{"id":68,"date":"2015-03-25T20:59:09","date_gmt":"2015-03-25T19:59:09","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=68"},"modified":"2020-02-05T16:00:00","modified_gmt":"2020-02-05T15:00:00","slug":"lagebeziehungen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lagebeziehungen\/","title":{"rendered":"Lagebeziehungen"},"content":{"rendered":"\n<p>Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen geh\u00f6ren zu dem \u00fcbergeordneten Thema der Vektorrechnung und wird dir fr\u00fcher oder sp\u00e4ter in der Schule begegnen. Wir haben f\u00fcr dich alle Informationen rund um das Thema Lagebeziehungen in leicht verst\u00e4ndlicher Sprache aufbereitet und mit Lernvideos erg\u00e4nzt.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#grundlagen-lagebeziehungen\">Grundlagen Lagebeziehungen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#lagebeziehungen-gerade-gerade\">Lagebeziehungen Gerade \u2013 Gerade<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#lagebeziehungen-gerade-ebene\">Lagebeziehungen Gerade \u2013 Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#lagebeziehungen-ebene-ebene\">Lagebeziehungen Ebene \u2013 Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#uebersicht-schnittwinkel\">\u00dcbersicht Schnittwinkel<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">14 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Lagebeziehung-wisepop-klein.png\" alt=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\" title=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"grundlagen-lagebeziehungen\" class=\"anchor\">Grundlagen Lagebeziehungen<\/h2>\n<p>Jede Gerade l\u00e4sst sich im $\\mathbb{R}^3$ durch eine Gleichung der Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\ \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} a_1 \\\\ a_2 \\\\ a_3 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} u_1 \\\\ u_2 \\\\ u_3 \\end{array} \\right), \\quad t\\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>darstellen. Besondere Lagen ergeben sich, wenn der St\u00fctzvektor und der Richtungsvektor Nullen und Einsen als Koordinaten haben. So ist z.B. eine Gerade mit<\/p>\n<ul>\n<li>$a_1 = a_2 = a_3 = 0$ eine Ursprungsgerade<\/li>\n<li>$u_2 = u_3 = 0$ eine Parallele zur $x_1$-Achse<\/li>\n<li>$u_1=0$ eine Parallele zur $x_2x_3$-Ebene<\/li>\n<li>$u_1=u_2=1, u_3=0$ eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen der $x_1$-Achse und der $x_2$-Achse<\/li>\n<li>$u_1=u_2=u_3=1$ eine Gerade, die zu jeder Achse einen Winkel von $45^o$ hat<\/li>\n<\/ul>\n<p>Jede Ebene l\u00e4sst sich durch eine Gleichung der Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} p_1 \\\\ p_2 \\\\ p_3 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} u_1 \\\\ u_2 \\\\ u_3 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} v_1 \\\\ v_2 \\\\ v_3 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>darstellen.<\/p>\n<p>Eine Ebene mit<\/p>\n<ul>\n<li>$p_1=p_2=p_3=0$ geht durch den Ursprung<\/li>\n<li>$u_3=v_3=0$ ist parallel zur $x_1x_2$-Ebene<\/li>\n<li>$u_1=u_2 = 0 $ ist parallel zur $x_3$-Achse<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn die Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, erkennt man die besondere Lage einer Ebene sofort:<br \/>\nFehlt ein $x_i$, so ist die Ebene zu dessen Achse parallel.<br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">14 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Lagebeziehung-wisepop-klein.png\" alt=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\" title=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<h2 id=\"lagebeziehungen-gerade-gerade\" class=\"anchor\">Lagebeziehungen Gerade &#8211; Gerade<\/h2>\n<div id=\"attachment_3563\" style=\"width: 430px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img aria-describedby=\"caption-attachment-3563\" decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3563\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_geradegerade-1024x642.png\" alt=\"Lagebeziehungen zweier Geraden\" width=\"420\" height=\"264\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_geradegerade-1024x642.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_geradegerade-300x188.