{"id":3865,"date":"2016-11-03T11:24:37","date_gmt":"2016-11-03T10:24:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=3865"},"modified":"2020-01-31T15:35:05","modified_gmt":"2020-01-31T14:35:05","slug":"bernoulli-verteilung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bernoulli-verteilung\/","title":{"rendered":"Bernoulli und Binomial-Verteilung"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf diesem Artikel bekommst du Aufgaben, Videos und Erkl\u00e4rungen zur Bernoulli Verteilung:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#was-ist-ein-bernoulli-experiment\">Was ist ein Bernoulli Experiment?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Binomialverteilung\">Binomialverteilung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#TypischeBinomialrechnungen\">Typische Binomialrechnungen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#typischerFragestellungen\">\u00dcbersicht typischer Fragestellungen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Regeln\">\u03b4-Regeln (Sigma-Regeln)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"was-ist-ein-bernoulli-experiment\" class=\"anchor\">Was ist ein Bernoulli Experiment?<\/h2>\n<p>Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem man sich nur daf\u00fcr interessiert, ob ein Ereignis A eintritt oder nicht. <strong>Es wird also nur Erfolg oder nicht Erfolg betrachtet.<\/strong> Die Bernoulli Verteilung ist <strong>stets diskret<\/strong>!<\/p>\n<p>Dann hei\u00dft $X$ bernoulliverteilt mit Parameter $p$. Man schreibt $X \\sim B(1,p)$.<\/p>\n<p>Es sei $p=P(A)$ die Eintritts- oder Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable $X$ kann nun folgende Werte annehmen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, \\ \\textrm{falls A eintritt} \\\\<br \/>\n0, \\ \\textrm{falls A nicht eintritt}<br \/>\n\\end{array}\\right. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und beschreibt die Anzahl der Erfolge bei $n=1$ Versuchen.<\/p>\n<h3>Bemerkungen<\/h3>\n<p>Sei $X \\sim B(1,p)$. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X=1)=p \\quad \\textrm{und} \\quad P(X=0)=1-p ~\\textrm{Gegenwahrscheinlichkeit}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsma\u00dfe:<\/p>\n<p><strong>1. Erwartungswert:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=E(X)=p<br \/>\n\\end{align*}<\/strong><\/p>\n<p>Der Erwartungswert ist hier die Eintrittswahrscheinlichkeit.<\/p>\n<p><strong>2. Varianz:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2=V(X)=p \\cdot (1-p)<br \/>\n\\end{align*}<\/strong><\/p>\n<p><strong>3. Standardabweichung:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma = \\sqrt{p\\cdot (1-p)}<br \/>\n\\end{align*}<\/strong><\/p>\n<p>Zur Erinnerung: Die Standardabweichung misst, wie schwer es ist, diese Wahrscheinlichkeit zu sch\u00e4tzen.<\/p>\n<p>Beispiele: Geburt (M\u00e4dchen\/Junge), M\u00fcnzwurf (Kopf\/Zahl)<\/p>\n<p><strong>Daniel rechnet f\u00fcr euch nochmal ein Beispiel zum Thema Bernoulli Verteilung.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Binomialverteilung, Formel von Bernoulli, Stochastik, Bernoulli-Formel | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_qRkUCU7oJ34\"><div id=\"lyte_qRkUCU7oJ34\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FqRkUCU7oJ34%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Binomialverteilung, Formel von Bernoulli, Stochastik, Bernoulli-Formel | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/qRkUCU7oJ34\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FqRkUCU7oJ34%2F0.jpg\" alt=\"Binomialverteilung, Formel von Bernoulli, Stochastik, Bernoulli-Formel | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"Binomialverteilung\" class=\"anchor\">Binomialverteilung<\/h2>\n<p>Die Binomialverteilung (\u201emit Zur\u00fccklegen-Verteilung\u201c) ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Binomialverteilung ist die $n$-malige Wiederholung eines Bernoulli Experiments.<\/p>\n<p>Dann hei\u00dft $X$ binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$. Man schreibt $X \\sim B(n,p)$.