{"id":70,"date":"2015-03-25T20:59:23","date_gmt":"2015-03-25T19:59:23","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=70"},"modified":"2023-07-31T09:40:14","modified_gmt":"2023-07-31T07:40:14","slug":"abstand-punkt-gerade","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/abstand-punkt-gerade\/","title":{"rendered":"Abstandsberechnung"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel zeigen wir dir wie du Abst\u00e4nde in der Vektorrechnung ermittelst:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#AbstandPunktZuPunkt\">Abstand Punkt zu Punkt <\/a><\/li>\n<li><a href=\"#AbstandPunktZuGerade\">Abstand Punkt zu Gerade<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#BerechnungMitDerHilfsebene\">Berechnung mit der Hilfsebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#AbstandParallelerGeraden\">Abstand paralleler Geraden<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#AbstandWindschieferGeraden\">Abstand windschiefer Geraden<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#BerechnungMitDemLotverfahren\">Berechnung mit dem Lotverfahren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#AbstandPunktZuEbene\">Abstand Punkt zu Ebene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Abstandsberechnung-Hesseform\">Abstandsberechnung mit Hesseform<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">7 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-2.png\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\" title=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2 id=\"AbstandPunktZuPunkt\" class=\"anchor\">Abstand Punkt zu Punkt<\/h2>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Vektor $\\overrightarrow{AB}$ der beiden gegebenen Punkte $A$ und $B$ berechnen.<\/li>\n<li>L\u00e4nge des Vektors $\\overrightarrow{AB}$ mit dem Betrag berechnen: Abstand = $|\\overrightarrow{AB}|$<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box info\">\nHinweis: Ob wir den Vektor $\\overrightarrow{AB}$ oder aber den Vektor $\\overrightarrow{BA}$ berechnen, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Warum? Weil die L\u00e4nge gleich bleibt und sich nur die Richtung des Vektors \u00e4ndert.<br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmal das Thema Punkt zu Punkt<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Abstand Punkt zu Punkt, Vektorgeometrie, 2 Versionen, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_gjtQcIG1B2c\"><div id=\"lyte_gjtQcIG1B2c\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FgjtQcIG1B2c%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Abstand Punkt zu Punkt, Vektorgeometrie, 2 Versionen, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/gjtQcIG1B2c\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FgjtQcIG1B2c%2F0.jpg\" alt=\"Abstand Punkt zu Punkt, Vektorgeometrie, 2 Versionen, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"AbstandPunktZuGerade\" class=\"anchor\">Abstand Punkt zu Gerade<\/h2>\n<p>Der Abstand $d$ eines Punktes $P$ von einer Geraden $g$ ist gleich der L\u00e4nge des Lotes von $P$ auf $g$; d.h. $d$ ist gleich dem Betrag des Vektors $\\overrightarrow{PF}$, wobei $F$ der Lotfusspunkt ist.<\/p>\n<p>Hinweis: Unter Umst\u00e4nden ist es sinnvoll vorher zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand w\u00e4re dann logischerweise 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Lotverfahren<\/h3>\n<p>Gegeben sei eine Gerade $g$ in Parameterform und ein Punkt $P = (3|3|3)$ mit \\begin{align*} g:\\vec{x} = \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\1 \\\\ 1 \\end{array} \\right) + t \\cdot \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\end{array} \\right) \\notag \\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-517 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lotfusspunkt-300x180.png\" alt=\"bil_lotfusspunkt\" width=\"212\" height=\"127\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lotfusspunkt-300x180.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lotfusspunkt.png 644w\" sizes=\"(max-width: 212px) 100vw, 212px\" \/><\/p>\n<p>Wir wissen, dass der Lotfu\u00dfpunkt auf der Geraden $g$ liegen soll. Also gilt zun\u00e4chst allgemein $F(2+2t |1-1t|1-1t)$. Die Gerade durch den Punkt $P$ und $F$ muss senkrecht (orthogonal) zur Geraden $g$ sein. Daher muss das Skalarprodukt Null sein!