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_geradegerade-768x482.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_geradegerade.png 1429w\" sizes=\"(max-width: 420px) 100vw, 420px\" \/><p id=\"caption-attachment-3563\" class=\"wp-caption-text\">\u00dcbersicht &#8211; Lage zweier Geraden zueinander<\/p><\/div>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Sonderfall<\/strong>: $g$ und $h$ schneiden sich und sind orthogonal.<br \/>\nPr\u00fcfung auf Orthogonalit\u00e4t: Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist Null.<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele<\/h3>\n<p><strong>Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ mit<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\ 0 \\\\ 2<br \/>\n\\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 2 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad h: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n4 \\\\ 4 \\\\ 4<br \/>\n\\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n-1 \\\\ -2 \\\\ -1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zuerst pr\u00fcfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf Kollinearit\u00e4t, also ob sie Vielfache voneinander sind.<\/p>\n<p>Wir sehen, dass sich der Richtungsvektor der Geraden $g$ aus dem von $h$ ergibt, wenn dieser mit $-1$ multipliziert wird. Wer nicht das allsehende Auge hat, kann den Ansatz $\\vec{u}=r\\cdot \\vec{v}$ w\u00e4hlen und erh\u00e4lt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 2 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} = -1 \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n-1 \\\\ -2 \\\\ -1<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad \\textrm{bzw.} \\quad<br \/>\n\\begin{array}{cccccc}<br \/>\n1 &amp;=&amp; r \\cdot (-1) &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad r = -1 \\\\<br \/>\n2 &amp;=&amp; r \\cdot (-2) &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad r = -1 \\\\<br \/>\n1 &amp;=&amp; r \\cdot (-1) &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad r = -1<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn $r$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear.<\/p>\n<p>Denkt an den Abschnitt zu linearer Unabh\u00e4ngigkeit! Da die Werte von $r$ in diesem Fall gleich sind, handelt es sich entweder um identische oder parallele Geraden. Um das entscheiden zu k\u00f6nnen, machen wir eine Punktprobe und setzen z.B. den Ortsvektor von $h$ in $g$ ein:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 \\\\ 4 \\\\ 4<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\ 0 \\\\ 2<br \/>\n\\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 2 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad \\begin{array}{cccccc}<br \/>\n4 &amp;=&amp; 2 &amp;+&amp; t \\cdot 1 &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad t = 2 \\\\<br \/>\n4 &amp;=&amp; 0 &amp;+&amp; t \\cdot 2 &amp;\\quad \\Rightarrow \\quad t = 2\\\\<br \/>\n4 &amp;=&amp; 2 &amp;+&amp; t \\cdot 1 &amp;\\quad \\Rightarrow \\quad t = 2<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn $t$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Ortsvektor von $h$ auf der Geraden $g$ und damit handelt es sich in diesem Fall um identische Geraden. Merke: Kommt an dieser Stelle nicht \u00fcberall der gleiche Wert f\u00fcr $t$ raus, handelt es sich um parallele Geraden!<\/p>\n<p><strong>Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ mit<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n-3 \\\\ -4 \\\\ -1<br \/>\n\\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\ 2 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad h: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n4 \\\\ 3 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n-1 \\\\ -1 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir pr\u00fcfen zun\u00e4chst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{u}=r\\cdot \\vec{v} \\quad \\Rightarrow \\quad<br \/>\n\\begin{array}{cclcccccc}<br \/>\n2 &amp;=&amp; r \\cdot (-1) &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad &amp; r &amp;= &amp;-2 \\\\<br \/>\n2 &amp;=&amp; r \\cdot (-1) &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad &amp; r &amp;= &amp;-2 \\\\<br \/>\n1 &amp;=&amp; r \\cdot 1 &amp; \\quad \\Rightarrow \\quad &amp; r &amp;= &amp;1<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Da nicht in allen Zeilen der gleiche Wert f\u00fcr $r$ rauskommt, sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Damit handelt es sich entweder um zwei sich schneidende oder windschiefe Geraden. Das \u00fcberpr\u00fcfen wir, indem wir die beiden Geradengleichungen gleichsetzen. Wir erhalten ein LGS, welches wir mit den uns bekannten Verfahren aufl\u00f6sen. Das Ergebnis lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{ccccccc}<br \/>\n-3 &amp;+ &amp; 2 t &amp; = &amp; 4 &amp; &#8211; &amp; s \\\\<br \/>\n-4 &amp;+ &amp; 2 t &amp; = &amp; 3 &amp; &#8211; &amp; s\\\\<br \/>\n-1 &amp;+&amp; t &amp; = &amp; 1 &amp; + &amp; s<br \/>\n\\end{array} \\quad \\Rightarrow \\quad t=3, \\ s=1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Setzen wir die Werte von $t$ und $s$ nun in oberste Gleichung ein, erhalten wir die wahre Aussage $3=3$. Da die Aussage wahr ist, liegt ein Schnittpunkt vor und es handelt sich um zwei sich schneidende Geraden. Wenn hier eine falsche Aussage raus kommt, sind die Geraden windschief. Der Schnittpunkt kann bestimmt werden, indem $t=3$ in $g$ oder $s=1$ in $h$ eingesetzt wird: $S(3|2|2)$.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch die Lage von 2 Geraden nochmals in seinem Lernvideo.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lage von 2 Geraden, Vektorgeometrie, Parameterformen vergleichen, Ablauf | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_GYbf-kCRJJI\"><div id=\"lyte_GYbf-kCRJJI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FGYbf-kCRJJI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lage von 2 Geraden, Vektorgeometrie, Parameterformen vergleichen, Ablauf | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/GYbf-kCRJJI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FGYbf-kCRJJI%2F0.jpg\" alt=\"Lage von 2 Geraden, Vektorgeometrie, Parameterformen vergleichen, Ablauf | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"lagebeziehungen-gerade-ebene\" class=\"anchor\">Lagebeziehungen Gerade &#8211; Ebene<\/h2>\n<p>F\u00fcr die Lage einer Gerade $g$ und einer Ebene $E$ sind 3 F\u00e4lle m\u00f6glich:<\/p>\n<ol>\n<li>$g$ und $E$ schneiden sich,<\/li>\n<li>$g$ und $E$ sind echt parallel,<\/li>\n<li>$g$ liegt in $E$.<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Sonderfall:<\/strong><\/p>\n<p>Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ orthogonal. Dies ist der Fall, wenn ein Normalenvektor von $E$ ein Vielfaches eines Richtungsvektors von $g$ ist.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p><strong>Gerade liegt in Parameter- und Ebene in Koordinatenform vor<\/strong><\/p>\n<p>Untersuche die Lage der Gerade $g$ und der Ebene $E$ mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array} \\right) + r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) \\quad \\textrm{und} \\quad E: 2x_1 &#8211; x_3 = 4 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Vorgehen:<\/strong><br \/>\n1. Parameterform der Gerade umschreiben.<br \/>\n2. $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in Koordinatenform der Ebene einsetzen.<br \/>\n3. Nach Parameter der Gerade umstellen.<br \/>\n4. Ergebnis interpretieren.<\/p>\n<p>Wir schreiben zun\u00e4chst die Parameterform der Gerade um<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad x_1 &amp;= 2 \\notag \\\\<br \/>\n\\textrm{II} \\quad x_2 &amp;= 1 + 2 r \\notag \\\\<br \/>\n\\textrm{III} \\quad x_3 &amp;= 3 + 1r \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>und setzen in $E$ ein:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\quad \u00a02 \\cdot x_1 &#8211; x_3 \u00a0&amp; =4 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \u00a02 \\cdot 2 &#8211; (3 + 1r) \\ &amp; =4 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \u00a04-3-1r \u00a0&amp;= 4 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad \u00a0r \u00a0&amp; =-3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Ergebnis $r=-3$ setzen wir nun in die Parameterform der Gerade $g$ ein und wir erhalten mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array} \\right) + (-3) \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -5 \\\\ 0 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>eine eindeutige L\u00f6sung und wissen somit, dass die Gerade die Ebene im Punkt $S(2|-5|0)$ schneidet.