<\/p>\n<p><strong>Bemerkungen<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Die einzelnen Wiederholungen sind stochastisch unabh\u00e4ngig.<\/li>\n<li>Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei allen Wiederholungen $p$:<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{genau }k\\ \\textrm{Treffer:} \\ P(X=k)&amp;= \\left( \\begin {array} {c} n\\\\ k\\end{array} \\right) \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k} \\notag \\\\<br \/>\n\\textrm{h\u00f6chstens }k\\ \\textrm{Treffer:} \\ P(X\\leq k)&amp;= \\sum_{i=0}^k \\left( \\begin {array} {c} n\\\\ i \\end{array} \\right) \\cdot p^i \\cdot (1-p)^{n-i} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Was ist eigentlich das $n$, $p$ und $k$?<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">$n$ = Anzahl der Ziehungen<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">$p$ = Wahrscheinlichkeit<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">$k$ = Anzahl der Treffer<\/p>\n<ul>\n<li>Berechnung f\u00fcr genau $k$ Treffer mit GTR\/CAS: binompdf$(n,p,k)$<\/li>\n<li>Berechnung f\u00fcr h\u00f6chstens $k$ Treffer mit GTR\/CAS: binomcdf$(n,p,k)$<\/li>\n<li>Den Binomialkoeffizienten $\\left( \\begin {array} {c} n\\\\ k\\end{array} \\right)$ ermittelt man mit der nCr-Taste des Taschenrechners oder mit der Formel $\\frac{n!}{k! \\cdot (n-k)!}$<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss wieder 1 ergeben.<\/li>\n<li>Wichtig: Immer anwendbar beim \u201eZiehen mit Zur\u00fccklegen\u201c. Bei Ziehen ohne Zur\u00fccklegen nicht (in diesem Fall ist die Pfadregel hilfreich).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsma\u00dfe:<\/p>\n<ul>\n<li>Erwartungswert: $\\mu=E(X)=n\\cdot p$<\/li>\n<li>Varianz: $\\sigma^2=V(X)=n\\cdot p \\cdot (1-p)$<\/li>\n<li>Standardabweichung: $\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}= \\sqrt{n\\cdot p \\cdot (1-p)}$<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Eine Urne enth\u00e4lt 6 schwarze und 4 rote Kugeln. Es werden 5 Kugeln mit Zur\u00fccklegen gezogen.<br \/>\nGrundlegend muss man herausfinden, um welche Verteilung es sich handelt. In der Aufgabenstellung steht, dass die Kugeln \u201emit Zur\u00fccklegen\u201c gezogen werden und daraus folgt, dass es sich um die Binomialverteilung handeln muss.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX \\sim B(n,p)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt m\u00fcssen die Parameter $n$ und $p$ identifiziert werden, die zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr die Binomialverteilung ben\u00f6tigt werden.<\/p>\n<ul>\n<li>\u201ees wird f\u00fcnf mal gezogen\u201c: daraus folgt $n=5$.<\/li>\n<li>$p$: Laplace Wahrscheinlichkeit, also der Quotient aus den g\u00fcnstigen Ereignissen und den m\u00f6glichen Ereignissen. Daraus folgt: $p=4\/10=0,4$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wir fassen zusammen:<\/p>\n<ul>\n<li>F\u00fcr rote Kugeln gilt $X \\sim B(5;0,4)$.<\/li>\n<li>f\u00fcr schwarze Kugeln gilt $ X \\sim B(5;0,6)$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Es werden die nachstehenden Aufgaben bearbeitet.<\/p>\n<p><strong>1) Berechne den Erwartungswert der roten Kugeln:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=n\\cdot p=5\\cdot 0,4=2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>2) Berechne die Varianz der roten Kugeln:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2=n\\cdot p \\cdot (1-p)=5\\cdot 0,4\\cdot (1-0,4)=1,2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>3) Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit genau drei rote Kugeln zu ziehen?<\/strong><\/p>\n<p>Hier gilt also $X \\sim B (5;0,4)$ mit $k=3$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X=3)= \\left( \\begin {array} {c} 5\\\\ 3\\end{array} \\right) \\cdot 0,4^3 \\cdot (1-0,4)^{5-3}=0,2304<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>oder mit TR und dem Befehl binompdf$(5;0,4;3)$. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr genau drei rote Kugeln betr\u00e4gt 23,04%.<\/p>\n<p><strong>4) Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit h\u00f6chstens zwei rote Kugeln zu ziehen?