- \n
- $N$: Grundgesamtheit<\/li>\n
- $M$: Elemente, die die Eigenschaft $A$ besitzen<\/li>\n
- $N-M$: Elemente, die die Eigenschaft $A$ nicht besitzen
\n$n$: Zuf\u00e4llige Entnahme ohne Zur\u00fccklegen<\/li>\n - Wichtig: IMMER anwendbar beim \u201eZiehen ohne Zur\u00fccklegen\u201c<\/li>\n<\/ul>\n\n\n
Beispiel Lotto:<\/h3>\n
- \n
- Grundgesamtheit: $N=49$ Zahlen<\/li>\n
- Eigenschaft Gewinn: $M=6$ Zahlen<\/li>\n
- Eigenschaft kein Gewinn: $N-M=43$ Zahlen<\/li>\n
- Ziehungen: $n=6$ Zahlen<\/li>\n<\/ul>\n
Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsma\u00dfe:<\/p>\n
- \n
- Erwartungswert:<\/strong> $\\mu=E(X)= n \\cdot \\frac{M}{N}$<\/li>\n
- Varianz:<\/strong> $\\sigma^2=V(X)= n \\cdot \\frac{M}{N} \\cdot \\left( 1- \\frac{M}{N} \\right) \\cdot \\frac{N-n}{N-1}$<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\nBeispiel Fr\u00fcchtekisten<\/h3>\n
Eine Lieferung von 80 Kisten, die mit Fr\u00fcchten gef\u00fcllt sind, enthalte 40 Kisten mit verdorbenen Fr\u00fcchten. Da eine vollst\u00e4ndige Pr\u00fcfung der Lieferung zu aufwendig ist, haben Abnehmer und Lieferant vereinbart, dass eine Zufallsstichprobe (ohne Zur\u00fccklegen) von 10 Kisten der Lieferung entnommen und gepr\u00fcft wird, um die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Fr\u00fcchten zu bestimmen.<\/p>\n
Grundlegend muss man herausfinden um welche Verteilung es sich handelt. In der Aufgabenstellung steht, dass die Zufallsstichproben \u201eohne Zur\u00fccklegen\u201c durchgef\u00fchrt wird und daraus folgt, dass es sich um die Hypergeometrische Verteilung handeln muss.<\/p>\n
\\begin{align*}
\nX \\sim H(n,N,M)
\n\\end{align*}<\/p>\nJetzt muss man die Parameter $n$, $N$, $M$ identifizieren, die man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr die Hypergeometrische Verteilung ben\u00f6tigt.<\/p>\n
- \n
- $n$: \u201eWie oft wird gezogen?\u201c Hier werden 10 Kisten entnommen, daraus folgt $n=10$.<\/li>\n
- $N$: Grundgesamtheit, hier $N = 80$.<\/li>\n
- $M$: Diese Elemente haben eine gewisse Eigenschaft, hier 40 verdorbene Kiste, hier $M = 40$.<\/li>\n<\/ul>\n
Folgende Aufgaben sollen bearbeitet werden:<\/p>\n
1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr 10 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe $X \\sim H (10; 80,40)$ mit $k=10$.<\/strong> <\/p>\n
Es gilt
\n\\begin{align*}
\nP(X=10)=\\frac{\\begin{pmatrix}
\n40 \\\\ 10
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n80-40 \\\\ 10-10
\n\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}
\n80 \\\\ 10
\n\\end{pmatrix}}=0,000512
\n\\end{align*}<\/p>\n2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr mindestens 1 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe $X \\sim H (10; 80,40)$ mit $k \\geq 1$.<\/strong> <\/p>\n
Es gilt<\/p>\n
\\begin{align*}
\nP(X \\geq 1) &= 1- P(X<1)= 1-P(X=0) \\\\
\n&= 1- \\frac{\\begin{pmatrix}
\n40 \\\\ 0
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n80-40 \\\\ 10-0
\n\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}
\n80 \\\\ 10
\n\\end{pmatrix}}=1-0,000512=0,999485
\n\\end{align*}<\/p>\n3) Bestimme den Erwartungswert und die Varianz.<\/strong><\/p>\n
\\begin{align*}
\nE(X)&=10 \\cdot \\frac{40}{80} = 5 \\\\
\nV(X)&=10 \\cdot \\frac{40}{80} \\cdot \\left( 1 – \\frac{40}{80} \\right) \\cdot \\frac{80-10}{80-1}=2,22
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\nLernvideo zum Thema Hypergeometrische Funktionen von Daniel.<\/strong><\/p>\n
Hypergeometrische Verteilung, Urnenmodell "ohne Zur\u00fccklegen" | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div>![\"Hypergeometrische](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FBoPYslAe8sg%2F0.jpg\")
- Varianz:<\/strong> $\\sigma^2=V(X)= n \\cdot \\frac{M}{N} \\cdot \\left( 1- \\frac{M}{N} \\right) \\cdot \\frac{N-n}{N-1}$<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
- Erwartungswert:<\/strong> $\\mu=E(X)= n \\cdot \\frac{M}{N}$<\/li>\n