}{4}x^4-\\frac{11}{6}x^3+\\frac{7}{2}x^2 \\right]_{2}^{3,5} \\right| \\\\
\n&= \\left| \\frac{10}{3} \\right|+\\left| -\\frac{99}{64} \\right| \\approx 4,88 \\ [\\textrm{FE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
L\u00f6sung zu 2b):<\/strong><\/p>\nSchnittpunkte von f und g: $x_1=-2$, $x_2=-1$, $x_3=1$ und $x_4=2$. Es folgt f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA&= \\left| \\int_{-2}^{-1} f(x)-g(x) \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{-1}^{1} f(x)-g(x) \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{1}^{2} f(x)-g(x) \\ \\textrm{d}x \\right| \\\\
\n&= \\left| \\int_{-2}^{-1} x^4-5x^2+4 \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{-1}^{1} x^4-5x^2+4 \\ \\textrm{d}x \\right| + \\left| \\int_{1}^{2} x^4-5x^2+4 \\ \\textrm{d}x \\right| \\\\
\n&= \\left| \\left[ \\frac{1}{5}x^5-\\frac{5}{3}x^3+4x \\right]_{-2}^{-1} \\right|+ \\left| \\left[\\frac{1}{5}x^5-\\frac{5}{3}x^3+4x \\right]_{-1}^{1} \\right| + \\left| \\left[\\frac{1}{5}x^5-\\frac{5}{3}x^3+4x \\right]_{1}^{2} \\right| \\\\
\n&= \\left| -\\frac{22}{15} \\right|+\\left| \\frac{76}{15} \\right| +\\left| -\\frac{22}{15} \\right| =8 \\ [\\textrm{FE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\nPartielle Integration<\/h2>\n
Die partielle Integration<\/strong>, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine M\u00f6glichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen.
\nSie ist quasi das Gegenst\u00fcck zur Produktregel beim Ableiten.<\/p>\n\\begin{align*}
\n&\\int_a^b u(x) \\cdot v'(x) \\ \\textrm{d} x= \\left[ u(x) \\cdot v(x) \\right]_a^b – \\int_a^b u'(x) \\cdot v(x) \\ \\textrm{d}\u00a0x
\n\\end{align*}<\/p>\n
Die partielle Integration wird stets bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet, wobei von einem Faktor die Stammfunktion bekannt ist (v'(x)) und man die Hoffnung hat, dass durch die Ableitung des anderen Faktors (u(x)) das Integral einfacher wird.<\/p>\n
Warum hei\u00dft es eigentlich partielle Integration? Weil ein Teil des Ingetrals $\\left[ u(x) \\cdot v(x) \\right]_a^b$ gel\u00f6st wird und der andere Teil noch ein Integral $\\int_a^b u'(x) \\cdot v(x) \\ \\textrm{d} x$ beinhaltet. Die Schwierigkeit ist es zu entscheiden, welcher Teil u(x) ist und welcher v'(x). Unter Umst\u00e4nden kann es n\u00e4mlich sein, dass das Integral bei falscher Wahl nicht zu l\u00f6sen ist. Die Frage die wir uns stellen m\u00fcssen: Die Ableitung welches Faktors vereinfacht das Integral?<\/p>\n
Allgemeines Vorgehen:<\/strong><\/p>\n\n- \u00dcberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Danach u(x) und v'(x) festlegen.<\/li>\n
- Ableitung u'(x) bestimmen.<\/li>\n
- Stammfunktion v(x) bestimmen.<\/li>\n
- Ergebnisse in Formel einsetzen.<\/li>\n<\/ol>\n\n
\nBeispiel 1<\/strong>
\nBestimme das Integral der Funktion $f(x)=x\\cdot e^x$ in den Grenzen [0;2].<\/p>\nL\u00f6sung Beispiel 1<\/strong>
\nZun\u00e4chst schreiben wir auf, was wir machen sollen. Das Integral soll schlie\u00dflich gebildet werden.<\/p>\n\\begin{align*}
\n\\int_0^2 \\left(x\\cdot e^x \\right) \\ \\textrm{d} x = ?