<br \/>\nWas f\u00fcr L\u00f6sungsm\u00f6glichkeiten gibt es sonst noch?<br \/>\n&lt;strong&#8220;&gt;Wahre Aussagen z.B.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0 &amp;= 0 \\notag \\\\<br \/>\n4 &amp;= 4 \\notag \\\\<br \/>\n3&amp;= 3 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3567\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lage_ge.png\" alt=\"Gerade auf Ebene\" width=\"231\" height=\"95\" \/><\/p>\n<p><strong>Falsche Aussagen z.B.<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0 &amp;= 4 \\notag \\\\<br \/>\n1&amp;= 2 \\notag \\\\<br \/>\n-3&amp;= 1 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3568\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lage_ge1.png\" alt=\"Gerade \u00fcber Ebene\" width=\"227\" height=\"101\" \/><\/p>\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p><strong>Gerade und Ebene liegen in Parameterform vor<\/strong><\/p>\n<p>Untersuche die Lage der Gerade $g$ und der Ebene $E$ mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\end{array} \\right) + r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{array} \\right) \\quad \\textrm{und} \\quad E:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} -3 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right) + s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ -1 \\\\ 2 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong>:<\/p>\n<ol>\n<li>Parameterformen gleichsetzen.<\/li>\n<li>LGS aufstellen und l\u00f6sen. Alternativ: In Matrixschreibweise aufschreiben und in Stufenform bringen.<\/li>\n<li>Ergebnis interpretieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Wir setzen die Terme von Gerade und Ebene gleich und erhalten folgendes LGS:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rcccccccccc}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; 2 &amp; + &amp; r &amp; = &amp;-3 &amp; + &amp; s &amp; &amp; \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; -3 &amp;- &amp; r &amp; = &amp; 1 &amp; &#8211; &amp; 2 s &amp; &#8211; &amp; t \\\\<br \/>\n\\textrm{III}&amp; 2 &amp; + &amp; 3r &amp; = &amp; 1 &amp; -&amp; s &amp; + &amp; 2t<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\Leftrightarrow<br \/>\n\\begin{array}{rrcrccccc}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; r &amp; &#8211; &amp; s &amp; &amp; \\ &amp; = &amp;-5 \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; -r &amp;+ &amp;2 s &amp; +&amp; t \\ &amp; = &amp;4 \\\\<br \/>\n\\textrm{III}&amp; 3r &amp; + &amp; s &amp; -&amp; 2 t \\ &amp; = &amp;-1<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Mit einem L\u00f6sungsverfahren eurer Wahl l\u00f6sen (siehe Kap. LGS L\u00f6sen) und wir erhalten als L\u00f6sung $r=-3$, $s=2$ und $t=-3$. Es liegt ein Schnittpunkt der Gerade und Ebene vor. Um diesen zu erhalten setzt ihr entweder $r$ in die Geradengleichung oder $s$ und $t$ in die Ebenengleichung ein. Der Schnittpunkt liegt bei $S(-1 |\\ 0\\ | -7)$.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung deines Wissens Daniels Lernvideo zum Thema Lagebeziehungen\u00a0 &#8211; Gerade &#8211; Ebene an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lage Gerade\/Ebene, Parameterformen gleichstellen, Lagebeziehungen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_mBMguUknvtA\"><div id=\"lyte_mBMguUknvtA\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmBMguUknvtA%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lage Gerade\/Ebene, Parameterformen gleichstellen, Lagebeziehungen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/mBMguUknvtA\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmBMguUknvtA%2F0.jpg\" alt=\"Lage Gerade\/Ebene, Parameterformen gleichstellen, Lagebeziehungen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"lagebeziehungen-ebene-ebene\" class=\"anchor\">Lagebeziehungen Ebene &#8211; Ebene<\/h2>\n<p>F\u00fcr die gegenseitige Lage zweier Ebenen sind 3 F\u00e4lle m\u00f6glich:<\/p>\n<ol>\n<li>Sie schneiden sich (Schnittgerade).<\/li>\n<li>Sie sind echt parallel.<\/li>\n<li>Sie sind identisch.