{"id":64,"date":"2015-03-25T20:58:51","date_gmt":"2015-03-25T19:58:51","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=64"},"modified":"2020-02-11T09:42:32","modified_gmt":"2020-02-11T08:42:32","slug":"geraden-berechnen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/geraden-berechnen\/","title":{"rendered":"Geraden berechnen"},"content":{"rendered":"\n<p>Es gibt verschiedene Wege Geraden zu berechnen. Damit du in der Pr\u00fcfung ganz genau wei\u00dft, wie du vorgehen musst, haben wir dir alle Arten in folgendem Artikel aufgeschrieben.<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#parameterform-einer-geraden\">Parameterform einer Geraden<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#punktprobe-gerade\">Punktprobe Gerade<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#spurpunkte-von-gerade-in-koordinatenebene\">Spurpunkte von Gerade in Koordinatenebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#geschwindigkeitsaufgaben\">Geschwindigkeitsaufgaben<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">6 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download\u2713 steigender Schwierigkeitsgrad\u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-klein.png\" alt=\"Geraden Aufgabensammlung\" title=\"Geraden Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"parameterform-einer-geraden\">Parameterform einer Geraden<\/h2>\n<p>Die Gleichung einer Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $B$ mit den Ortsvektoren $\\vec{a}$ und $\\vec{b}$ lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng:\\vec{x} = \\vec{a} + t \\cdot \\vec{u}, \\quad t \\in \\mathbb{R}, \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>wobei $\\vec{u} = \\vec{b}-\\vec{a}$ der Richtungsvektor zwischen den Punkten $A$ und $B$ sowie $t$ eine beliebige reelle Zahl, unser Parameter, ist.<\/p>\n<div id=\"attachment_1857\" style=\"width: 360px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img aria-describedby=\"caption-attachment-1857\" decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1857\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade2dneu.png\" alt=\"Geraden berechnen \" width=\"350\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade2dneu.png 350w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade2dneu-300x145.png 300w\" sizes=\"(max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><p id=\"caption-attachment-1857\" class=\"wp-caption-text\">Gerade in der Ebene:\u00a0 $$g:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\end{array} \\right) + t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 7 \\\\ 2 \\end{array} \\right) $$<\/p><\/div>\n<div id=\"attachment_1859\" style=\"width: 367px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img aria-describedby=\"caption-attachment-1859\" decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1859\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade3dneu.png\" alt=\"geraden berechnen parameterform\" width=\"357\" height=\"188\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade3dneu.png 350w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_gerade3dneu-300x158.png 300w\" sizes=\"(max-width: 357px) 100vw, 357px\" \/><p id=\"caption-attachment-1859\" class=\"wp-caption-text\">Gerade im Raum: $$g:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ 4 \\end{array} \\right) + t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 8 \\\\ 8 \\\\ 6 \\end{array} \\right)$$<\/p><\/div>\n<p>Da diese Gleichung den Parameter $t$ enth\u00e4lt, spricht man von der Parameterform einer Geradengleichung. Durchl\u00e4uft $t$ alle reellen Zahlen, erh\u00e4lt man jeden Punkt der Geraden $g$ (gestrichelte Linie). Der Vektor $\\vec{a}$ hei\u00dft Ortsvektor (auch St\u00fctzvektor oder Pin), der Vektor $\\vec{u}$ hei\u00dft Richtungsvektor.<\/p>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">6 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download\u2713 steigender Schwierigkeitsgrad\u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-klein.png\" alt=\"Geraden Aufgabensammlung\" title=\"Geraden Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<p><strong>Vertiefe dein Wissen mit Daniels Lernvideo!