{"id":6471,"date":"2016-05-19T10:11:32","date_gmt":"2016-05-19T08:11:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mechanik\/?page_id=1773"},"modified":"2018-06-15T09:17:31","modified_gmt":"2018-06-15T07:17:31","slug":"torsion","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mechanik\/torsion\/","title":{"rendered":"Die Technische Torsionstheorie"},"content":{"rendered":"\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2143\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion.png\" alt=\"bil_torsion\" width=\"363\" height=\"186\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion.png 575w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion-300x154.png 300w\" sizes=\"(max-width: 363px) 100vw, 363px\" \/><\/a><\/p>\n<p>$\\rightarrow$\u00a0Belastung $F$\u00a0f\u00fchrt zu einem Torsionsmoment $M_T(x)$ und folglich zu einer Verdrehung $\\vartheta$ des eingespannten Tr\u00e4gers.<\/p>\n\n<h2>Einteilung der Torsion<\/h2>\n<p><strong>Merkmal Belastung:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Reine Torsion $\\rightarrow$\u00a0bei Schnittgr\u00f6\u00dfen nur $M_T(x)=0$<\/li>\n<li>Torsion mit Streckenlast $\\rightarrow$\u00a0$M_T(x) \\neq 0$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Merkmal Theorie zur Verw\u00f6lbung:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u00a0Torsion ohne W\u00f6lbbehinderung (St. Venant)\u00a0$\\rightarrow$\u00a0$u_x(x)\\neq\u00a00; \\ \\sigma_x=0$<\/li>\n<li>Torsion mit W\u00f6lbbehinderung\u00a0$\\rightarrow$\u00a0$u_x(x)\u00a0=0; \\ \\sigma_x \\neq 0$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Merkmal Querschnitt:<\/strong><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2150\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile-1024x262.png\" alt=\"bil_torsion_profile\" width=\"743\" height=\"190\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile-1024x262.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile-300x77.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile-768x196.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_profile.png 1095w\" sizes=\"(max-width: 743px) 100vw, 743px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Wichtige Formeln zu bestimmten Querschnitten:<\/p>\n<p>Zu ii.: $I_T=\\frac{4\\cdot A_m^2}{\\Lambda}$ mit $\\Lambda = \\oint \\frac{ds}{h(s)}= \\sum \\frac{a_i}{h_i}$<\/p>\n<p>Zu iii.: \u00a0$\\vartheta (x)= \\frac{M_T(x)}{G\\cdot I_T} = \\frac{\\tau_{max}}{G\\cdot h_{max}}, \\ \\tau(s)= \\frac{M_T}{I_T} \\cdot h(s)$, mit $I_T \\stackrel{\\sim}{=} \\frac{\\eta}{3} \\cdot \\sum a_i \\cdot h_i^3$<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_querschnitte.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-2152\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_querschnitte.png\" alt=\"bil_torsion_querschnitte\" width=\"243\" height=\"144\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_querschnitte.png 592w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/bil_torsion_querschnitte-300x178.png 300w\" sizes=\"(max-width: 243px) 100vw, 243px\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>L\u00f6sungsschritte<\/strong>\u00a0(vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik &#8211; Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)<\/p>\n<p>(i) <span style=\"text-decoration: underline;\">f\u00fcr statisch\u00a0bestimmte Torsionsst\u00e4be<\/span><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">a. statisches System: Aufteilung in $n$ Bereiche; eintragen von Koordinatensystemen<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">b. Schnittgr\u00f6\u00dfen<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">c. Querschnittswerte: $I_T, \\ W_T \\ \\rightarrow$ Tabelle<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">d. Schubspannungen: In Abh\u00e4ngigkeit der Querschnittsform<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">$\\bullet$ Kreis- und Kreisring: $\\tau_{xs}(x,r) = \\frac{M_T(x)}{I_T} \\cdot r$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">$\\bullet$ Geschl. d\u00fcnnwandig:\u00a0$\\tau_{xs}(x,r) = \\frac{M_T(x)}{2 \\cdot A_m \\cdot h(s)}$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">$\\bullet$ Offen d\u00fcnnwandig:\u00a0$\\tau_{max} = \\frac{M_T(x)}{W_T}$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">$\\bullet$ Bel. Querschnitt: wird meist nicht ben\u00f6tigt.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">e. Verdrehung: Integration von<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vartheta'(x) = \\frac{M_T(x)}{G I_T}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">unter Ber\u00fccksichtigung von $1 \\cdot n$ Rand- und \u00dcbergansbedingungen. Merke: bei reiner Torsion kann die Verdrehung \u00fcber<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\Delta \\vartheta = \\frac{M_T \\cdot l}{G I_T}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">berechnet werden.<\/p>\n<p>(ii)\u00a0<span style=\"text-decoration: underline;\">f\u00fcr statisch unbestimmte Torsionsst\u00e4be<\/span><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">a. statisches System<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">b. Querschnittswerte: $I_T, \\ W_T \\ \\rightarrow$ Tabelle<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">c. Verdrehungen: Integration\u00a0f\u00fcr jeden Einzelstab von<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nG \u00a0I_T\u00a0\\vartheta'(x) = -m_T(x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">unter Beachtung von $2 \\cdot n$ Rand- und \u00dcbergangsbedingungen<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">d. Weitere Aufgabenstellungen:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">z.B. Momentenverlauf \u00fcber $M_T(x) = G I_T \\vartheta'(x)$, Schubspannungen in Abh. des Querschnitts (s. oben)<\/p>\n<p><strong>Aufgabe Schubspannung infolge Torsion<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Schubspannung infolge von Torsion - offenes und geschlossenes Profil - Technische Mechanik 2\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_RyqTexeDfZ8\"><div id=\"lyte_RyqTexeDfZ8\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRyqTexeDfZ8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Schubspannung infolge von Torsion - offenes und geschlossenes Profil - Technische Mechanik 2<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/RyqTexeDfZ8\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRyqTexeDfZ8%2F0.jpg\" alt=\"Schubspannung infolge von Torsion - offenes und geschlossenes Profil - Technische Mechanik 2\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00a0Belastung \u00a0f\u00fchrt zu einem Torsionsmoment und folglich zu einer Verdrehung des eingespannten Tr\u00e4gers. Einteilung der Torsion Merkmal Belastung: Reine Torsion \u00a0bei Schnittgr\u00f6\u00dfen nur Torsion mit Streckenlast \u00a0 Merkmal Theorie zur Verw\u00f6lbung: \u00a0Torsion ohne W\u00f6lbbehinderung (St. Venant)\u00a0\u00a0 Torsion mit W\u00f6lbbehinderung\u00a0\u00a0 Merkmal Querschnitt: Wichtige Formeln zu bestimmten Querschnitten: Zu ii.: mit Zu iii.: \u00a0, mit L\u00f6sungsschritte\u00a0(vgl. 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