<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{PF} \\bullet \\overrightarrow{RV_g} = 0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{PF} = \\left( \\begin{array}{c} 2+2t \\\\ 1-1t \\\\ 1-1t \\end{array} \\right) &#8211; \\left( \\begin{array}{c} 3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{c} -1+2t \\\\ -2-1t \\\\ -2-1t \\end{array} \\right) \\Rightarrow \\left( \\begin{array}{c} -1+2t \\\\ -2-1t \\\\ -2-1t \\end{array} \\right) \\bullet \\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\end{array} \\right) = 0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Ergebnis lautet $t=-1\/3$ und damit kann der Lotfu\u00dfpunkt $F$ bestimmt werden. Anschlie\u00dfend bestimmen wir den Abstand der beiden Punkte $P$ und $F(4\/3|4\/3|4\/3): d=|\\overrightarrow{PF}| \\approx 2,89$.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch in seinem Lernvideo das Lotfu\u00dfpunktverfahren.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lotfu&szlig;punktverfahren, Abstand Punkt Gerade (Analytische Geometrie), Vektorgeometrie\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_mdtJjvsYdQg\"><div id=\"lyte_mdtJjvsYdQg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmdtJjvsYdQg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lotfu\u00dfpunktverfahren, Abstand Punkt Gerade (Analytische Geometrie), Vektorgeometrie<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/mdtJjvsYdQg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmdtJjvsYdQg%2F0.jpg\" alt=\"Lotfu&szlig;punktverfahren, Abstand Punkt Gerade (Analytische Geometrie), Vektorgeometrie\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"BerechnungMitDerHilfsebene\" class=\"anchor\">Berechnung mit der Hilfsebene<\/h2>\n<p>Als Alternative zum Lotverfahren, kann der Abstand des Punktes zu einer Geraden auch mit einer Hilfsebene berechnet werden.<\/p>\n<p>Die Idee: Eine Hilfsebene $E$ konstruieren, die den Abstandspunkt $P$ enth\u00e4lt und von der Geraden $g$ senkrecht durchsto\u00dfen wird.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-3591 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstand_punkt-gerade_hilfsebene-e1520948620540.png\" alt=\"\" width=\"269\" height=\"133\" \/><\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Richtungsvektor der Geraden $g$ ist Normalenvektor $\\vec{n}$ der Hilfsebene $E$.<\/li>\n<li>Koordinatenform von $E$ mit $\\vec{n}$ und $P$ aufstellen.<\/li>\n<li>Durchsto\u00dfpunkt $F$ von $g$ und $E$ bestimmen.<\/li>\n<li>Abstand von $P$ zu Durchsto\u00dfpunkt $F$ berechnen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>F\u00fcr unser Beispiel folgt mit dem Normalenvektor $\\vec{n}=(1 \\ 2 \\ 0)^T$ und dem Ansatz<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nE: \\ \\vec{n} \\bullet \\vec{x} = \\vec{n} \\bullet \\vec{p} \\quad \\Leftrightarrow \\quad<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 2 \\\\ 0<br \/>\n\\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix}<br \/>\nx_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n1 \\\\ 2 \\\\ 0<br \/>\n\\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\ 3 \\\\ 1<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>die Koordinatenform der Hilfsebene $x_1 + 2x_2=8$. Um den Durchsto\u00dfpunkt (oder Schnittpunkt) zu berechnen, setzen wir die Gerade in die Koordinatenform der Hilfsebene ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(2+r) + 2(1+2r) =8 \\quad \\Rightarrow \\quad r=\\frac{4}{5}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend setzen wir $r=\\frac{4}{5}$ in die Gerade $g$ ein und erhalten den Durchsto\u00dfpunkt $F(\\frac{14}{5}|\\frac{13}{5}|1)$. Der Abstand ist dann $d=|\\overrightarrow{PF}| \\approx 0,89$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Abstand Punkt-Gerade an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Abstand Punkt zu Gerade mit der Hilfsebene (Analytische Geometrie\/Vektoren), Mathehilfe\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_IeE7uW1m1NE\"><div id=\"lyte_IeE7uW1m1NE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FIeE7uW1m1NE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Abstand Punkt zu Gerade mit der Hilfsebene (Analytische Geometrie\/Vektoren), Mathehilfe<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/IeE7uW1m1NE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FIeE7uW1m1NE%2F0.jpg\" alt=\"Abstand Punkt zu Gerade mit der Hilfsebene (Analytische Geometrie\/Vektoren), Mathehilfe\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"AbstandParallelerGeraden\" class=\"anchor\">Abstand paralleler Geraden<\/h2>\n<p>Mit Abstand ist hier die k\u00fcrzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.