{"id":60,"date":"2015-03-25T20:57:44","date_gmt":"2015-03-25T19:57:44","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=60"},"modified":"2020-01-30T16:24:48","modified_gmt":"2020-01-30T15:24:48","slug":"vektoren","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/vektoren\/","title":{"rendered":"Vektoren"},"content":{"rendered":"\n<p>Das Thema Vektoren begleitet dich nicht nur w\u00e4hrend deiner Schullaufbahn, sondern ist auch relevant f\u00fcr dein Studium oder deine Ausbildung. Wir haben f\u00fcr dich in diesem Artikel alle relevanten Themen zu Vektoren aufgelistet und in leicht verst\u00e4ndlicher Sprache erkl\u00e4rt. Zus\u00e4tzlich findest du passende Erkl\u00e4rvideos von Daniel Jung, damit du dein Wissen vertiefen kannst.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#GrundlagenVektoren\">Grundlagen zu Vektoren <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#PunktVektor\">Vom Punkt zum Vektor <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#UnterschiedOrtsvektor\">Unterschied Ortsvektor\/Richtungsvektor <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#LaengeVektors\">L\u00e4nge eines Vektors <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#RechnenMitVektoren\">Rechnen mit Vektoren <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#MittelpunktEinerStrecke\">Mittelpunkt einer Strecke <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#LineareAbhaengigkeit\">Lineare Abh\u00e4ngigkeit und Unabh\u00e4ngigkeit von Vektoren <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Koordinatenebenen\">Koordinatenebenen <\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<hr>\n<h2 id=\"GrundlagenVektoren\" class=\"anchor\">Grundlagen zu Vektoren<\/h2>\n<p>Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum ($x_1|x_2|x_3$) bzw. ($x|y|z$), z.B. $P( 6 | 7 | 4 )$, gelangt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten in $x$-Richtung, 7 Einheiten in $y$-Richtung und dann 4 Einheiten in $z$-Richtung geht. Hier noch besondere Punkte.<\/p>\n<p><strong>In 2D gilt:<\/strong><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3231\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_punkteablesen_2D.png\" alt=\"analytische geometrie grundlagen\" width=\"188\" height=\"144\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Alle Punkte auf der $y$-Achse haben den $x$-Wert 0! $P_y(0|y)$<\/li>\n<li>Alle Punkte auf der $x$-Achse haben den $y$-Wert 0! $P_x(x|0)$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>In 3D gilt:<\/strong><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3232\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_punkteablesen_3D.png\" alt=\"analytische geometrie grundlagen 3D\" width=\"248\" height=\"174\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Alle Punkte in der $x_1x_2$-Ebene haben den $x_3$-Wert 0! $P(x_1|x_2|0)$<\/li>\n<li>Alle Punkte in der $x_2x_3$-Ebene haben den $x_1$-Wert 0! $P(0|x_2|x_3)$<\/li>\n<li>Alle Punkte in der $x_1x_3$-Ebene haben den $x_2$-Wert 0! $P(x_1|0|x_3)$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmals in seinem Lernvideo, wie man Punkte abliest.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Punkte ablesen im Koordinatensystem, 3D, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL__LiUC4WRZ1w\"><div id=\"lyte__LiUC4WRZ1w\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_LiUC4WRZ1w%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Punkte ablesen im Koordinatensystem, 3D, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_LiUC4WRZ1w\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_LiUC4WRZ1w%2F0.jpg\" alt=\"Punkte ablesen im Koordinatensystem, 3D, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"PunktVektor\" class=\"anchor\">Vom Punkt zum Vektor<\/h2>\n<p>Ein Vektor beschreibt eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum. Aus zwei Punkten im 3-dimensionalem Raum $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ erh\u00e4lt man den Vektor<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3235\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_punktvektor.png\" alt=\"Vom Punkt zum Vektor\" width=\"327\" height=\"71\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_punktvektor.png 327w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_punktvektor-300x65.png 300w\" sizes=\"(max-width: 327px) 100vw, 327px\" \/><\/p>\n<p>Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zeigt. Ein Vektor gibt somit die Verschiebung eines Punktes an!