{"id":6467,"date":"2015-03-25T20:57:44","date_gmt":"2015-03-25T19:57:44","guid":{"rendered":"http:\/\/mathe2go.de\/wp\/?page_id=60"},"modified":"2018-06-15T09:22:22","modified_gmt":"2018-06-15T07:22:22","slug":"statische-bestimmtheit","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/statische-bestimmtheit\/","title":{"rendered":"Statische Bestimmtheit"},"content":{"rendered":"\n

Wie pr\u00fcfe ich ein System auf statische Bestimmtheit?<\/h2>\n

Bei der Bestimmung der statischen Bestimmtheit sollten in der Regel 2 Bedingungen gepr\u00fcft werden um einen Ausnahmefall der Statik ausschlie\u00dfen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n

1) Notwendige Bedingung<\/strong><\/p>\n

Bei Systemen<\/span>:<\/p>\n

Mithilfe der kinematischen Abz\u00e4hlformel: $f=3n-(r+z)$<\/p>\n

mit $n$: Anzahl der Systeme<\/p>\n

$r$: Anzahl der Reaktionskr\u00e4fte<\/p>\n

$z$: Anzahl der Gelenkkr\u00e4fte<\/p>\n

Bei Fachwerken<\/span>:<\/p>\n

Mithilfe der kinematischen Abz\u00e4hlformel:\u00a0$f=2k-(r+s)$<\/p>\n

mit $k$: Anzahl der Knoten<\/p>\n

$r$: Anzahl der Reaktionskr\u00e4fte<\/p>\n

$s$: Anzahl der St\u00e4be<\/p>\n

Es gilt:<\/p>\n

$f \\leq 0$: starr, sofern kein Ausnahmefall vorliegt<\/p>\n

$f >0$: verschiebbar<\/p>\n

2) Hinreichende Bedingung<\/strong><\/p>\n

Bei Systemen: Polplan<\/p>\n

Bei Fachwerken: Bildungsgesetze & Polplan<\/p>\n

\u00dcbersicht der Bildungsgesetze\u00a0[1]<\/a><\/span>:<\/p>\n

    \n
  1. Bildungsgesetz: \u201eAusgehend von einem starren K\u00f6rper, z.B. einem Einzelstab\"Einzelstab\"<\/a>, wird ein neuer Knoten durch zwei St\u00e4be angeschlossen, so dass ein Dreieck entsteht. \"Bildungsgesetz\"<\/a>Dies kann beliebig fortgesetzt werden, solange die zwei neuen St\u00e4be nicht auf einer Geraden liegen.\u201c<\/li>\n
  2. Bildungsgesetz: \u201eZwei innerlich bestimmte Fachwerke werden durch drei St\u00e4be miteinander verbunden, die sich nicht in einem Punkt schneiden und die nicht alle parallel sind. An die Stelle von zwei St\u00e4ben kann auch ein an beiden Fachwerken gemeinsamer Knoten treten.\u201c<\/li>\n
  3. Bildungsgesetz: \u201eBei einem innerlich statisch bestimmten Fachwerk wird 1 Stab herausgenommen und an einer anderen Stelle wieder so eingef\u00fcgt, dass das Fachwerk starr ist.\u201c<\/li>\n<\/ol>\n

    [1]<\/a> Quelle: Technische Mechanik \u2013 Statik, Rolf Mahnken<\/p>\n

    Regeln zum Polplan:<\/span><\/p>\n

      \n
    1. Festes Auflager ist Pol\u00a0\"Festes<\/li>\n
    2. Bei Translationsbewegung liegt Pol im Unendlichen\u00a0\"Pol<\/li>\n
    3. Loslager ist geometrischer Ort\"Loslager\n
    4. Schnittpunkt zweier geometrischer Orte ist Pol selbst\"bil_polplan3\"<\/li>\n
    5. Bei mehrteiligen Systemen: Liegen Pol von System 1 und 2 auf einer Geraden mit dem Zwischenpol (Gelenk, dass System verbindet), dann ist das System verschiebbar\"Zwischenpol\"<\/li>\n<\/ol>\n\n
      \n

      Beispiel Fachwerk 1<\/h3>\n

      Pr\u00fcfe das folgende Fachwerk auf die statische Bestimmtheit. Wenn m\u00f6glich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen.\"bil_statisch_bsp1\"<\/a><\/p>\n

      L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n

      1) Notwendige Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      Es liegt ein Fachwerk vor, daher wird die Abz\u00e4hlformel f\u00fcr Fachwerke verwendet. Daf\u00fcr z\u00e4hlen wir nun die Knoten ($k=7$), die St\u00e4be ($s=11$) und die Lagerwertigkeiten ($r=3$: das Festlager kann 2 Kr\u00e4fte aufnehmen und das Loslager 1 Kraft!). Wir erhalten:<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \nf=2\\cdot 7-(11+3)=0
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      Damit ist die notwendige Bedingung erf\u00fcllt und wir pr\u00fcfen nun die hinreichende Bedingung:<\/p>\n