\u00a0Der Abstand zweier paralleler Geraden $g_1$ und $g_2$ ist der Abstand eines beliebigen Punktes $P \\in g_2$ von der Geraden $g_1$.<\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\"> Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Ortsvektor der Geraden $g_2$ wird als Punkt $P$ festgelegt<\/li>\n<li>weiter mit dem Vorgehen <em>Abstand Punkt zu Gerade<\/em><\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Echt parallele Geraden, Vektorrechnung, Lagevergleich, Analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_v8gN5-Jcp0Q\"><div id=\"lyte_v8gN5-Jcp0Q\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fv8gN5-Jcp0Q%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Echt parallele Geraden, Vektorrechnung, Lagevergleich, Analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/v8gN5-Jcp0Q\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fv8gN5-Jcp0Q%2F0.jpg\" alt=\"Echt parallele Geraden, Vektorrechnung, Lagevergleich, Analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"AbstandWindschieferGeraden\" class=\"anchor\">Abstand windschiefer Geraden<\/h2>\n<p>Bei der Berechnung des Abstands zweier windschiefer Geraden werden wir in diesem Abschnitt zwei Verfahren kennenlernen. Zum einen die Verwendung einer Hilfsebene und zum anderen die Verwendung von Lotfu\u00dfpunkten.<\/p>\n<h3>Berechnung mit Hilfsebene<\/h3>\n<p>Wir betrachten die beiden windschiefen Geraden $g$ und $h$. Zur Berechnung des Abstands f\u00fchren wir eine Hilfsebene $E$ ein, wodurch wir sp\u00e4ter nur noch den Abstand eines Punktes $P$ von der Ebene berechnen m\u00fcssen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3593\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstand_geraden_hilfsebene.png\" alt=\"Abstand windschiefe Geraden\" width=\"304\" height=\"168\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstand_geraden_hilfsebene.png 304w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstand_geraden_hilfsebene-300x166.png 300w\" sizes=\"(max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Normalenvektor $\\vec{n}$ mit Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$ bestimmen.<\/li>\n<li>Koordinatenform von $E$ aufstellen, z.B. mit Punkt von $g$ und $\\vec{n}$.<\/li>\n<li>Abstand des Punktes (Ortsvektor nehmen!) von der Geraden $h$ zur Hilfsebene $E$ bestimmen.<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Berechne den Abstand $d$ der beiden windschiefen Geraden<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng:\\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ -3 \\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad<br \/>\nh:\\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst berechnen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1-4 \\\\ 2-0 \\\\ 0-1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} = \\vec{n}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Koordinatenform der Hilfsebene $E$ erhalten wir mit dem Ansatz $\\vec{n} \\bullet \\vec{x} = \\vec{n} \\bullet \\vec{p}$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix} -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ -3 \\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad -3x_1 + 2x_2 &#8211; x_3 = 28<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Um den gesuchten Abstand zu bestimmen, w\u00e4hlen wir einen beliebigen Punkt $P$ der Geraden $h$ aus. Am einfachsten ist der Ortsvektor, hier $(-3 \\ -3 \\ 3)^T$. Anschlie\u00dfend berechnen wir den Abstand des Punktes $P$ zur Ebene $E$ mit der Hesseform:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nd(P;E) &amp;=\\left| \\frac{-3x_1+2x_2-x_3-28}{|\\vec{n}|}\\right| = \\left| \\frac{-3 \\cdot (-3) + 2 \\cdot (-3) &#8211; 3 &#8211; 28}{\\sqrt{14}} \\right| \\approx 7,48<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">7 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-2.png\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\" title=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2 id=\"BerechnungMitDemLotverfahren\" class=\"anchor\">Berechnung mit dem Lotverfahren<\/h2>\n<p>Gegeben seien die Geraden<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\quad \\textrm{und} \\quad<br \/>\nh:\\ \\vec{x} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix},<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche windschief zueinander sind. Um den k\u00fcrzesten Abstand der Geraden zu bestimmen, kann man auch mit Hilfe des Lotverfahrens arbeiten. Gesucht ist die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten, z.B. $G$ und $H$, welche senkrecht zur Geraden $g$ und gleichzeitig auch senkrecht zu Geraden $h$ verl\u00e4uft.