<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmal, wie du vom Punkt zum Vektor kommst!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Vektoren Definition &amp;amp; ihre Repr&auml;sentanten, Verschiebungen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_WJts70AmRVI\"><div id=\"lyte_WJts70AmRVI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FWJts70AmRVI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Vektoren Definition &amp; ihre Repr\u00e4sentanten, Verschiebungen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/WJts70AmRVI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FWJts70AmRVI%2F0.jpg\" alt=\"Vektoren Definition &amp;amp; ihre Repr&auml;sentanten, Verschiebungen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"UnterschiedOrtsvektor\" class=\"anchor\">Unterschied Ortsvektor\/Richtungsvektor<\/h2>\n<p>Ist $O(0|0)$ der Koordinatenursprung und $P(5|2)$ ein Punkt, so hei\u00dft der Vektor\u00a0$\\overrightarrow{OP} = \\vec{p} = \\left( \\begin {array} {c}5-0\\\\2-0 \\\\\\end {array} \\right) = \\left( \\begin {array} {c}5 \\\\2 \\\\\\end {array} \\right)$ Ortsvektor zum Punkt $P$.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3238\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_orts-richtungsvektor-1024x325.png\" alt=\"Orts- und Richtungsvektor\" width=\"523\" height=\"166\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_orts-richtungsvektor-1024x325.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_orts-richtungsvektor-300x95.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_orts-richtungsvektor-768x244.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_orts-richtungsvektor.png 1599w\" sizes=\"(max-width: 523px) 100vw, 523px\" \/><\/p>\n<p>Richtungsvektoren k\u00f6nnen jeden Punkt als Startpunkt haben, w\u00e4hrend Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen. Zum Beispiel lautet der Richtungsvektor zwischen $A(2|4)$ und $B (7|2)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}g<br \/>\n\\overrightarrow{AB} = \\vec{b} &#8211; \\vec{a} = \\left( \\begin{array}{c} 7-2 \\\\ 2 &#8211; 4 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 5 \\\\ -2 \\end{array} \\right). \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. Im dreidimensionalem Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zwei-dimensionalen aufgestellt. Einziger Unterschied ist die zus\u00e4tzliche Koordinate $x_3$ (oder $z$).<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung nochmal das Lernvideo zum Thema Richtungs- und Ortsvektor an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Ortsvektor, Richtungsvektor, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_BrrsYzzN7Rs\"><div id=\"lyte_BrrsYzzN7Rs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FBrrsYzzN7Rs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Ortsvektor, Richtungsvektor, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/BrrsYzzN7Rs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FBrrsYzzN7Rs%2F0.jpg\" alt=\"Ortsvektor, Richtungsvektor, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"LaengeVektors\" class=\"anchor\">L\u00e4nge eines Vektors<\/h2>\n<p>In kartesischen Koordinaten kann die L\u00e4nge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Gegeben sei Vektor $A= (2 , 1 , 4)^T$ &#8211; Hinweis: Schreibweise mit &#8222;hoch $T$&#8220; (Transponierte einer Matrix) ist oft platzsparender! Bitte nicht verzweifeln, es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nA= (2 , 1 , 4)^T = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 4 \\end{array} \\right), \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>dann wird die L\u00e4nge \u00fcber\u00a0$|A|= \\sqrt{2^2 + 1^2+ 4^2}$\u00a0bestimmt. Oder allgemein mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\na = |\\vec{a}| = \\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Alternativ kann die L\u00e4nge auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\na = |\\vec{a}| = \\sqrt{\\vec{a}\\bullet \\vec{a}}. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Vektoren der L\u00e4nge 1 hei\u00dfen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren. Hat ein Vektor die L\u00e4nge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.