{"id":34,"date":"2015-03-25T20:52:46","date_gmt":"2015-03-25T19:52:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=34"},"modified":"2018-11-12T15:29:13","modified_gmt":"2018-11-12T14:29:13","slug":"funktionsschar","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/","title":{"rendered":"Funktionsschar"},"content":{"rendered":"\n<p>Das Thema Funktionsschar wird euch sicherlich in der Oberstufe vor dem Abitur begegnen. Damit ihr in Zukunft genau bescheid wisst, haben wir euch alles rund um das Thema Funktionsschar in diesem Artikel zusammengefasst.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#scharfunktion-grundlagen\">Scharfunktion Grundlagen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fallunterscheidung\">Fallunterschreidung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ableiten\">Ableiten und Integrieren der Funktionsschar<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ortskurve\">Ortskurve der Funktionsschar<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"scharfunktion-grundlagen\">Scharfunktion Grundlagen<\/h2>\n<p>Wenn man Berechnungen an- und mit Funktionsschar durchf\u00fchren muss, dann ist das Erste was meist gefragt wird: Was soll denn der Buchstabe da, der nicht x ist?<\/p>\n<p>Und wenn wir jetzt eine <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kurvendiskussion\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Kurvendiskussion<\/a> einer solchen Funktionsschar durchf\u00fchren, berechnen wir damit unendlich viele Kurvenuntersuchungen auf einmal, da wir im Nachhinein eine konkrete Zahl f\u00fcr unseren Parameter einsetzen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Ist die Funktion linear, spricht man auch von einer Geradenschar. Im Allgemeinen ver\u00e4ndern die Parameter das Aussehen und die Form der Kurve auf eine Weise, die komplizierter als eine einfache lineare Transformation ist. <\/p>\n<p>In der folgenden Abbildung sind f\u00fcr zwei Funktionsschar verschiedene Parameter eingesetzt worden.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3222\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt-1024x329.png\" alt=\"Funktionsschar\" width=\"748\" height=\"241\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt-1024x329.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt-300x96.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt-768x247.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt.png 1713w\" sizes=\"(max-width: 748px) 100vw, 748px\" \/><\/p>\n<p>Beim Schreiben der Funktionsvorschrift wird der variable Parameter in den Index geschrieben, z.B.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf_a(x) = a x\u00b2 &#8211; 2 a x+4 a.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beachtet: Der Parameter ist zu behandeln wie eine ganz gew\u00f6hnliche Zahl!<\/p>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"fallunterscheidung\">Fallunterscheidung bei Funktionsschar<\/h2>\n<p>Eine Schwierigkeit beim Rechnen mit einer Funktionsschar taucht oft bei der Berechnung ihrer Nullstellen auf, vor allem wenn der Scharparameter &#8222;drin&#8220; geblieben ist.\u00a0In diesem Fall kommt dann die Fallunterscheidung zum Einsatz.<\/p>\n<p>Warum m\u00fcssen wir verschiedene F\u00e4lle betrachten? Ihr solltet immer im Hinterkopf haben, dass der Parameter verschiedene Werte annehmen kann. Nur Zahlen gr\u00f6\u00dfer Null? Kann der Parameter Null sein oder sogar kleiner Null? Das sollte in der Regel im Aufgabentext vorgegeben sein.<\/p>\n<p><strong>Gegeben sei die Funktionsschar<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf_a(x)=(a-1)x^3-4ax<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit dem Parameter $a$.\u00a0Wenn<\/p>\n<ol>\n<li>$a &gt; 0$ bzw. $a \\in \\mathbb{R}^+$: keine Fallunterscheidung n\u00f6tig<\/li>\n<li>$a \\in \\mathbb{R}$ oder $a \\neq 0$: Parameter a kann auch negativ Werte annehmen! Hier ist eine Fallunterscheidung n\u00f6tig.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Gr\u00f6\u00dftenteils l\u00e4uft die Berechnung von Kurvenscharen auf genau so etwas hinaus.<\/p>\n<p><strong>Zum Beispiel sei folgende Funktionsschar gegeben:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf_a(x)=\\frac{1}{x-a}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn<\/p>\n<ol>\n<li>x = a ist, dann w\u00e4re die Funktion nicht definiert, da dann der Nenner gleich Null ist und wir nicht durch Null teilen d\u00fcrfen.<\/li>\n<li>x &gt; a oder x &lt; a ist, ist die Funktion definiert und wir k\u00f6nnen mit ihr arbeiten.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Auch bei der Berechnung von Extremstellen ist die Fallunterscheidung wichtig. Hier ein <strong>Beispiel<\/strong> bei der hinreichenden Bedingung von Extrema:<\/p>\n<ul>\n<li>$f_a&#8220;(&#8230;)=20a &gt; 0$, wenn a &gt; 0 TP<\/li>\n<li>$f_a&#8220;(&#8230;)=20a &lt; 0$, wenn a &lt; 0 HP<\/li>\n<li>$f_a&#8220;(&#8230;)=20a = 0$, wenn a = 0 SP<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"ableiten\">Funktionsschar &#8211; Ableiten und Integrieren mit Parameter<\/h2>\n<p><center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1805\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_tabelle1.png\" alt=\"Scharfunktion Ableitungstabelle\" width=\"503\" height=\"283\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_tabelle1.png 1006w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_tabelle1-300x169.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_tabelle1-768x432.png 768w\" sizes=\"(max-width: 503px) 100vw, 503px\" \/><\/center><center><\/center><\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt in seinem Lernvideo nochmals alles rund ums Thema Funktionsschar ableiten.