<\/strong><\/p>\n<p>Hier gilt also $X \\sim B (5;0,4)$ mit $k \\leq 2$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 2)&amp;= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\\\<br \/>\n&amp;= \\left( \\begin {array} {c} 5\\\\ 0\\end{array} \\right) \\cdot 0,4^0 \\cdot (1-0,4)^{5-0} + \\left( \\begin {array} {c} 5\\\\ 1\\end{array} \\right) \\cdot 0,4^1 \\cdot (1-0,4)^{5-1} \\\\ &amp;+ \\left( \\begin {array} {c} 5\\\\ 2\\end{array} \\right) \\cdot 0,4^2 \\cdot (1-0,4)^{5-2}<br \/>\n= 0,68256 \\approx 68,26\\%<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>oder mit TR und dem Befehl binomcdf$(5;0,4;2)$.<\/p>\n<p><strong>5) Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zwei schwarze Kugel zu ziehen?<\/strong><\/p>\n<p>Hier gilt also $X \\sim B (5;0,6)$ mit $k \\geq 2$. F\u00fcr die L\u00f6sung gibt es zwei M\u00f6glichkeiten, wobei die zweite Alternative $(II)$ sehr viel Zeit spart und aus diesem Grund auch gew\u00e4hlt werden sollte!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(I) \\quad P(X \\geq 2)&amp;= P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \\\\<br \/>\n(II) \\quad P(X \\geq 2) &amp;= 1- ((P(X=0) + P(X=1))<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Nach Einsetzen der gegebenen Werte ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mindestens zwei schwarze Kugeln zu ziehen: $P(X \\geq 2)=0,91296$.<\/p>\n<\/div>\n\n<h2 id=\"TypischeBinomialrechnungen\" class=\"anchor\">Typische Binomialrechnungen<\/h2>\n<p>Eine Stichprobe besteht aus $n=100$ Schrauben und die Wahrscheinlichkeit einer defekten Schraube liegt bei $p=0,1$.<\/p>\n<ul>\n<li>Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass genau $12$ Schrauben defekt sind:<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\\begin{align*}<br \/>\nP(X=12)= \\left( \\begin {array} {c}<br \/>\n100\\\\<br \/>\n12<br \/>\n\\end{array} \\right) \\cdot 0,1^{12} \\cdot 0,9^{100-12} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Gesucht sei Wahrscheinlichkeit, dass h\u00f6chstens $12$ Schrauben defekt sind:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp19_2.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-409 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp19_2-300x69.png\" alt=\"studyhelp(19_2)\" width=\"300\" height=\"69\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp19_2-300x69.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp19_2.png 518w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Also alle Wahrscheinlichkeiten von $0$ bis $12$ aufsummieren:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 12)&amp;= P(X=0)+P(X=1)+&#8230;+P(X=12) \\notag \\\\<br \/>\n&amp;= F(100;0,1;12) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $12$ Schrauben defekt sind:<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_1.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-410 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_1-300x69.png\" alt=\"studyhelp(35_1)\" width=\"300\" height=\"69\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_1-300x69.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_1.png 518w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Also alle Wahrscheinlichkeiten von $12$ bis $100$ aufsummieren oder mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\geq 12) &amp;= \\underbrace{1}_{\\text{Alles}}-\\underbrace{P(X \\leq 11)}_{0-11} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr \\underline{mehr} als $4$, aber <em>weniger<\/em> als $15$ defekte Schrauben:<\/li>\n<\/ul>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_2.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-529 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_2-300x58.png\" alt=\"studyhelp(35_2)\" width=\"300\" height=\"58\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_2-300x58.