<\/p>\n<p><strong>Lass dir von Daniel erkl\u00e4ren, wie man die L\u00e4nge eines Vektors bestimmt.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"L&auml;nge (Betrag) eines Vektors, Abstand 2 Punkte, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_yJLviEtfbFI\"><div id=\"lyte_yJLviEtfbFI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyJLviEtfbFI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">L\u00e4nge (Betrag) eines Vektors, Abstand 2 Punkte, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/yJLviEtfbFI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyJLviEtfbFI%2F0.jpg\" alt=\"L&auml;nge (Betrag) eines Vektors, Abstand 2 Punkte, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2><a class=\"anchor\" name=\"RechnenMitVektoren\"><\/a>Rechnen mit Vektoren<\/h2>\n<ul>\n<li>Addieren\/Subtrahieren &#8211; Rechenregel gilt f\u00fcr $+$ und $&#8211;$, kurz: $\\pm$<br \/>\n\\begin{align*}\\vec{a} \\pm \\vec{b} =\\left( \\begin{array}{c} a_1 \\\\ a_2 \\\\ a_3 \\end{array} \\right) \\pm\\left( \\begin{array}{c} b_1 \\\\ b_2 \\\\ b_3 \\end{array} \\right) &amp;=\\left( \\begin{array}{c} a_1 \\pm b_1 \\\\ a_2 \\pm b_2 \\\\ a_3 \\pm b_3 \\end{array} \\right) \\notag \\\\ \\notag \\\\\\textrm{z.B.} \\quad\\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 5 \\end{array} \\right) +\\left( \\begin{array}{c} 8 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{array} \\right) &amp;=\\left( \\begin{array}{c} 2+8\\\\ -1+1 \\\\ 5+(-3) \\end{array} \\right) =\\left( \\begin{array}{c} 10\\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array} \\right) \\notag\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n<p>Grafisch kann man sich das wiefolgt veranschaulichen. Merkt euch: Es spielt keine Rolle, ob ihr $\\vec{a}+\\vec{b}$ oder\u00a0$\\vec{b}+\\vec{a}$ rechnet. Es kommt immer das gleiche raus!<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3240\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_vektorenaddieren.png\" alt=\"Vektoren addieren\" width=\"147\" height=\"127\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Mit Zahl (Skalar) multiplizieren &#8211; L\u00e4nge des Vektors \u00e4ndert sich! Richtung bleibt gleich. \\begin{align*}<br \/>\n2 \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end {array} \\right) =<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 2 \\cdot 2 \\\\ 2 \\cdot 2 \\\\ 2 \\cdot 2 \\end {array} \\right) =<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end {array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1853\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar-1024x689.png\" alt=\"bil_skalar\" width=\"153\" height=\"103\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar-1024x689.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar-300x202.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar-768x516.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar.png 1142w\" sizes=\"(max-width: 153px) 100vw, 153px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Skalarprodukt:<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das <em>Skalarprodukt<\/em> (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verkn\u00fcpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Achtet auf die Unterscheidung des Malzeichens &#8222;$\\cdot$&#8220; und des Skalarproduktes &#8222;$\\bullet$&#8222;.<\/p>\n<p>Zudem ist es f\u00fcr die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren sinnvoll. Als allgemeines Rechenbeispiel folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec a \\bullet \\vec b = a_1 \\, b_1 + a_2 \\, b_2 + a_3 \\, b_3. \\notag<br \/>\n\\end{align*}\u00a0Jetzt mal als Zahlenbeispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array} \\right)<br \/>\n&amp;\\bullet<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{array} \\right) = 2 \\cdot 1 + 1 \\cdot 4 + 3 \\cdot 1 = 9 \\notag \\\\<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n&amp;\\bullet<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end{array} \\right) = -2+0+2 = 0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}Achtung: Wenn $0$ raus kommt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal\/senkrecht zueinander!