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Bei der konkreten Untersuchung der Lage zweier Ebenen h\u00e4ngt der Rechenaufwand sehr davon ab, in welcher Form die Gleichungen gegeben sind. Sind beide in Parameterform gegeben, ist der Rechenaufwand meistens am Gr\u00f6ssten.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong> Sonderfall\u00a0<\/strong><\/p>\n<p>Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Untersuchungen von Lagebeziehungen bei verschiedenen Formen der Ebenengleichung<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Sind beide Gleichungen in Koordinatenform gegeben, fasst man beide als ein LGS mit 3 Variablen auf<\/li>\n<li>Sind beide Gleichungen in Parameterform gegeben, setzt man die rechten Seiten gleich und erh\u00e4lt ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Variablen.<\/li>\n<li>Ist eine Gleichung in Koordinaten- und eine in Parameterform gegeben, setzt man $x_1,x_2$ und $x_3$ aus der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und erh\u00e4lt eine Gleichung mit den beiden Parametern.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Gegeben seien die Ebenen $E_1$ in Parameterform und $E_2$ in Koordinatenform mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE_1 : \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right) \\quad \\textrm{und} \\quad<br \/>\nE_2 : x_1 &#8211; 2x_2 = 1. \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Idee: $E_1$ umschreiben und in $E_2$ einsetzen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rccccccc}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; x_1 &amp;= &amp;1 &amp;+&amp;0r&amp;+&amp;2s \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; x_2 &amp;= &amp;2 &amp;+&amp;1r&amp;+&amp;1s \\\\<br \/>\n\\textrm{III}&amp; x_3 &amp;= &amp;1 &amp;+&amp;0r&amp;+&amp;1s<br \/>\n\\end{array} \\quad<br \/>\n\\Rightarrow \\quad<br \/>\n(1+2s) &#8211; 2 \\cdot (2 + 1r + 1s) \\ &amp; =1 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Ergebnis $r=-2$ in $E_1$ einsetzen und wir erhalten<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) + (-2)<br \/>\n\\cdot \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right) + s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array} \\right) + s \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>eine Schnittgerade $g$.<\/p>\n<p>Was f\u00fcr L\u00f6sungsm\u00f6glichkeiten gibt es sonst noch?<\/p>\n<p><strong>Wahre Aussagen z-B-&lt;\/strong<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0 &amp;= 0 \\notag \\\\<br \/>\n4 &amp;= 4 \\notag \\\\<br \/>\n3&amp;= 3 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3571\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lage_ee.png\" alt=\"\" width=\"256\" height=\"92\" \/><\/p>\n<p><strong>Falsche Aussagen z.B.<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0 &amp;= 4 \\notag \\\\<br \/>\n1&amp;= 2 \\notag \\\\<br \/>\n-3&amp;= 1 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3572\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lage_ee1.png\" alt=\"\" width=\"237\" height=\"98\" \/><\/p>\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p><strong>Beide Ebenen liegen in Parameterform vor<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben seien die Ebenen $E_1$ und $E_2$ in Parameterform:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE_1 : \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ r \\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ s \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{array} \\right), \\<br \/>\nE_2 :\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ t \\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ u \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wie bei der Lage von Gerade &#8211; Ebene in Parameterform setzen wir zun\u00e4chst die Terme der Ebenengleichungen gleich und erstellen daraus ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten.<\/p>\n<p>Es folgt f\u00fcr unser Beispiel das LGS<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rccccccc}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; 1 &amp; &#8211; &amp; r &amp; = &amp;1 &amp;- &amp; t \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; r &amp; + &amp; 2s &amp; = &amp; 2 &amp; + &amp; u \\\\<br \/>\n\\textrm{III}&amp; 2 &amp; &#8211; &amp; s &amp;= &amp; 1 &amp; + &amp; 2t \\\\<br \/>\n\\end{array} \\quad<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad<br \/>\n\\begin{array}{rccccccc}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; -r &amp; + &amp; t &amp; &amp; &amp;= &amp; 0 \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; r &amp; + &amp; 2s &amp; &#8211; &amp; u &amp; = &amp; 2 \\\\<br \/>\n\\textrm{III}&amp; &amp; &#8211; &amp; s &amp; &#8211; &amp; 2t &amp; = &amp; -1 \\\\<br \/>\n\\end{array} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit der L\u00f6sung $u=-3t$. Das bedeutet die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Zur Bestimmung der Schnittgeraden setzen wir die L\u00f6sung in eine der beiden Ebenen ein (hier in $E_2$).<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng : \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right)<br \/>\n+ t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{array} \\right)<br \/>\n-3t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array} \\right) + t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \\end{array} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p><strong>Ebenen liegen in Koordinatenform vor<\/strong><\/p>\n<p>Liegen die beiden Ebenen in Koordinatenform vor, gibt es mehrere M\u00f6glichkeiten. Ihr k\u00f6nnt eine Ebenengleichung in Parameterform umwandeln und das entsprechende Vorgehen abarbeiten, was einen sicheren Ablauf verspricht. Alternativ k\u00f6nnt ihr auch ohne Umwandlung der Gleichungen zum Ergebnis kommen. Ziel ist es dabei, eine Koordinate ($x_1$, $x_2$ oder $x_3$) zu eliminieren.<\/p>\n<p>Untersuche die Lagebeziehungen der Ebenen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; \\quad &amp;E_1&amp;: \\ 2x_1-4x_2+6x_3&amp;&amp;=8 \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; \\quad &amp;E_2&amp;: \\ x_1+4x_2-3x_3&amp;&amp;=-5<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir gucken uns die beiden Gleichungen an und sehen, dass die Koordinate $x_2$ wegf\u00e4llt, wenn die Gleichungen addiert werden. Anschlie\u00dfend stellen wir nach einer \u00fcbrig gebliebenden Koordinate um, hier $x_1$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{I+II} \\quad &amp; 3x_1+3x_3 \\ &amp;&amp; = 3 &amp;&amp; \\quad | \\ -3x_3 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; 3x_1 \\ &amp;&amp; = 3-3x_3 &amp;&amp;\\quad | \\ :3 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; x_1 \\ &amp;&amp; = 1-x_3 &amp;&amp;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir sehen, dass die Ebenen nicht identisch (sonst m\u00fcsste eine wahre Aussage wie z.B. $0=0$ rauskommen) und nicht parallel (sonst m\u00fcsste eine falsche Aussage wie z.B. $0=8$ rauskommen). Die Ebenen schneiden sich und haben eine Schnittgerade. Um diese zu ermitteln setzen wir $x_1=1-x_3$ in eine der beiden Gleichungen ein, hier II und stellen nach $x_2$ um. Dadurch haben wir $x_1$ und $x_2$ in Abh\u00e4ngigkeit von $x_3$ ausgedr\u00fcckt. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\Rightarrow \\quad &amp; 1-x_3+4x_2-3x_3 \\ &amp;&amp; = -5 &amp;&amp; \\quad | \\ \\text{zusammenfassen} \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; 1 + 4x_2 &#8211; 4x_3 \\ &amp;&amp; = -5 &amp;&amp;\\quad | \\ -1 \\; +4x_3 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; 4x_2 \\ &amp;&amp; = -6+4x_3 &amp;&amp;\\quad | \\ :4 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad &amp; x_2 \\ &amp;&amp; = -1,5+x_3 &amp;&amp;\\quad | \\ :4 \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Mehr k\u00f6nnen wir nicht machen. Wir schreiben das Ergebnis etwas anders auf und erkennen die Struktur einer Geraden.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\begin{array}{c} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 1-x_3 \\\\ -1,5+x_3 \\\\ x_3 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -1,5 \\\\ 0 \\end{array} \\right) + \\left( \\begin{array}{c} -x_3 \\\\ x_3 \\\\ x_3 \\end{array} \\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt kommt der letzte Schritt, der f\u00fcr viele oft schwer zu verstehen ist. Wir behaupten es sei $x_3=t$ (oder $r$ oder $s$ etc.) ein Parameter und erhalten die gesuchte Schnittgerade in Parametergleichung mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 1 \\\\ -1,5 \\\\ 0 \\end{array} \\right) + t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{array} \\right).