{"id":66,"date":"2015-03-25T20:59:00","date_gmt":"2015-03-25T19:59:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=66"},"modified":"2023-01-16T09:39:54","modified_gmt":"2023-01-16T08:39:54","slug":"ebene-aufstellen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ebene-aufstellen\/","title":{"rendered":"Ebenen in der Vektorrechnung"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel behandeln wir das Thema Ebenen in der Vektorrechnung. Du findest in den folgenden Abschnitten leicht verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rungen, Beispiele und Lernvideos, mit denen du das Thema Ebenen in der Vektorrechnung schnell verstehen wirst.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#parameterdarstellung-einer-ebene\">Parameterdarstellung einer Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ebenen-gleichung-aufstellen\">Ebenengleichung aufstellen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#normalenvektor-einer-ebene\">Normalenvektor einer Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#punktprobe-ebene\">Punktprobe Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#spurpunkte-mit-koordinatenachsen\">Spurpunkte mit Koordinatenachsen <\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">5 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Popup-Bild-small.png\" alt=\"Ebenen Aufgabensammlung\" title=\"Ebenen Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"parameterdarstellung-einer-ebene\" class=\"anchor\">Parameterdarstellung einer Ebene<\/h2>\n<p>Die allgemeine Gleichung einer Ebene $E$ mit dem St\u00fctzvektor (auch Ortsvektor\/Pin) $\\vec{p}$ und den Richtungsvektoren (auch Spannvektoren) $\\vec{u}$ und $\\vec{v}$ lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE:\\vec{x}= \\vec{p} + r \\cdot \\vec{u} + s \\cdot \\vec{v} \\quad \\textrm{mit} \\ r,s \\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr ein konkretes Beispiel sieht das wie folgt aus: Gegeben sind die Punkte $A, \\ B$ und $C$ und wir stellen eine Ebene auf. Zun\u00e4chst suchen wir uns einen Ortsvektor aus &#8211; hier sei es $A$! F\u00fcr die Spannvektoren bilden wir $\\overrightarrow{AB}$ und $\\overrightarrow{AC}$ und schon haben wir die Parameterdarstellung der gesuchten Ebene.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3897 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_pf_ebeneneu1-1024x6541.png\" alt=\"Paramterform einer Ebene\" width=\"276\" height=\"176\" \/><\/center>$$E:\\vec{x} = \\underbrace{\\left(<br \/>\n\\begin{array}{c} 2 \\\\ 3 \\\\ 4<br \/>\n\\end{array} \\right)}_{\\overrightarrow{0A}=\\vec{a}} + r \\cdot \\underbrace{\\left(<br \/>\n\\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ -3 \\end{array} \\right)}_{\\overrightarrow{AB}} + s \\cdot \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} 5 \\\\ 4 \\\\ 6<br \/>\n\\end{array} \\right)}_{\\overrightarrow{AC}}$$<\/p>\n<p>Wichtig: Die Richtungsvektoren der Ebene d\u00fcrfen keine Vielfache voneinander sein, denn dann w\u00e4re es nur eine Gerade und keine Ebene!<\/p>\n<p><strong>Schau dir das Lernvideo zu Parameterform einer Ebene an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Parameterform einer Ebene, Ortsvektor, Spannvektoren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_Qutmmrz5aLE\"><div id=\"lyte_Qutmmrz5aLE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FQutmmrz5aLE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Parameterform einer Ebene, Ortsvektor, Spannvektoren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Qutmmrz5aLE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FQutmmrz5aLE%2F0.jpg\" alt=\"Parameterform einer Ebene, Ortsvektor, Spannvektoren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"ebenen-gleichung-aufstellen\" class=\"anchor\">Ebenengleichung aufstellen<\/h2>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11575\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Gerade-Gerade.jpg\" alt=\"\" width=\"715\" height=\"823\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Gerade-Gerade.jpg 