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp35_2.png 671w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Also alle Wahrscheinlichkeiten zwischen 5 und 14 aufsummieren oder clever mit Gegenwahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\\begin{align*}<br \/>\nP(5 \\leq X \\leq 14) &amp;= \\underbrace{P(X \\leq 14)}_{\\text{Alles bis 14}}-\\underbrace{P(X \\leq 4)}_{\\text{Alles bis 4}} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Binomialrechnung an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Binomialrechnungen, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit, Stochastik | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_1rICNg_pa3U\"><div id=\"lyte_1rICNg_pa3U\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F1rICNg_pa3U%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Binomialrechnungen, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit, Stochastik | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/1rICNg_pa3U\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F1rICNg_pa3U%2F0.jpg\" alt=\"Binomialrechnungen, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit, Stochastik | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Zusatzvideo mit Beispielaufgabe von Daniel<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Rechnen mit Binomialverteilung anhand vom Schaubild, Stochastik, Wahrscheinlichkeit\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_58aZtcTNNcM\"><div id=\"lyte_58aZtcTNNcM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F58aZtcTNNcM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Rechnen mit Binomialverteilung anhand vom Schaubild, Stochastik, Wahrscheinlichkeit<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/58aZtcTNNcM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F58aZtcTNNcM%2F0.jpg\" alt=\"Rechnen mit Binomialverteilung anhand vom Schaubild, Stochastik, Wahrscheinlichkeit\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"typischerFragestellungen\" class=\"anchor\">\u00dcbersicht typischer Fragestellungen<\/h2>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{genau} \\ \\ k \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(X=k)= \\left( \\begin {array} {c} n\\\\ k\\end{array} \\right) \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k} \\notag \\\\<br \/>\n\\text{h\u00f6chstens} \\ \\ k \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(X \\leq k) \\notag \\\\<br \/>\n\\text{weniger als} \\ \\ k \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(X &lt; k)=P(x\\leq k-1) \\notag \\\\<br \/>\n\\text{mindestens} \\ \\ k \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(X \\geq k) = 1- P(x \\leq k-1)\\notag \\\\<br \/>\n\\text{mehr als} \\ \\ k \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(X &gt; k) = 1-P(x \\leq k) \\notag \\\\<br \/>\n\\text{mind.} \\ k, \\ \\text{aber h\u00f6chst.} \\ \\ h \\ \\ \\text{Treffer} : \\ \\ &amp;P(k \\leq X \\leq h) = P(X \\leq h) &#8211; P(X \\leq k-1) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Oft wird auch nach der Anzahl der Ziehungen\/Wiederholungen $n$ gefragt. Dabei gibt es einige Dinge zu beachten. Machen wir uns das Ganze anhand eines Beispiels klar:<\/p>\n<p>Wie viele B\u00e4lle m\u00fcsste man mindestens kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einen fehlerhaften Ball zu finden? $X$ sei binomialverteilt mit $p=0,1$. Gesucht ist demnach $n$.<\/p>\n<p>Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{crcll}<br \/>\n&amp;P(X \\geq 1) &amp;\\geq&amp; 0,95 &amp; \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;1-P(X=0) &amp;\\geq&amp; 0,95 &amp; |+P(X=0) ~ |-0,95 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;0,05 &amp;\\geq&amp; P(X=0) &amp; \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;P(X=0) &amp;\\leq&amp; 0,05 &amp; | ~\\textrm{Formel einsetzen} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;\\left( \\begin {array} {c} n\\\\ 0\\end{array} \\right) \\cdot 0,1^0 \\cdot 0,9^n &amp;\\leq&amp; 0,05 &amp; | ~\\textrm{bel. Zahl hoch 0 ist immer 1} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;0,9^n &amp;\\leq&amp; 0,05 &amp; | ~\\textrm{beide Seiten logarithmieren} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;\\ln (0,9^n) &amp;\\leq&amp; \\ln(0,05) &amp; | ~\\textrm{Logarithmengesetze} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;n \\cdot \\ln (0,9) &amp;\\leq&amp; \\ln(0,05) &amp; |~\\textrm{ln(0,9) negativ, daher Vorzeichenumkehr} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp;n &amp;\\geq&amp; \\frac{\\ln (0,05)}{\\ln (0,9)} \\approx 28,43 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es m\u00fcssten somit mindestens $29$ B\u00e4lle kontrolliert werden, um wenigstens einen fehlerhaften Ball zu finden.