      2) Hinreichende Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      Da ein Fachwerk vorliegt, muss zun\u00e4chst die innere statische Bestimmtheit mit Hilfe der Bildungsgesetze gepr\u00fcft werden. Es liegen nur Dreiecke vor, aus diesem Grund k\u00f6nnen wir mit Hilfe des 1. Bildungsgesetzes die innere statische Bestimmtheit des Fachwerks nachweisen. Zur Verdeutlichung werden die Dreiecksfl\u00e4chen schraffiert.\"Statische<\/p>\n

      Nun noch den Polplan erstellen. Dazu werfen wir einen kleinen Blick in die Regeln. Regel I: Festlager ist Pol selbst. Regel III: Loslager ist geometrischer Ort.<\/p>\n

      \"Polplan<\/p>\n

      Das Schwierigste ist nun aber die Interpretation des Polplans. Merkt euch: Wenn der geometrische Ort nicht durch den Pol verl\u00e4uft, liegt ein Widerspruch im Polplan vor und das System ist statisch bestimmt oder nicht verschiebbar oder wie auch immer ihr es nennen wollt!<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      Beispiel Fachwerk 2<\/h3>\n

      Pr\u00fcfe das folgende Fachwerk auf die statische Bestimmtheit. Wenn m\u00f6glich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen.\"Verschiebungsfigur<\/p>\n

      L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n

      1) Notwendige Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      siehe Beispiel 1.<\/p>\n

      2)\u00a0Hinreichende Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      Bildungsgesetze, siehe Beispiel 1.<\/p>\n

      Lediglich beim\u00a0Polplan treten Unterschiede zum vorherigen Beispiel auf. Warum? Wegen dem Loslager oben rechts. Schauen wir uns also den Polplan genauer an. Wieder werfen wir einen kleinen Blick in die Regeln. Regel I: Festlager ist Pol selbst. Regel III: Loslager ist geometrischer Ort.<\/p>\n

      Interpretation des Polplans: Der geometrische Ort verl\u00e4uft durch den Pol, also liegt kein Widerspruch im Polplan vor und das System ist statisch unbestimmt oder verschiebbar oder wie auch immer ihr es nennen wollt!<\/p>\n

      \"Interpretation<\/p>\n

      Wie sieht nun die Verschiebungsfigur aus? Hier nehmen wir das Prinzip der virtuellen Arbeit etwas vorweg. Merke: \u201eJede Bewegung eines starren K\u00f6rpers ist als Drehung um den Absolutpol darstellbar.\u201c\u00a0 Zur einfacheren Darstellung wird das Fachwerk in der Verschiebungsfigur ohne die inneren St\u00e4be dargestellt. Ausgehend vom Pol ziehen wir den Polstrahl zu den \u00e4u\u00dferen Knoten. Den Drehsinn k\u00f6nnt ihr euch aussuchen (hier: Im Uhrzeigersinn). Anschlie\u00dfend verschiebt sich der Knoten senkrecht zum Polstrahl.<\/p>\n

      \"Verschiebungsfigur\"<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      Beispiel mehrteiliges System<\/h3>\n

      Pr\u00fcfe das folgende System auf die statische Bestimmtheit. Wenn m\u00f6glich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen. Bekannt: $F, \\ \\overline{M}, \\ a$\"Statische<\/p>\n

      L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n

      1) Notwendige Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      Es liegt ein \u201enormales\u201c System vor, daher wird die Abz\u00e4hlformel f\u00fcr Systeme verwendet. Daf\u00fcr z\u00e4hlen wir nun die Anzahl der Systeme ($n=2$), die Gelenkkr\u00e4fte ($z=2$: Gelenke verbinden Systeme miteinander und k\u00f6nnen 2 Kr\u00e4fte aufnehmen) und die Lagerwertigkeiten ($r=4$: zwei\u00a0 Festlager, die jeweils 2 Kr\u00e4fte aufnehmen k\u00f6nnen). Wir erhalten:<\/p>\n

      \\begin{align*}
      \nf=3\\cdot 2-(4+2)=0
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      2) Hinreichende Bedingung:<\/strong><\/p>\n

      Polplan: Wir nummerieren zun\u00e4chst unsere Systeme durch. Anschlie\u00dfend nach Festlagern Ausschau halten, denn die sind immer der Pol selbst. Ein Pol von System 1 und ein Pol von System 2. Das Gelenk, welches die Systeme verbindet, wird als Zwischenpol bezeichnet.<\/p>\n

      \"Polplan\"<\/a><\/p>\n

      Das System gilt als verschiebbar, wenn die Pole von System 1 und 2, sowie der Zwischenpol auf einer Geraden liegen (vgl. Regel 5). Das ist hier nicht der Fall. Aus diesem Grund ist das System statisch bestimmt!<\/p>\n

      L\u00f6sungsvideo zu den 3 obigen Beispielen:<\/strong><\/p>\n

      Statische Bestimmtheit pr\u00fcfen - 3 kleine Beispiele<\/div><\/div>
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