\n\\end{align*}<\/p>\n
Doch an dieser Stelle kommen wir mit unseren einfachen Methoden zur Bildung der Stammfunktion nicht weiter. Die Funktion f(x) ist n\u00e4mlich ein Produkt der beiden Funktionen x und $e^x$. Wir wenden also die partielle Integration an, um die Aufgabe zu l\u00f6sen. Daf\u00fcr gehen wir die obigen Schritte aus dem Vorgehen ab. 1. Wir \u00fcberlegen: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Die Ableitung von x ist 1. Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.
\nDa $e^x$ auch einfach integrierbar ist folgt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&u(x)=x \\longrightarrow u'(x)=1 \\quad \\textrm{und} \\quad v'(x)=e^x \\longrightarrow v(x)=e^x \\\\
\n&\\Rightarrow \\int_0^2 \\left(x\\cdot e^x \\right) \\ \\textrm{d} x = [x\\cdot e^x]_0^2 – \\int_0^2 (1\\cdot e^x) \\ \\textrm{d}x = [x\\cdot e^x]_0^2 -[e^x]_0^2 = e^2 +1
\n\\end{align*}<\/p>\n
Tipp<\/strong>:\u00a0Wenn die Aufgabe nicht l\u00f6sbar ist mit der Wahl von u und v‘, sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren. Generell werden Potenzen $x^n$ oder Umkehrfunktionen wie $\\ln(x)$ oder $\\arcsin(x)$ durch Ableiten einfacher und Funktionen wie $e^x$ oder $\\sin(x)$ durch Integrieren nicht komplizierter.<\/p>\n
\nBeispiel 2<\/strong>
\nBestimme eine Stammfunktion von der Funktion f mit Hilfe der partiellen Integration.<\/p>\n\\begin{align*}
\n&a) f(x)=2xe^x \\\\ \\\\
\n&b) f(x)=(x-2)e^{2x} \\\\ \\\\
\n&c) f(x)=5xe^{3x+2} \\\\ \\\\
\n&d) f(x)=1\\cdot \\ln(x) \\\\ \\\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
L\u00f6sungen Beispiel 2<\/strong>
\n\\begin{align*}
\na)
\n&\\int \\underbrace{2x}_u \\cdot \\underbrace{e^x}_{v‘} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= 2xe^x- \\int 2e^x \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= 2xe^x- 2e^x \\\\ \\\\
\n&= e^x (2x-2)
\n\\end{align*}<\/p>\n\\begin{align*}
\nb)
\n&\\int \\underbrace{(x-2)}_u \\cdot \\underbrace{e^{2x}}_{v‘} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= \\frac{1}{2}(x-2)e^{2x} – \\int \\frac{1}{2} e^{2x} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= \\frac{1}{2}(x-2)e^{2x} – \\frac{1}{4} e^{2x} \\\\ \\\\
\n&= \\frac{(2x-5)e^{2x}}{4} \\\\ \\\\
\n&= \\left( \\frac{1}{2}x-\\frac{5}{4} \\right) e^{2x}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\\begin{align*}
\nc)
\n&\\int \\underbrace{5x}_u \\cdot \\underbrace{e^{3x+2}}_{v‘} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= \\frac{1}{3}5xe^{3x+2} – \\int \\frac{1}{3} 5e^{3x+2} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= \\frac{5}{3} xe^{3x+2} – \\frac{5}{9}e^{3x+2} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= \\left( \\frac{5}{3}x – \\frac{5}{9} \\right) e^{3x+2}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\\begin{align*}
\nd)
\n&\\int \\underbrace{1}_{v‘} \\cdot \\underbrace{\\ln(x)}_{u} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= x\\ln(x)- \\int x\\cdot \\frac{1}{x} \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= x\\ln(x)- \\int 1 \\ \\textrm{d}x \\\\ \\\\
\n&= x\\ln(x)-x
\n\\end{align*}<\/p>\n
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