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Parameterform einer Geraden, Ortsvektor, Richtungsvektor, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_YZ3Q7oRjDBw\"><div id=\"lyte_YZ3Q7oRjDBw\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FYZ3Q7oRjDBw%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Parameterform einer Geraden, Ortsvektor, Richtungsvektor, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/YZ3Q7oRjDBw\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FYZ3Q7oRjDBw%2F0.jpg\" alt=\"Parameterform einer Geraden, Ortsvektor, Richtungsvektor, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"punktprobe-gerade\">Punktprobe Gerade<\/h2>\n<p>Eine Punktprobe wird durchgef\u00fchrt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erf\u00fcllt der Punkt die Gleichung, d.h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge.<\/p>\n<p>Somit ist es m\u00f6glich, am Ende einer Rechnung zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob z. B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tats\u00e4chlich auf beiden Geraden liegt.<\/p>\n<p><strong>Beispiel<\/strong>Liegt der Punkt $Q(8|3|5)$ auf der Geraden $h$ mit der Parametergleichung?<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nh: \\vec x = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 0 \\\\ 4 \\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}, t\u00a0\\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr den Vektor $\\vec x$ setzt man den Ortsvektor zu Punkt $Q$ ein und l\u00f6st zeilenweise nach dem Parameter $t$ auf. Da sich in der ersten Zeile $t =2$ ergibt, gleichzeitig die zweite Zeile aber $t = -3$ liefert, gibt es einen Widerspruch. Somit liegt der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden $h$. <\/p>\n<p>Wenn wir f\u00fcr alle $t$&#8217;s den gleichen Wert berechnet h\u00e4tten, w\u00e4re das eine wahre Aussage und der Punkt f\u00fcr auf der Geraden liegen.<\/p>\n<p><strong>Lass dir nochmal von Daniel die Punktprobe bei Geraden erkl\u00e4ren.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Punktprobe bei Geraden in der Vektorgeometrie, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_xzIC2Z72NYw\"><div id=\"lyte_xzIC2Z72NYw\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxzIC2Z72NYw%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Punktprobe bei Geraden in der Vektorgeometrie, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/xzIC2Z72NYw\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxzIC2Z72NYw%2F0.jpg\" alt=\"Punktprobe bei Geraden in der Vektorgeometrie, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"spurpunkte-von-gerade-in-koordinatenebene\">Spurpunkte von Gerade in Koordinatenebene<\/h2>\n<p>Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt ($E_{23}$, $E_{13}$ und $E_{12}$), lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<\/p>\n<ul>\n<li>$S_1$ ist der Schnittpunkt von Gerade und $x_2x_3$-Ebene<\/li>\n<li>$S_2$ ist der Schnittpunkt von Gerade und $x_1x_3$-Ebene<\/li>\n<li>$S_3$ ist der Schnittpunkt von Gerade und $x_1x_2$-Ebene<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Vorgehensweise zur Berechnung von Spurpunkten $S_i$:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>$i$-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugeh\u00f6rigen Parameter $t$ berechnen<\/li>\n<li>$t$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Gegeben sei die Gerade<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\vec x = \\left( \\begin {array} {c} 1\\\\ -4\\\\ 4 \\end {array} \\right)<br \/>\n+ t \\cdot \\left( \\begin {array} {c} 1\\\\ 2\\\\-1 \\end {array} \\right).<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Berechne den Spurpunkt $S_1$ der Geraden mit der $x_2x_3$-Ebene.<br \/>\nHierf\u00fcr arbeiten wir die Punkte der obigen Vorgehensweise ab. Als erstes $x_1=0$ in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $t$ zu berechnen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0=1+t\\cdot 1 \\quad \\Rightarrow \\quad t=-1 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Dann muss $t$ in die Geradengleichung eingesetzt werden, um den Spurpunkt zu berechnen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nS_1 = \\left( \\begin {array} {c} 1\\\\ -4\\\\ 4 \\end {array} \\right)<br \/>\n+(-1) \\cdot \\left( \\begin {array} {c} 1\\\\ 2\\\\-1 \\end {array} \\right) = \\left( \\begin {array} {c} 0 \\\\ -6 \\\\ 5 \\end {array} \\right). \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Spurpunkt mit der $x_2x_3$-Ebene hat demnach die Koordinaten $S_1=(0|-6|5)$.