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Funktionsschar ableiten, Ableitung mit Parameter\/Buchstaben, Basics, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_HABMA3qZX7k\"><div id=\"lyte_HABMA3qZX7k\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHABMA3qZX7k%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Funktionsschar ableiten, Ableitung mit Parameter\/Buchstaben, Basics, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/HABMA3qZX7k\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHABMA3qZX7k%2F0.jpg\" alt=\"Funktionsschar ableiten, Ableitung mit Parameter\/Buchstaben, Basics, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"ortskurve\">Ortskurve einer Funktionsschar<\/h2>\n<p>Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erf\u00fcllen. In einer Kurvendiskussion werden h\u00e4ufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht.<br \/>\nZur Berechnung der Ortskurve werden zun\u00e4chst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z.B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abh\u00e4ngigkeit vom jeweiligen Parameter (z.B. a oder k) bestimmt.<\/p>\n<p><strong>Vorgehensweise:<\/strong><\/p>\n<p><strong>1.<\/strong>\u00a0allgemeine Punkte P(x|y) mit bestimmter Eigenschaft, z.B. Extrem- oder Wendepunkte, in Abh\u00e4ngigkeit vom Parameter bestimmen<br \/>\n<strong>2.<\/strong> x-Wert nach Parameter umstellen und in y-Wert einsetzen<br \/>\n<strong>3.<\/strong> y-Wert ist die Ortskurve<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Gegeben sei die Funktionsschar $f_a(x) = x^2 &#8211; ax, \\ a \\in \\mathbb{R}.$<\/p>\n<p>Bestimme die Ortskurve, auf der alle Extrempunkte der Funktion liegen.<\/p>\n<p>Als erstes bestimmen wir die Extrempunkte in Abh\u00e4ngigkeit von a:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf&#8217;_a(x)=2x-a = 0 \\Rightarrow x = \\frac{a}{2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da $f&#8220;_a(x)=2 &gt; 0$ ist. Alle Tiefpunkte der Funktionsschar liegen bei $T(\\frac{a}{2} | -\\frac{a^2}{4})$. <\/p>\n<p>Um die Ortskurve zu erhalten, m\u00fcssen wir die x-Koordinate des allgemeinen Tiefpunktes nach dem Parameter umstellen. Es folgt:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3224\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel_1-1024x307.png\" alt=\"Funktionsschar Ortskurve berechnen\" width=\"433\" height=\"130\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel_1-1024x307.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel_1-300x90.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel_1-768x231.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel_1.png 1379w\" sizes=\"(max-width: 433px) 100vw, 433px\" \/><\/p>\n<p>Damit lautet die Ortskurve $g(x)=-x^2$, die alle Tiefpunkte der Funktionenschar verbindet. Grafisch kann man sich die Ortskurve wiefolgt darstellen:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3225\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel-1024x728.png\" alt=\"Ortskurve von Funktionsschar Extrempunkten\" width=\"371\" height=\"264\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel-1024x728.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel-300x213.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel-768x546.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_beispiel.png 1452w\" sizes=\"(max-width: 371px) 100vw, 371px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Vertiefe dein Wissen mit dem Lernvideo von Daniel zum Thema Ortskurve einer Funktionsschar<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Gleichung der Ortskurve, Funktionsscharen, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_H7XLag6NAV4\"><div id=\"lyte_H7XLag6NAV4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FH7XLag6NAV4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Gleichung der Ortskurve, Funktionsscharen, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/H7XLag6NAV4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FH7XLag6NAV4%2F0.jpg\" alt=\"Gleichung der Ortskurve, Funktionsscharen, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Thema Funktionsschar wird euch sicherlich in der Oberstufe vor dem Abitur begegnen. Damit ihr in Zukunft genau bescheid wisst, haben wir euch alles rund um das Thema Funktionsschar in diesem Artikel zusammengefasst. Inhaltsverzeichnis Scharfunktion Grundlagen Fallunterschreidung Ableiten und Integrieren der Funktionsschar Ortskurve der Funktionsschar Scharfunktion Grundlagen Wenn man Berechnungen an- und mit Funktionsschar durchf\u00fchren [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":14,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Funktionsschar untersuchen inkl. Lernvideos - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du musst eine Funktionsschar untersuchen und wei\u00dft nicht wie du vorgehen musst? Wir zeigen es dir anhand von Beispeieln und kostenlosen Lernvideos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Funktionsschar untersuchen inkl. Lernvideos - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Du musst eine Funktionsschar untersuchen und wei\u00dft nicht wie du vorgehen musst? Wir zeigen es dir anhand von Beispeieln und kostenlosen Lernvideos.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2018-11-12T14:29:13+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt-1024x329.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_scharfunktion_gesamt.png\",\"width\":1713,\"height\":551},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/\",\"name\":\"Funktionsschar untersuchen inkl. Lernvideos - StudyHelp\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2015-03-25T19:52:46+00:00\",\"dateModified\":\"2018-11-12T14:29:13+00:00\",\"description\":\"Du musst eine Funktionsschar untersuchen und wei\\u00dft nicht wie du vorgehen musst? Wir zeigen es dir anhand von Beispeieln und kostenlosen Lernvideos.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionsschar\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":11402,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34\/revisions\/11402"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=34"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=34"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}