715w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Gerade-Gerade-261x300.jpg 261w\" sizes=\"(max-width: 715px) 100vw, 715px\" \/><\/p>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">5 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Popup-Bild-small.png\" alt=\"Ebenen Aufgabensammlung\" title=\"Ebenen Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"normalenvektor-einer-ebene\" class=\"anchor\">Normalenvektor einer Ebene<\/h2>\n<p>Der Normalenvektor $\\vec{n}=(n_1 \\ n_2 \\ n_3)^T$ verl\u00e4uft immer senkrecht (orthogonal) zur Ebene. Also senkrecht sowohl zum einen Richtungsvektor als auch zum anderen Richtungsvektor!<\/p>\n<p>Anhand der Ebene $E$ zeigen wir euch zwei M\u00f6glichkeiten, wie man den Normalenvektor bestimmen kann.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE : \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3903 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normalenvektor11.png\" alt=\"Normalenvektor einer Ebene\" width=\"248\" height=\"113\" \/><\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 1: Skalarprodukt<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad \\left( \\begin{array}{c} n_1 \\\\ n_2 \\\\ n_3 \\end{array} \\right) \\bullet \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) = 0 \\quad \\textrm{und} \\quad<br \/>\n\\textrm{II} \\quad \\left( \\begin{array}{c} n_1 \\\\ n_2 \\\\ n_3 \\end{array} \\right) \\bullet \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{array} \\right) = 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig l\u00f6sbar!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad 1n_1 + 2n_2 + 1 n_3 = 0 \\notag \\\\<br \/>\n\\textrm{II} \\quad 2n_1 + 2n_2 &#8211; 1 n_3 = 0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es gibt hier zwei Berechnungsm\u00f6glichkeiten &#8211; per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand l\u00f6sen, w\u00fcrde es sich in diesem Fall anbieten Gl. $\\textrm{I}$ und $\\textrm{II}$ zu addieren, damit $n_3$ wegf\u00e4llt. Wir erhalten mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp; \\quad &amp; 3n_1 + 4n_2 \\ &amp;=0 \\quad &amp; |-4n_2 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; 3n_1 \\ &amp;= -4n_2 \\quad &amp; \\ |:(-4) \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; -\\frac{3}{4} n_1 \\ &amp;= n_2 \\quad &amp;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>den allgemeinen Normalenvektor in Abh\u00e4ngigkeit von $n_1$: $\\vec{n}=(n_1 \\ -3\/4n_1 \\ 1\/2n_1)^T$.<\/p>\n<p>F\u00fcr einen speziellen Normalenvektor w\u00e4hlen wir f\u00fcr $n_1$ eine beliebige Zahl aus. Die w\u00e4hlen wir so, dass insgesamt sch\u00f6ne Zahlen raus kommen. Wenn $n_1=4$ ist, dann folgt f\u00fcr $n_2=-3$ und f\u00fcr $n_3=2$. Daraus folgt f\u00fcr den speziellen Normalenvektor $\\vec{n} = (4 \\ -3 \\ \\ 2)^T$.<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 2:\u00a0Kreuzprodukt<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) \\times<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{rcl} 2\\cdot (-1) &amp; &#8211; &amp; 1 \\cdot 2 \\\\ 1\\cdot 2 &amp; &#8211; &amp; 1 \\cdot (-1) \\\\ 1\\cdot 2 &amp; &#8211; &amp; 2 \\cdot 2 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} -4 \\\\ 3 \\\\ -2 \\end{array} \\right) = \\vec{n}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<h3>Merke<\/h3>\n<p>Sucht man den Normalenvektor, so erh\u00e4lt man immer unendlich viele L\u00f6sungen, weil der Normalenvektor, egal welche L\u00e4nge er hat, immer noch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren steht. Die verschiedenen L\u00f6sungen f\u00fcr $\\vec{n}$ kommen also von den verschiedenen Richtungen und L\u00e4ngen von $\\vec{n}$. Der Normalenvektor $\\vec{n}$ mit L\u00e4nge 1 hei\u00dft normierter Normalenvektor und wird meistens mit $\\vec{n}_0$ bezeichnet.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 3: Ablesen an Koordinatenform<\/strong><\/p>\n<p>Wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt, habt ihr die M\u00f6glichkeit, den Normalenvektor direkt abzulesen. Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Zahlen vor $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Wenn in der Ebenengleichung z.B. kein $x_3$ vorkommt, ist dieser Eintrag beim Normalenvektor eine Null.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3899 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_nablesen1.png\" alt=\"\" width=\"407\" height=\"281\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_nablesen1.png 407w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_nablesen1-300x207.png 300w\" sizes=\"(max-width: 407px) 100vw, 407px\" \/><\/p>\n<h4><strong>Umwandeln von Ebenengleichungen <\/strong><\/h4>\n<p>Die folgende Abbildung gibt einen \u00dcberblick \u00fcber das Umwandeln von Ebenengleichungen. F\u00fcr jede Umwandlung werden wir gem\u00e4\u00df der Nummerierung 1-8 ein Beispiel zeigen, damit keine Fragen mehr offen bleiben. Wozu m\u00fcssen wir das k\u00f6nnen? Entweder weil das in der Aufgabe gefordert wird, oder weil eine andere Form der Ebene eine bestimmte Rechnung vereinfacht.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3549\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ebenenumwandeln2-1024x672.png\" alt=\"\" width=\"577\" height=\"379\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ebenenumwandeln2-1024x672.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ebenenumwandeln2-300x197.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ebenenumwandeln2-768x504.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ebenenumwandeln2.png 1665w\" sizes=\"(max-width: 577px) 100vw, 577px\" \/><\/p>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">5 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Popup-Bild-small.png\" alt=\"Ebenen Aufgabensammlung\" title=\"Ebenen Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<p><strong>Beispiel zu 1:<\/strong><br \/>\nGegeben sei die Ebene in Parameterform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 7 \\end{pmatrix} +t \\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 6 \\end{pmatrix}, \\notag<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nwelche wir in Normalenform umwandeln m\u00f6chten.\u00a0Vorgehensweise:<\/p>\n<ol>\n<li>Normalenvektor $\\vec{n}$ berechnen (= Kreuzprodukt der Richtungsvektoren)\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{n}=\\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 7 \\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Ortsvektor $\\vec{p}=(2\\\u00a01\\\u00a01)^T$ von Parameterform \u00fcbernehmen<\/li>\n<li>$\\vec{n}$ und $\\vec{a}$ in Normalenform einsetzen\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix}=0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>Beispiel zu 2:<\/strong><br \/>\nGegeben sei die Ebene in Normalenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = 0\\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir in Parameterform umwandeln m\u00f6chten.\u00a0Vorgehensweise<\/p>\n<p>1. Ortsvektor $\\vec{p}=(2\\\u00a01\\\u00a01)^T$ von Normalenform \u00fcbernehmen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\vec{u} + t \\cdot \\vec{v} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>2. Suche nach zwei Richtungsvektoren $\\vec{u}$ und $\\vec{v}$, die senkrecht zum Normalenvektor $\\vec{n}=(n_1 \\ n_2 \\ n_3)^T$ stehen. Es muss also gelten: $\\vec{n} \\bullet \\vec{u} =0$ und $\\vec{n} \\bullet \\vec{v} =0$.<br \/>\nW\u00e4hle<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{u} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -n_3 \\\\ n_2 \\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad \\vec{v} = \\begin{pmatrix} n_2 \\\\ -n_1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>In unserem Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{u} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -2 \\\\ 15 \\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad \\vec{v} = \\begin{pmatrix} 15 \\\\ -1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zur Kontrolle:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{n} \\bullet \\vec{u} &amp;= \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -2 \\\\ 15 \\end{pmatrix} = 1\\cdot 0 + 15 \\cdot (-2) + 2 \\cdot 15 = 0 \\quad\u00a0 \\\\ \\vec{n} \\bullet \\vec{v} &amp;= \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 15 \\\\ -1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = 1\\cdot 15 + 15 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 0 = 0 \\quad<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>3. Daraus folgt unsere Ebene in Parameterform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x}=<br \/>\n\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} 0\u00a0\\\\ -2\u00a0\\\\ 15\u00a0\\end{pmatrix} +t \\cdot \\begin{pmatrix} 15 \\\\ -1\\\\ 0\u00a0\\end{pmatrix}. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beispiel zu 3:<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben sei die Ebene in Normalenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = 0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir in Koordinatenform umwandeln m\u00f6chten. Vorgehensweise: Ausmultiplizieren (Distributivgesetz), um auf den Ansatz $\\vec{x}\\bullet \\vec{p}=\\vec{n} \\bullet \\vec{p}$ zu kommen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp; \\quad &amp; \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} &#8211; \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\ &amp; =0 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\ &amp;= \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; 1\\cdot x_1+15\\cdot x_2+2\\cdot x_3 \\ &amp;= 2 \\cdot 1 + 1 \\cdot 15 + 1 \\cdot 2 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; 1\\cdot x_1+15\\cdot x_2+2\\cdot x_3 \\ &amp;= 19<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beispiel zu 4:<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben sei die Ebene in Koordinatenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n1\\cdot x_1+15\\cdot x_2+2\\cdot x_3 &amp;= 19 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nwelche wir in Normalenform umwandeln m\u00f6chten.Vorgehensweise:<\/p>\n<ol>\n<li>Normalenvektor anhand der Vorfaktoren ablesen: $\\vec{n}=(1\\\u00a015\u00a0\\\u00a02)^T$<\/li>\n<li>Ortsvektor $\\vec{p}$ finden. Daf\u00fcr w\u00e4hlen wir zwei Variablen frei ($x_2=x_3=0$) und bestimmen die \u00dcbrige $x_1$:\\begin{align*}\\Rightarrow \\ x_1 + 15 \\cdot 0 + 2 \\cdot0 &amp;= 19 \\notag \\\\x_1 &amp;=19 \\notag\\end{align*}<\/li>\n<li>Normalenform aufstellen:\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 19\u00a0\\\\ 0\u00a0\\\\ 0\u00a0\\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 15 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = 0\\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>Beispiel zu 5<\/strong>:<br \/>\nGegeben sei die Ebene in Parameterform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ 7 \\end{pmatrix} +s \\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 6 \\end{pmatrix} \\quad r,s \\in \\mathbb{R},<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir in Koordinatenform umwandeln m\u00f6chten.<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 1:<\/strong><br \/>\nLGS aus Parameterform aufstellen und $r,\\ s$ eliminieren.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rccccccc}<br \/>\n\\textrm{I} &amp; x_1 &amp; = &amp; 2 &amp; + &amp; r &amp; + &amp; 3s \\\\<br \/>\n\\textrm{II} &amp; x_2 &amp; = &amp; 1 &amp; &#8211; &amp; r &amp; &#8211; &amp; s \\\\<br \/>\n\\textrm{III} &amp; x_3 &amp; = &amp; 1 &amp; + &amp; 7r &amp;+ &amp; 6s<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\quad \\textrm{aus III+7II und II+I:} \\quad<br \/>\n\\begin{array}{rccccccc}<br \/>\n\\textrm{IV} &amp; x_1 &amp; + &amp; x_2 &amp; = &amp; 3 &amp; + &amp; 2s \\\\<br \/>\n\\textrm{V} &amp; 7x_2 &amp; + &amp; x_3 &amp; = &amp; 8 &amp; &#8211; &amp; s<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus $2\\textrm{V}+ \\textrm{IV}$ folgt dann die gesuchte Koordinatenform:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_1 + 15x_2 + 2x_3 = 19<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 