<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">14 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Lagebeziehung-wisepop-klein.png\" alt=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\" title=\"Lagebeziehung Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"uebersicht-schnittwinkel\" class=\"anchor\">\u00dcbersicht Schnittwinkel<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Vektor &#8211; Vektor<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3575 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_schnittwinkel_vv.png\" alt=\"\" width=\"143\" height=\"100\" \/><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec{a} \\bullet \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Gerade &#8211; Gerade<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3576 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_schnittwinkel_gg.png\" alt=\"\" width=\"135\" height=\"129\" \/> \\begin{align*}<br \/>\n\\cos(\\alpha) = \\left| \\frac{\\overrightarrow{RV}_g \\bullet \\overrightarrow{RV}_h}{|\\overrightarrow{RV}_g| \\cdot |\\overrightarrow{RV}_h|} \\right|<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit $\\overrightarrow{RV}_g$ bzw. $\\overrightarrow{RV}_h$ als Richtungsvektoren zweier sich schneidender Geraden $g$ und $h$.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Gerade &#8211; Ebene<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3577 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_schnittwinkel_ge.png\" alt=\"\" width=\"212\" height=\"130\" \/> \\begin{align*}<br \/>\n\\sin(\\alpha) = \\left| \\frac{\\vec{n}_E \\bullet \\overrightarrow{RV}_g}{|\\vec{n}_E| \\cdot |\\overrightarrow{RV}_g|} \\right|<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit $\\vec{n}_E$ als Normalenvektor einer Ebene $E$ und $\\overrightarrow{RV}_g$ als Richtungsvektor einer Geraden $g$.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Ebene &#8211; Ebene<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3578 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_schnittwinkel_ee.png\" alt=\"\" width=\"285\" height=\"239\" \/><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\cos(\\alpha) = \\left| \\frac{\\vec{n}_1 \\bullet \\vec{n}_2}{|\\vec{n}_1| \\cdot |\\vec{n}_2|} \\right|<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit $\\vec{n}_1$ bzw. $\\vec{n}_2$ als Normalenvektor zweier Ebenen $E_1$ und $E_2$.<\/p>\n<p><strong>Daniels Lagebeziehungen Lernvideo zur \u00dcbersicht von Schnittwinkel.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Winkel, &Uuml;bersicht, Vektorgeometrie, Formeln, Mathehilfe online, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_HHpORQbqRmM\"><div id=\"lyte_HHpORQbqRmM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHHpORQbqRmM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Winkel, \u00dcbersicht, Vektorgeometrie, Formeln, Mathehilfe online, Erkl\u00e4rvideo | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/HHpORQbqRmM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHHpORQbqRmM%2F0.jpg\" alt=\"Winkel, &Uuml;bersicht, Vektorgeometrie, Formeln, Mathehilfe online, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen geh\u00f6ren zu dem \u00fcbergeordneten Thema der Vektorrechnung und wird dir fr\u00fcher oder sp\u00e4ter in der Schule begegnen. Wir haben f\u00fcr dich alle Informationen rund um das Thema Lagebeziehungen in leicht verst\u00e4ndlicher Sprache aufbereitet und mit Lernvideos erg\u00e4nzt. Inhaltsverzeichnis Grundlagen Lagebeziehungen Lagebeziehungen Gerade \u2013 Gerade Lagebeziehungen Gerade \u2013 Ebene Lagebeziehungen Ebene [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":5,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Lagebeziehungen - Ebenen und Geraden - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du ben\u00f6tigst Hilfe bei der Berechnung von Lagebeziehungen? Bei uns findest du alles zu Ebene - Ebene, Ebene - Gerade usw. inkl. 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