<\/p>\n<h3>Wof\u00fcr wir das Skalarprodukt eigentlich brauchen:<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Winkelberechnung in der Ebene:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec{a} \\ \\bullet \\ \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|} =<br \/>\n\\frac{a_1\\ \\cdot \\ b_1 \\ + \\ a_2 \\ \\cdot \\ b_2}{\\sqrt{a_1^2+a_2^2}\\ \\cdot \\ \\sqrt{b_1^2\u00a0+\\ b_2^2}}[\/latex]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Winkelberechnung im Raum:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec{a} \\ \\bullet \\ \\vec{b}}{|\\vec{a}|\\ \\cdot \\ |\\vec{b}|} = \\frac{a_1\\ \\cdot \\ b_1 \\ + \\ a_2 \\ \\cdot \\ b_2 \\ + \\ a_3 \\ \\cdot \\ b_3}{\\sqrt{a_1^2 \\ + \\ a_2^2 \\ + \\ a_3^2}\\ \\cdot \\ \\sqrt{b_1^2 \\ + \\ b_2^2 \\ + \\ b_3^2}}[\/latex]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li><strong> Orthogonalit\u00e4t:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn $\\vec{a}$ und $\\vec{b}$ orthogonal sind, dann gilt: $\\vec{a} \\bullet \\vec{b} = 0$.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Ermittlung eines Normalenvektors:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Bedingungen f\u00fcr einen Normalenvektor $\\vec{n}$ von $\\vec{a}$ und $\\vec{b}$ sind:<br \/>\n$\\vec{n} \\bullet \\vec{a} = 0$ und $\\vec{n} \\bullet \\vec{b} = 0$<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Kreuzprodukt\/Vektorprodukt:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Das <em>Kreuzprodukt<\/em> der Vektoren $1$ und $2$ ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Zahlenbeispiel:<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3242\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreuzprodukt1-1024x634.png\" alt=\"Skalar im Kreuzprodukt\" width=\"197\" height=\"122\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreuzprodukt1-1024x634.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreuzprodukt1-300x186.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreuzprodukt1-768x475.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreuzprodukt1.png 1627w\" sizes=\"(max-width: 197px) 100vw, 197px\" \/><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 2 \\\\ 3 \\\\ 4 \\end{array} \\right)<br \/>\n\\times<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\end{array} \\right)<br \/>\n=<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 3 \\cdot 3 &#8211; 4 \\cdot (-2) \\\\ 4 \\cdot 1 &#8211; 2 \\cdot 3 \\\\ 2 \\cdot (-2) &#8211; 3 \\cdot 1 \\end{array} \\right) =<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 17 \\\\ -2 \\\\ -7 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Wichtig<\/strong>:\u00a0Die L\u00e4nge dieses Vektors entspricht dem Fl\u00e4cheninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $1$ und $2$ aufgespannt wird. Um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob wir richtig gerechnet haben, m\u00fcsste das Skalarprodukt vom Vektor des Kreuzproduktes mit den zwei einzelnen Vektoren 0 ergeben:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 17 \\\\ -2 \\\\ -7 \\end{array} \\right)<br \/>\n\\bullet<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 2 \\\\ 3 \\\\ 4 \\end{array} \\right) = 34-6-28=0 \\quad\u00a0 \\notag \\\\<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 17 \\\\ -2 \\\\ -7 \\end{array} \\right)<br \/>\n\\bullet<br \/>\n\\left( \\begin {array}{c} 1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\end{array} \\right) = 17+4-21=0 \\quad\u00a0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es besteht damit die M\u00f6glichkeit, das Kreuzprodukt als Berechnung des $\\vec{n}$-Vektors einer Ebene zu benutzen.<\/p>\n<p>Allgemein gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{a}\\times\\vec{b} = \\begin{pmatrix}a_1 \\\\ a_2 \\\\ a_3\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix}b_1 \\\\ b_2 \\\\ b_3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_2b_3 &#8211; a_3b_2 \\\\ a_3b_1 &#8211; a_1b_3 \\\\ a_1b_2 &#8211; a_2b_1 \\end{pmatrix}\\,. \\notag<br \/>\n\\end{align*}Weiterer Hinweis: Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\bullet \\vec{c} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>wird als <em>Spatprodukt<\/em> bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats entspricht.