<\/p>\n<p>Beachtet: Bei mal oder durch $(-1)$ dreht sich das gr\u00f6\u00dfer oder kleiner Zeichen. Wenn wir durch den $\\ln$ teilen, m\u00fcsst ihr aufpassen ob der $\\ln$ eventuell negativ ist, dann dreht sich das Zeichen wieder.<\/p>\n<h2 id=\"Regeln\" class=\"anchor\">\u03b4-Regeln (Sigma-Regeln)<\/h2>\n<p>Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert $\\mu$. Deshalb untersucht man h\u00e4ufig symmetrische Umgebungen um den Erwartungswert. Den Radius dieser Umgebungen gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung $\\sigma$ an. So ist z.B. die $2\\sigma$-Umgebung des Erwartungswerts das Intervall $[\\mu-2\\sigma;\\mu+2\\sigma]$.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Sei $X \\sim B(50;0,3)$. Bestimme die $2\\sigma$-Umgebung und die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass $X$ in dieser Umgebung liegt.<br \/>\nMit dem Erwartungswert $\\mu = 50 \\cdot 0,3= 15$ und der Standardabweichung $\\sigma=\\sqrt{50\\cdot 0,3 \\cdot 0,7}=3,24$ ergibt sich das Intervall<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n[15-2\\cdot 3,24 ; 15 + 2 \\cdot 3,24] = [8,52 ; 21,48]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und die Werte liegen (da diskrete Verteilung, also nur ganze Zahlen) zwischen 9 und 21. Die Wahrscheinlichkeit lautet dann<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(9\\leq X\\leq 21)=P(X \\leq 21)\u2212P(X \\leq 8)=\\sum_{k=9}^{21} \\begin{pmatrix}<br \/>\n50 \\\\ k<br \/>\n\\end{pmatrix} 0,3^k \\cdot 0,7^{50\u2212k}=0,9566.<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<p>Wir sehen, dass die Berechnung der obigen Wahrscheinlichkeit sehr umst\u00e4ndlich ist. Aus diesem Grund wurden f\u00fcr die am h\u00e4ufigsten verwendeten $\\sigma$-Umgebungen sogenannte $\\sigma$-Regeln eingef\u00fchrt, die die zugeh\u00f6rigen Wahrscheinlichkeiten n\u00e4herungsweise bestimmen. F\u00fcr eine binomialverteilte Zufallsvariable $X \\sim B(n,p)$ werden in der $\\sigma$-Umgebung gute Werte erzielt, falls die <strong>Laplace-Bedingung<\/strong> $\\sigma&gt;3$ erf\u00fcllt ist.<\/p>\n<p>Wahrscheinlichkeit in $\\sigma$-Umgebung, falls $\\sigma&gt;3$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(\\mu-\\sigma \\leq X \\leq \\mu + \\sigma) \\ &amp;\\approx \\ 0,68 \\\\<br \/>\nP(\\mu- 1,64 \\sigma \\leq X \\leq \\mu + 1,64 \\sigma) \\ &amp;\\approx \\ 0,90 \\\\<br \/>\nP(\\mu- 1,96 \\sigma \\leq X \\leq \\mu + 1,96 \\sigma)\\ &amp;\\approx \\ 0,95 \\\\<br \/>\nP(\\mu- 2 \\sigma \\leq X \\leq \\mu +2 \\sigma) \\ &amp;\\approx \\ 0,955 \\\\<br \/>\nP(\\mu- 2,58 \\sigma \\leq X \\leq \\mu + 2,58 \\sigma)\\ &amp;\\approx \\ 0,99 \\\\<br \/>\nP(\\mu- 3\\sigma \\leq X \\leq \\mu + 3 \\sigma) \\ &amp;\\approx \\ 0,997 \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Woher diese Werte wie 0,68 oder 0,997 kommen, sehen wir bei der Dichtefunktion der Normalverteilung.<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf diesem Artikel bekommst du Aufgaben, Videos und Erkl\u00e4rungen zur Bernoulli Verteilung: Was ist ein Bernoulli Experiment? Binomialverteilung Typische Binomialrechnungen \u00dcbersicht typischer Fragestellungen \u03b4-Regeln (Sigma-Regeln) Was ist ein Bernoulli Experiment? Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem man sich nur daf\u00fcr interessiert, ob ein Ereignis A eintritt oder nicht. Es wird also nur Erfolg [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":[],"categories":[18],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Bernoulli und Binomial Verteilung - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Die Bernoulli Verteilung bereitet dir Schwierigkeiten? 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