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3595\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstandwindschiefegeraden.png\" alt=\"Abstand windschiefe Geraden mit Lotverfahren\" width=\"194\" height=\"137\" \/><\/p>\n<p>Daraus ergeben sich zwei Bedingungen, denn zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist. Es muss gelten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I} \\quad \\overrightarrow{GH} \\bullet \\overrightarrow{RV}_g = 0 \\\\<br \/>\n\\textrm{II} \\quad \\overrightarrow{GH} \\bullet \\overrightarrow{RV}_h = 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr die Bestimmung der Verbindungslinie\u00a0$\\overrightarrow{GH}$ (auch m\u00f6glich: $\\overrightarrow{HG}$)\u00a0merken wir uns: Gerade $h$ minus Gerade $g$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overrightarrow{GH} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} &#8211; \\left[ \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\right] = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} + s \\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} &#8211; r \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Einsetzen von $\\overrightarrow{GH}$ und der Richtungsvektoren von $g$ und $h$ in die Bedingungen I, II liefert folgendes Gleichungssystem:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{I}&amp; \\quad -2r-s=0 \\\\<br \/>\n\\textrm{II}&amp; \\quad 6s + r =-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten nach dem L\u00f6sen des Gleichungssystems f\u00fcr $r=2\/11$ und $s=-4\/11$. Die Werte setzen wir anschlie\u00dfend in die Geradengleichungen von $g$ und $h$ ein und erhalten die Punkte $G=(24\/11 \\ | \\ 1 \\ | \\ -13\/11)$ und $H=(19\/11 \\ | \\ -4\/11 \\ | \\ 18\/11)$. Der Abstand ist dann nichts anderes als der Betrag des Vektors $\\overrightarrow{GH}= 1,51 [LE]$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir dazu das Lernvideo zu &#8222;Abstand windschiefer Geraden&#8220; an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Abstand windschiefer Geraden, &Uuml;bersicht, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_y59LLCem7j8\"><div id=\"lyte_y59LLCem7j8\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fy59LLCem7j8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Abstand windschiefer Geraden, \u00dcbersicht, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/y59LLCem7j8\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fy59LLCem7j8%2F0.jpg\" alt=\"Abstand windschiefer Geraden, &Uuml;bersicht, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"AbstandPunktZuEbene\" class=\"anchor\">Abstand Punkt zu Ebene<\/h2>\n<p>In diesem Abschnitt lernen wir zwei Verfahren, wie die Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene erfolgen kann.<\/p>\n<p><strong>Zum Einstieg schaust du dir am besten das Lernvideo zum Lotfu\u00dfpunktverfahren an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Abstand Punkt zu einer Ebene mit Lotfu&szlig;punktverfahren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_4z3L8Kw0ZYc\"><div id=\"lyte_4z3L8Kw0ZYc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4z3L8Kw0ZYc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Abstand Punkt zu einer Ebene mit Lotfu\u00dfpunktverfahren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/4z3L8Kw0ZYc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4z3L8Kw0ZYc%2F0.jpg\" alt=\"Abstand Punkt zu einer Ebene mit Lotfu&szlig;punktverfahren, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Um den Abstand mit dem Lotverfahren oder Lotfu\u00dfpunktverfahren zu ermitteln, m\u00fcssen wir wissen, wie man einen Schnittpunkt oder Durchsto\u00dfpunkt von Gerade und Ebene sowie den Abstand zweier Punkte berechnet. Es empfiehlt sich, die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegen zu haben!<\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Lotgerade $g$ mit Normalenvektor der Ebene und Ortsvektor $\\overrightarrow{0P}$ aufstellen.<\/li>\n<li>Schnittpunkt $F$ von Lotgerade mit Ebene berechnen (Lotfu\u00dfpunkt).<\/li>\n<li>Abstand vom Punkt zum Schnittpunkt berechnen (entspricht dem Abstand vom Punkt zur Ebene).