<\/p>\n\n<p><strong>Anwendung<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Normalenvektor finden bei der Umwandlung von Ebenengleichungen in der Parameterform in die Koordinaten- oder Normalenform.<\/li>\n<li>Abstandsformel windschiefer Geraden.<\/li>\n<li>Fl\u00e4cheninhaltsberechnung von zwischen Vektoren aufgespannten Fl\u00e4chen.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung das Lernvideo zum Thema Rechnen mit Vektoren an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Rechnen mit Vektoren, Grundlagen, Basics, Mathe by Daniel Jung, Erkl&auml;rvideo\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_XKr6Qe9_trY\"><div id=\"lyte_XKr6Qe9_trY\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXKr6Qe9_trY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Rechnen mit Vektoren, Grundlagen, Basics, Mathe by Daniel Jung, Erkl\u00e4rvideo<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XKr6Qe9_trY\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXKr6Qe9_trY%2F0.jpg\" alt=\"Rechnen mit Vektoren, Grundlagen, Basics, Mathe by Daniel Jung, Erkl&auml;rvideo\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"MittelpunktEinerStrecke\" class=\"anchor\">Mittelpunkt einer Strecke<\/h2>\n<p>Gegeben sei die Strecke, die durch die Punkte $A$ und $B$ begrenzt wird. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $M$, der genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$ liegt. Um diesen zu berechnen, muss man sich einer einfachen Formel bedienen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;(2D) \\ \\ \\ M \\left( \\frac{a_1 + b_1 }{2}\\ | \\ \\frac{a_2 + b_2 }{2} \\right) \\notag \\\\<br \/>\n&amp;(3D) \\ \\ \\ M \\left( \\frac{a_1 + b_1 }{2}\\ | \\ \\frac{a_2 + b_2 }{2}\\ | \\ \\frac{a_3 + b_3 }{2} \\ \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Beispiel: Berechne den Mittelpunkt der Punkte $A = (2|4|3)$ und $B=(10|16|5)$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nM_{AB} = \\left( \\frac{2 + 10 }{2} \\ | \\ \\frac{4 + 16 }{2} \\ | \\ \\frac{3 + 5 }{2} \\right) = (6 | 10 | 4) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Einschub &#8211; Formel Schwerpunkt Dreieck:<\/strong> $ \\overrightarrow{0S} = \\frac{1}{3}( \\overrightarrow{0A} + \\overrightarrow{0B} + \\overrightarrow{0C})$<\/p>\n<p><strong>Lass dir erkl\u00e4ren, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnet.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Mittelpunkt bestimmen in der Vektorrechnung, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_JU7YspTgFew\"><div id=\"lyte_JU7YspTgFew\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FJU7YspTgFew%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Mittelpunkt bestimmen in der Vektorrechnung, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/JU7YspTgFew\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FJU7YspTgFew%2F0.jpg\" alt=\"Mittelpunkt bestimmen in der Vektorrechnung, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"LineareAbhaengigkeit\" class=\"anchor\">Lineare Abh\u00e4ngigkeit und Unabh\u00e4ngigkeit von Vektoren<\/h2>\n<p>Bevor wir uns angucken, wie man lineare Abh\u00e4ngkeit bzw. Unabh\u00e4ngigkeit nachweist, soll uns die folgende Abbildung zun\u00e4chst einen \u00dcberblick geben, was f\u00fcr F\u00e4lle auftreten k\u00f6nnen. Wichtige Begriffe hierbei:\u00a0<em>Kollinear<\/em> und Komplanar.<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3245\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abhaengigkeit-1024x682.png\" alt=\"Vektoren: Komplanar, Kollinear\" width=\"498\" height=\"332\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abhaengigkeit-1024x682.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abhaengigkeit-300x200.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abhaengigkeit-768x511.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abhaengigkeit.png 1610w\" sizes=\"(max-width: 498px) 100vw, 498px\" \/><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"3 Vektoren auf Komplanarit&auml;t untersuchen, Komplanar, linear abh&auml;ngig, unabh&auml;ngig\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_qBQeFSnLOVA\"><div id=\"lyte_qBQeFSnLOVA\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FqBQeFSnLOVA%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">3 Vektoren auf Komplanarit\u00e4t untersuchen, Komplanar, linear abh\u00e4ngig, unabh\u00e4ngig<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/qBQeFSnLOVA\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FqBQeFSnLOVA%2F0.jpg\" alt=\"3 Vektoren auf Komplanarit&auml;t untersuchen, Komplanar, linear abh&auml;ngig, unabh&auml;ngig\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Wenn wir also nachweisen, dass zwei Vektoren kollinear bzw. drei Vektoren komplanar sind, wissen wir, dass die Vektoren linear abh\u00e4ngig sind.