2:<\/strong><\/p>\n<p>Umweg \u00fcber Normalenform. Ansatz:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(\\vec{x}-\\vec{p})\\bullet \\vec{n} = 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad \\vec{x} \\bullet \\vec{n}=\\vec{p} \\bullet \\vec{n}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit $\\vec{n}=\\vec{u} \\times \\vec{v} = ( 1 \\ 15 \\ 2)^T$ folgt f\u00fcr die Koordinatenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nx_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3<br \/>\n\\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 15 \\\\ 2<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\1 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 15 \\\\ 2<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 + 15x_2 + 2x_3 = 19<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beispiel zu 6<\/strong>:<\/p>\n<p>Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform mit $2x_1 + 4x_2+3x_3=12$, welche wir in Paramaterform umwandeln m\u00f6chten.<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 1:<\/strong><\/p>\n<p>Spurpunkte bzw. Achsenabschnittsform.<br \/>\nAus<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n2x_1 + 4x_2+3x_3=12 \\quad \\textrm{auf AF bringen:}\u00a0\\quad<br \/>\n\\frac{x_1}{6} + \\frac{x_2}{3} + \\frac{x_3}{4}=1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>k\u00f6nnen die Spurpunkte $S_1(6|0|0), \\ S_2(0|3|0)$ und $S_3(0|0|4)$<br \/>\nabgelesen werden. Die Vokabel:<em>\u00a0Ebene aus drei Punkten aufstellen\u00a0<\/em>bringt die gesuchte Parameterform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\ \\vec{x} = \\underbrace{\\begin{pmatrix} 6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix}}_{\\overrightarrow{0S_1}} + r \\cdot \\underbrace{\\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix}}_{\\overrightarrow{S_1S_2}} + s \\cdot \\underbrace{\\begin{pmatrix} -6 \\\\ 0 \\\\ 4 \\end{pmatrix}}_{\\overrightarrow{S_1S_3}} \\quad r,s \\in \\mathbb{R}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>M\u00f6glichkeit 2:<\/strong><\/p>\n<p>Zwei Koordinaten durch Parameter $r$ und $s$ ersetzen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{cccc}<br \/>\n\\textrm{Sei} &amp; x_1 &amp;=&amp; r \\\\<br \/>\n\\textrm{und}&amp; x_2 &amp;=&amp; s<br \/>\n\\end{array} \\quad\u00a0\\textrm{in Koordinatenform:}\u00a0\\quad<br \/>\n2r + 4s + 3x_3 = 12<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn wir die Gleichung nach $x_3$ umstellen erhalten wir<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_3 = 4 &#8211; \\frac{2}{3}r &#8211; \\frac{4}{3}s<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und damit die gesuchte Parametergleichung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n&amp; r &amp; \\\\ &amp; &amp; s \\\\ 4 &amp; &#8211; \\frac{2}{3}r &amp; &#8211; \\frac{4}{3}s<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n0 \\\\ 0 \\\\ 4<br \/>\n\\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 0 \\\\ -2\/3<br \/>\n\\end{pmatrix}+ s \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n0 \\\\ 1 \\\\ -4\/3<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad r,s \\in \\mathbb{R}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beispiel\u00a0zu 7<\/strong>:<\/p>\n<p>Gegeben sei die Ebene in Normalenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -2 \\end{pmatrix} = 0, \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir in die Hessesche Normalenform umwandeln m\u00f6chten.<\/p>\n<p>Vorgehensweise:<br \/>\n1.\u00a0L\u00e4nge des Normalenvektors $\\vec{n}$ ausrechnen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n|\\vec{n}|=\\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}=\\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\\sqrt{9}=3 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>2.