<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Gegeben sei die Ebene $E: 2x_1 &#8211; x_2 + x_3 = 8$ und der Punkt $P(2|1|3)$. Berechne den Abstand mit einer Hilfsgeraden (Lotgerade).<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3597\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstandpunktebenelotgerade.png\" alt=\"Abstand Punkt Ebene mit Lotverfahren\" width=\"211\" height=\"134\" \/><\/p>\n<p>Wir stellen zun\u00e4chst die Hilfsgerade $g$ auf, die durch Punkt $P$ und senkrecht zur Ebene $E$ verl\u00e4uft:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng: \\vec{x} = \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\end{array} \\right)}_{P} + \\ t \\cdot<br \/>\n\\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 1 \\end{array} \\right)}_{\\vec{n}}, \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>wobei der Richtungsvektor dem Normalenvektor $\\vec{n}$ der Ebenengleichung entspricht. Nun kann der Lotfu\u00dfpunkt $F$ bestimmt werden (Thema: Schnittpunkt Gerade und Ebene), indem wir die einzelnen Koordinaten der Gerade rausschreiben und in die Ebenengleichung einsetzen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx_1 &amp;= 2 + 2 \\cdot t \\\\<br \/>\nx_2 &amp;= 1 &#8211; 1 \\cdot t \\quad \\quad \\Rightarrow 2 \\cdot (2 + 2 \\cdot t) &#8211; 1\\cdot (1 &#8211; 1 \\cdot t) + 1\\cdot (3 + 1\\cdot t)=8 \\\\<br \/>\nx_3 &amp;= 3 + 1 \\cdot t<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten f\u00fcr $t=1\/3$ und setzen diesen Wert in die Geradengleichung ein um den Lotfu\u00dfpunkt $F=(8\/3 \\ | \\ 2\/3 \\ | \\ 10\/3)$ zu erhalten. Anschlie\u00dfend berechnen wir den Abstand der beiden Punkte $P$ und $F$ mit $|\\overrightarrow{PF}|\\approx 0,82$.<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">7 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/wisepop-sehr-klein-2.png\" alt=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\" title=\"Abst\u00e4nde Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 id=\"Abstandsberechnung-Hesseform\" class=\"anchor\">Erkl\u00e4rvideo mit Hesseform<\/h2>\n<p>Wenn es nur um den Abstand geht und nicht Lotfu\u00dfpunkte berechnet werden sollen, ist die Abstandsberechnung mit der Hesseform am leichtesten. Hierbei sollte vor allem die Umwandlung von Ebenengleichungen bekannt sein. Dazu betrachten wir das nebenstehende Beispiel.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3598\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_abstand_punkt_ebene-1.png\" alt=\"Abstand Punkt Ebene mit Hesseform\" width=\"215\" height=\"130\" \/><\/p>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehen<\/span>:<\/p>\n<ol>\n<li>Ebenengleichung auf Koordinatenform bringen, falls nicht schon gegeben. Hier: $2x_1-x_2+4x_3=1$<\/li>\n<li>Normalenvektor ablesen und L\u00e4nge bestimmen. Hier: $\\vec{n} = (2 \\ -1 \\ 4)^T$ und $|\\vec{n}| = \\sqrt{21}$<\/li>\n<li>Ebenengleichung umstellen: $2x_1-x_2+4x_3-1=0$<\/li>\n<li>Punkt $P$ und Ebene $E$ in die Hesseform einsetzen: \\begin{align*} d(P,E)= \\left| \\frac{2x_1-x_2+4x_3-1}{\\vec{|n|}} \\right| = \\left| \\frac{2 \\cdot 2 &#8211; 1\\cdot 8 +4 \\cdot 2 -1}{\\sqrt{21}} \\right| \\approx 0,65 \\end{align*}<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>Lass dir nochmals von Daniel das Thema &#8222;Abstand Punkt-Ebene&#8220; erkl\u00e4ren!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Abstand Punkt zu Ebene mit der Hesseform (Analytische Geometrie), Vektoren | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_mfJBWyHYNwg\"><div id=\"lyte_mfJBWyHYNwg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmfJBWyHYNwg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Abstand Punkt zu Ebene mit der Hesseform (Analytische Geometrie), Vektoren | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/mfJBWyHYNwg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FmfJBWyHYNwg%2F0.jpg\" alt=\"Abstand Punkt zu Ebene mit der Hesseform (Analytische Geometrie), Vektoren | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel zeigen wir dir wie du Abst\u00e4nde in der Vektorrechnung ermittelst: Abstand Punkt zu Punkt Abstand Punkt zu Gerade Berechnung mit der Hilfsebene Abstand paralleler Geraden Abstand windschiefer Geraden Berechnung mit dem Lotverfahren Abstand Punkt zu Ebene Abstandsberechnung mit Hesseform Abstand Punkt zu Punkt Vorgehen: Vektor der beiden gegebenen Punkte und berechnen. 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