<\/p>\n<p><strong>Beispiel mit zwei Vektoren<\/strong>\u00a0Die zwei Vektoren $\\vec{a}$ und $\\vec{b}$ sind linear abh\u00e4ngig, da sie Vielfache voneinander sind (kollinear). Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2 \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end {array} \\right) =<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end {array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3246\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar1-1024x689.png\" alt=\"Linear abh\u00e4ngige Vektoren\" width=\"162\" height=\"109\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar1-1024x689.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar1-300x202.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar1-768x516.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_skalar1.png 1142w\" sizes=\"(max-width: 162px) 100vw, 162px\" \/><\/p>\n<p>Allgemeiner Ansatz bei der Untersuchung von zwei Vektoren aus $\\mathbb{R}^2$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{a}= r \\cdot \\vec{b} \\Rightarrow \\left( \\begin{array}{c} 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end {array} \\right) = r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end {array} \\right) \\Leftrightarrow \\begin{array}{c} 4=2r \\\\ 4=2r \\\\ 4=2r \\end {array} \\Leftrightarrow \\begin{array}{c} 2=r \\\\ 2=r \\\\ 2=r \\end {array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Nun pr\u00fcft man zeilenweise die Eintr\u00e4ge und bestimmt jeweils $r$. M\u00f6gliche L\u00f6sungen:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn unterschiedliche Werte f\u00fcr $r$ rauskommen, dann sind die Vektoren nicht kollinear und damit linear unabh\u00e4ngig.<\/li>\n<li>Wenn f\u00fcr $r$ \u00fcberall das Gleiche rauskommt, dann sind die Vektoren kollinear und linear abh\u00e4ngig.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn wir zeigen m\u00fcssen, ob drei Vektoren $\\vec{a}$, $\\vec{b}$ und $\\vec{c}$ aus $\\mathbb{R}^3$ linear abh\u00e4ngig sind oder nicht, sehen wir entweder auf Anhieb, ob sich einer der Vektoren aus den anderen Vektoren darstellen l\u00e4sst (komplanar), siehe dazu das Beispiel mit zwei Vektoren, oder wir arbeiten mit dem allgemeinen Ansatz, welcher immer zum Erfolg f\u00fchrt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nr\\cdot \\vec{a}+s\\cdot \\vec{b}+t\\cdot \\vec{c} = \\vec{0}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die zu untersuchende Gleichung ist \u00e4quivalent zu einem LGS, das man mit dem Gau\u00df-Verfahren l\u00f6sen kann. M\u00f6gliche Ergebnisse:<\/p>\n<ul>\n<li>$r=s=t=0$, dann sind die Vektoren nicht komplanar und damit linear unabh\u00e4ngig<\/li>\n<li>Wahre Aussage, z.B. $0=0$, dann sind die Vektoren komplanar und linear abh\u00e4ngig<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Beispiel mit drei Vektoren<\/strong> Gegeben sind die Vektoren<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{a}=\\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end {array} \\right) \\quad<br \/>\n\\vec{b}=\\left( \\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\end {array} \\right) \\quad<br \/>\n\\vec{c}=\\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 3 \\\\ 3 \\end {array} \\right),<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>die auf lineare Abh\u00e4ngigkeit untersucht werden sollen. Wir nehmen den allgemeinen Ansatz zur Hand und erhalten ein <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lgs-loesen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">LGS<\/a>, welches wir an dieser Stelle mit dem Gau\u00df-Algorithmus (siehe Kap. LGS l\u00f6sen) l\u00f6sen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nr\\cdot \\vec{a}+s\\cdot \\vec{b}+t\\cdot \\vec{c} = \\vec{0} \\quad \\Rightarrow \\quad<br \/>\n\\begin{array}{l} \\textrm{I} \\\\ \\textrm{II} \\\\ \\textrm{III} \\end{array} \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 \\\\ 1 &amp; -1 &amp; 3 &amp; 0 \\\\ 2 &amp; 1 &amp; 3 &amp; 0 \\end {array} \\right) \\begin{array}{l} \\\\ \\textrm{II}-\\textrm{I} \\\\ \\textrm{III}-2\\cdot\\textrm{I} \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\Rightarrow \\quad \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; -4 &amp; 4 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; -5 &amp; 5 &amp; 0 \\end {array} \\right) \\begin{array}{c} \\\\ \\\\ \\textrm{III}-5\/4\\cdot \\textrm{II} \\end{array} \\quad \\Rightarrow \\quad<br \/>\n\\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; -4 &amp; 4 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\end {array} \\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Interpretation des Ergebnisses: Da eine Nullzeile vorliegt, besitzt das LGS unendlich viele L\u00f6sungen. H\u00e4ttet ihr das LGS mit einem anderem Verfahren aufgel\u00f6st, w\u00e4re eine wahre Aussage wie z.B. $0=0$ rausgekommen, was das gleiche bedeutet. Infolgedessen sind die Vektoren $\\vec{a}, \\ \\vec{b}$ und $\\vec{c}$ linear abh\u00e4ngig!<br \/>\n<strong>Merke beim Gau\u00df-Verfahren:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nullzeile = Lineare Abh\u00e4ngigkeit<\/li>\n<li>keine Nullzeile = Lineare Unabh\u00e4ngigkeit<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<h2 id=\"Koordinatenebenen\" class=\"anchor\">Koordinatenebenen<\/h2>\n<p>Als <em>Koordinatenebene<\/em> bezeichnet man eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die $xy$-Ebene, die $xz$-Ebene und die $yz$-Ebene.<\/p>\n<p>Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums $R^3$ mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden h\u00e4ufig mit den Buchstaben $E$ gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:<\/p>\n<ul>\n<li>die $x_1x_2$-Ebene $E_{12}$ wird von den Vektoren $\\vec e_1$ und $\\vec e_2$ aufgespannt<\/li>\n<li>die $x_1x_3$-Ebene $E_{13}$ wird von den Vektoren $\\vec e_1$ und $\\vec e_3$ aufgespannt<\/li>\n<li>die $x_2x_3$-Ebene $E_{23}$ wird von den Vektoren $\\vec e_2$ und $\\vec e_3$ aufgespannt<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hierbei sind die drei linear unabh\u00e4ngigen Einheitsvektoren $\\vec e_1 = (1, 0, 0)^T$, $\\vec e_2 = (0, 1, 0)^T$ und $\\vec e_3 = (0, 0, 1)^T$.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3248\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_koordinatenebenen-1024x315.png\" alt=\"Koordinatenebenen\" width=\"650\" height=\"200\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_koordinatenebenen-1024x315.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_koordinatenebenen-300x92.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_koordinatenebenen-768x236.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_koordinatenebenen.png 1666w\" sizes=\"(max-width: 650px) 100vw, 650px\" \/><\/p>\n<p><strong>\u00a0Daniel erkl\u00e4rt dir das Thema Koordinatenebene nochmal in seinem Video<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Koordinatenebenen, Vektorgeometrie, analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_xF_su-zZZzw\"><div id=\"lyte_xF_su-zZZzw\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxF_su-zZZzw%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Koordinatenebenen, Vektorgeometrie, analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/xF_su-zZZzw\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxF_su-zZZzw%2F0.jpg\" alt=\"Koordinatenebenen, Vektorgeometrie, analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Thema Vektoren begleitet dich nicht nur w\u00e4hrend deiner Schullaufbahn, sondern ist auch relevant f\u00fcr dein Studium oder deine Ausbildung. Wir haben f\u00fcr dich in diesem Artikel alle relevanten Themen zu Vektoren aufgelistet und in leicht verst\u00e4ndlicher Sprache erkl\u00e4rt. Zus\u00e4tzlich findest du passende Erkl\u00e4rvideos von Daniel Jung, damit du dein Wissen vertiefen kannst. Inhaltsverzeichnis Grundlagen [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":1,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Vektoren Schritt f\u00fcr Schritt berechnen - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du m\u00f6chtest Vektoren berechnen und ben\u00f6tigst Hilfe? 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