<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"box info\">\nMerke: Es muss nicht zwangsl\u00e4ufig drei Spurpunkte geben. Wenn z.B. eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wird diese von der Gerade nicht geschnitten.<br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir nochmals das Lernvideo zum Thema Spurkunkte an, um dein Wissen zu vertiefen!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_G3AV9T1JPfI\"><div id=\"lyte_G3AV9T1JPfI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FG3AV9T1JPfI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/G3AV9T1JPfI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FG3AV9T1JPfI%2F0.jpg\" alt=\"Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"geschwindigkeitsaufgaben\">Geschwindigkeitsaufgaben<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<strong>Beispiel<\/strong> <\/p>\n<p>Wir betrachten ein dreidimensionales Koordinatensystem und die Koordinatenachsen stellen die Richtungen Ost, Nord und senkrecht nach oben dar. Es gilt<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nx_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3<br \/>\n\\end{pmatrix} =<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n\\textrm{Ost} \\\\ \\textrm{Nord} \\\\ \\textrm{Oben}<br \/>\n\\end{pmatrix}. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die L\u00e4ngeneinheit in allen drei Richtungen betr\u00e4gt 1 km.<\/p>\n<p>Gegeben sind vier Punkte im Raum:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nA(5 | 9 | 8),\\ B( 5 | 1 | 8), \\ C( 13 | 33 | 10),\\ D (19 | 27 | 9). \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Geraden<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng : \\vec{x}= \\vec{a}+t\\cdot (\\vec{b}-\\vec{a}), \\ t \\in \\mathbb{R} \\notag \\\\<br \/>\nh : \\vec{x}= \\vec{c}+t\\cdot (\\vec{d}-\\vec{c}), \\ t \\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>beschreiben kurzzeitig die Bahnen zweier Flugzeuge.<\/p>\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: <\/p>\n<p>Bei Geschwindigkeitsaufgaben muss beachtet werden, dass der Parameter (hier $t$) f\u00fcr die Zeit benutzt wird und bei beiden Gleichungen gleich ist.<\/p>\n<p>Um 8.00 Uhr befand sich das erste Flugzeug im Punkt $A$ und das zweite Flugzeug im Punkt $C$ und beide flogen danach noch mindestens 4 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Der Parameter $t$ beschreibt also die Zeit in Minuten und beginnt bei $t= 0$ mit 8:00 Uhr.<\/p>\n<p>Bestimme die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge in der Zeit zwischen 8:00 und 8:04 Uhr. Die Flugzeuge haben in den ersten 4 Minuten eine konstante Geschwindigkeit. Also kann man auch die Geschwindigkeit in der ersten Minute berechnen.<\/p>\n<p>Das erste Flugzeug fliegt in einer Minute von $A(t= 0)$ nach $B(t= 1)$. Ebenso fliegt das zweite Flugzeug in einer Minute von $C(t= 0)$ nach $D(t= 1)$. Darum berechnen wir einerseits den Abstand von $A$ nach $B$ und andererseits den Abstand von $C$ nach $D$. Der Abstand kann mit dem Betrag des Richtungsvektors bestimmt werden.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n|\\overrightarrow{AB}|&amp;=\\sqrt{(\\vec{b}-\\vec{a})^2} = \\sqrt{0^2+(-8)^2+0^2}=8 \\notag \\\\<br \/>\n|\\overrightarrow{CD}|&amp;=\\sqrt{(\\vec{d}-\\vec{c})^2} = \\sqrt{6^2+6^2+1^2}=8,54 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aufpassen: Der Richtungsvektor beschreibt die zur\u00fcckgelegte Strecke in einer Zeiteinheit. Zudem muss an die Umrechnung der Einheiten gedacht werden. Geschwindigkeiten werden normalerweise in [km\/h] angegeben. Wir haben die Geschwindigkeit in [km\/min] ausgerechnet. Wie viele &#8222;Stunden&#8220; sind eine Minute? Genau, wir ersetzen also [min] durch [$1\/60$ h] und erhalten die Geschwindigkeiten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nv_1&amp;=8 \\ \\textrm{[km\/min]} \\ = 480 \\ \\textrm{[km\/h]} \\notag \\\\<br \/>\nv_2&amp;=8,54 \\ \\textrm{[km\/min]} \\ = 512 \\ \\textrm{[km\/h]}. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_G3AV9T1JPfI\"><div id=\"lyte_G3AV9T1JPfI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FG3AV9T1JPfI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/G3AV9T1JPfI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FG3AV9T1JPfI%2F0.jpg\" alt=\"Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Es gibt verschiedene Wege Geraden zu berechnen. 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