\u00a0Normierten Normalenvektor $\\vec{n}_0$ mit der Formel $\\vec{n}_0=\\vec{n}\/|\\vec{n}|$ bestimmen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{n}_0 = \\frac{\\vec{n}}{|\\vec{n}|} = \\begin{pmatrix} 2\/3 \\\\ 1 \/ 3 \\\\ -2 \/3 \\end{pmatrix} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>3. \u00a0In Hessesche Normalenform einsetzen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\left( \\vec{x}- \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right) \\bullet \\begin{pmatrix} 2\/3 \\\\ 1 \/ 3 \\\\ -2 \/3 \\end{pmatrix} = 0\\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Beispiel zu 8:<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben sei die Ebene in Koordinatenform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n1\\cdot x_1+15\\cdot x_2+2\\cdot x_3 &amp;= 19 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir in die Achsenabschnittsform umwandeln m\u00f6chten. Daf\u00fcr muss auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens eine 1 stehen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n1\\cdot x_1+15\\cdot x_2+2\\cdot x_3 &amp;= 19 \\quad |:19 \\notag \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \\frac{x_1}{\\frac{19}{1}}+ \\frac{x_2}{\\frac{19}{15}} +\\frac{x_3}{\\frac{19}{2}} &amp;= 1 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"punktprobe-ebene\" class=\"anchor\">Punktprobe Ebene<\/h2>\n<p><strong>Beispiel mit Parameterform<\/strong><\/p>\n<p>Liegt der Punkt $P(1|2|4)$ auf der Ebene mit der Parameterform<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 4 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 3 \\\\ 1 \\\\ 5 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Hierf\u00fcr muss m\u00fcssen die Koordinaten der einzelnen Komponenten von $\\vec{x}$, also $x_1,x_2,x_3$ durch die Koordinaten des Punktes $P$ ersetzt werden. Man erh\u00e4lt ein LGS mit 3 Gleichungen, welches nach $r$ und $s$ gel\u00f6st werden muss. Zur Bestimmung von 2 Unbekannten ben\u00f6tigt man nur 2 Gleichungen. Die dritte Gleichung dient somit der Kontrolle und muss wahr sein, wenn der Punkt auf der Ebene liegt.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Punktprobe mit Ebenen in Parameterform, Gleichsetzen und LGS l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_VWAtX33MoAM\"><div id=\"lyte_VWAtX33MoAM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FVWAtX33MoAM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Punktprobe mit Ebenen in Parameterform, Gleichsetzen und LGS l\u00f6sen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/VWAtX33MoAM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FVWAtX33MoAM%2F0.jpg\" alt=\"Punktprobe mit Ebenen in Parameterform, Gleichsetzen und LGS l&ouml;sen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel mit Koordinatenform<\/strong><\/p>\n<p>Liegt der Punkt $R(2|1|11)$ auf der Ebene mit der Koordinatengleichung $E: \\ 3 x_1+7 x_2- x_3=2$?<br \/>\nF\u00fcr $x_1$, $x_2$ und $x_3$ setzt man die Koordinaten des Punktes $R$ ein. $ 3 \\cdot 2+7 \\cdot 1 &#8211; 11=2$. Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt $R$ auf der Ebene.<\/p>\n<h2 id=\"spurpunkte-mit-koordinatenachsen\" class=\"anchor\">Spurpunkte mit Koordinatenachsen<\/h2>\n<p><strong>Ebene liegt in Koordinatenform vor<\/strong><\/p>\n<p>Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte. Um m\u00f6glichst einfach eine Aussage \u00fcber Spurpunkte treffen zu k\u00f6nnen, sollte die Ebenengleichung in der sogenannten Achsenabschnittsform vorliegen. Hierf\u00fcr m\u00fcsst ihr die Koordinatenform einfach durch die Zahl teilen, bei der kein $x$ steht!<\/p>\n<p>Aus der Koordinatenform $E: 3x + y + 2z = 6$ wird, wenn wir die Gleichung durch 6 teilen also die Achsenabschnittsform $E: \\ (1\/2)x + (1\/6)y + (1\/3)z = 1$.<\/p>\n<p>Hier lassen sich die Achsenabschnitte leicht ablesen:<\/p>\n<p>Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist $S_x(2|0|0)$, welchen man erh\u00e4lt, wenn wir f\u00fcr $y$ und $z$ jeweils $0$ einsetzen. Es bleibt dann $(1\/2)x = 1$ \u00fcbrig! Diese Gleichung l\u00f6st man nach $x$ auf und erh\u00e4lt $x=2$.<\/p>\n<p>Einfacher: Immer die Zahl vor $x,y,z$ als Bruch hinschreiben und die Zahl im Nenner ist der gesuchte Spurpunkt mit der Achse! Analog hierzu erhalten wir f\u00fcr den Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y(0|6|0)$ und der Schnittpunkt mit der $z$-Achse $S_z(0|0|3)$.<\/p>\n<p><strong>Ebene liegt in Parameterform vor<\/strong><\/p>\n<p>In diesem Abschnitt liegt die Ebene in Parameterform vor. Ausgehend von dieser Ebene sollen die Spurpunkte berechnet werden. Alternatives Vorgehen: Parameterform in die Achsenabschnittsform bringen (siehe Umwandlung von Ebenengleichungen). Hier wollen wir aber die Spurpunkte mit der Parameterform berechnen.<br \/>\nBestimme die Spurpunkte der Ebene<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 4 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{array} \\right). \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst stellen wir ein LGS mit $\\vec{x}=(x_1, \\ x_2, \\ x_3)^T$ aus der Parameterform auf. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad x_1 &amp;= 1 + 3r+4s \\\\<br \/>\n\\textrm{II}\u00a0\\quad x_2 &amp;= -1 + 1r+2s \\\\<br \/>\n\\textrm{III}\u00a0\\quad x_3 &amp;= 3+ 0r-1s \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr den Spurpunkt mit $x_1$-Achse setzen wir $x_2=x_3=0$ und erhalten<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{II}^*\u00a0\\quad 0 &amp;= -1 + r + 2s \\\\<br \/>\n\\textrm{III}^*\u00a0\\quad 0 &amp;= 3 &#8211; s<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es liegt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannte vor, welches wir nach $r$ und $s$ mit den von uns bekannten Verfahren l\u00f6sen. Gl\u00fccklicherweise ist $s$ in $\\textrm{III}^*$ die einzige Unbekannte, so dass wir direkt eine L\u00f6sung f\u00fcr $s$ erhalten und $s=3$ in $\\textrm{II}^*$ einsetzen. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\Rightarrow \\quad 0 \u00a0&amp;= -1 + r + 2\\cdot 3 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad 0 \u00a0&amp;= 5 + r \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad r \u00a0&amp;= -5 \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt nur noch die Werte von $r$ und $s$ in Gleichung $\\textrm{II}$ einsetzen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_1=1+3\\cdot (-5) +4 \\cdot 3 = -2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Spurpunkt mit der $x_1$-Achse lautet $S_1 (-2 | 0|0)$.<br \/>\nDie Berechnung der Spurpunkte mit der $x_2$&#8211; und $x_3$-Achse erfolgt analog. Ihr m\u00fcsst daf\u00fcr nur die anderen Koordinaten gleich Null setzen. Hier die Spurpunkte zur Kontrolle: $S_2 (0 | 2\/3|0), \\ S_3 (0 | 0|1)$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Spurpunkte an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Spurpunkte einer Ebene, Vektorgeometrie, Schnitt mit Koordinatenachsen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_VoFdURg_qqE\"><div id=\"lyte_VoFdURg_qqE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FVoFdURg_qqE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Spurpunkte einer Ebene, Vektorgeometrie, Schnitt mit Koordinatenachsen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/VoFdURg_qqE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FVoFdURg_qqE%2F0.jpg\" alt=\"Spurpunkte einer Ebene, Vektorgeometrie, Schnitt mit Koordinatenachsen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel behandeln wir das Thema Ebenen in der Vektorrechnung. Du findest in den folgenden Abschnitten leicht verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rungen, Beispiele und Lernvideos, mit denen du das Thema Ebenen in der Vektorrechnung schnell verstehen wirst. Inhaltsverzeichnis Parameterdarstellung einer Ebene Ebenengleichung aufstellen Normalenvektor einer Ebene Punktprobe Ebene Spurpunkte mit Koordinatenachsen Parameterdarstellung einer Ebene Die allgemeine Gleichung [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":4,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Ebene aufstellen inkl Beispielen und Lernvideos - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Eine Ebene aufstellen und berechnen f\u00e4llt nicht jedem leicht. 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