\n
Beispielaufgabe – 1<\/h3>\n
Bestimme einen Kreis, der folgende Bedingungen erf\u00fcllt:<\/p>\n
a) $M(3|2)$ und $r=1$.<\/p>\n
b) Der Kreis ber\u00fchrt die $x$– und die $y$-Achse jeweils bei 2.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)
\nWir setzen die Informationen in die Koordinatengleichung ein und erhalten:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nk: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 1
\n\\end{align*}<\/p>\n
b)<\/p>\n
Da der Kreis die $x$– und $y$-Achse jeweils bei 2 \\underline{ber\u00fchrt}, muss der Mittelpunkt bei $M(2|2)$ liegen und der Radius 2 sein. Die Kreisgleichung lautet:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nk: (x-2)^2 + (y-2)^2 = 4
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n
\n
Beispielaufgabe – 2<\/h3>\n
Gib die Koordinatenform der Kugel an, die folgende Bedingungen erf\u00fcllt:<\/p>\n
a) Der Mittelpunkt ist im Ursprung und der Radius betr\u00e4gt $\\sqrt{5}$.<\/p>\n
b) $M(3|2|-1)$ und $r=3$.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)<\/p>\n
Da der Mittelpunkt $M(0|0|0)$ im Ursprung liegt, lautet die Koordinatenform:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nk: x^2 + y^2 + z^2 = 5
\n\\end{align*}<\/p>\n
b)<\/p>\n
Wir setzen die Informationen in die Koordinatengleichung ein und erhalten:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nk: (x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n
\n
Beispielaufgabe – 3<\/h3>\n
Bestimme die Lage des Kreises $k: (x-2)^2+(y+1)^2=4$ zu<\/p>\n
a) den Punkten $P(2|0)$, $Q(4|-1)$ und $R(1|1)$.<\/p>\n
b) der Geraden $y=-2x+2$.<\/p>\n
c) der Geraden $y=x+1$.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)<\/p>\n
Wir setzen die Punkte ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
$P: (2-2)^2+(0+1)^2=1<r^2 \\ \\Rightarrow$ Der Punkt liegt innerhalb des Kreises.<\/p>\n
$Q: (4-2)^2+(-1+1)^2=4=r^2 \\ \\Rightarrow$ Der Punkt auf dem Kreis.<\/p>\n
$R: (1-2)^2+(1+1)^2=5>r^2 \\ \\Rightarrow$ Der Punkt liegt au\u00dferhalb des Kreises.<\/p>\n
b)<\/p>\n
Wir setzen die Gerade ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n& (x-2)^2+((-2x+2)+1)^2 & = & 4 & \\\\
\n\\Leftrightarrow & x^2-4x+4+4x^2-12x+9 & = & 4 & \\quad |-4 \\\\
\n\\Leftrightarrow& 5x^2-16x+9 & = & 0 & \\quad |:5 \\ |\\ pq\\textrm{-Formel} \\\\
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da die Gleichung die beiden L\u00f6sungen $x_1 \\approx 2,47$ und $x_2\\approx0,73$ hat, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten und ist eine Sekante.<\/p>\n
c)<\/p>\n
Wir setzen die Gerade ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{array}{crcll}
\n& (x-2)^2+((x+1)+1)^2 & = & 4 & \\\\
\n\\Leftrightarrow & x^2-4x+4+x^2+4x+4 & = & 4 & \\quad |-4 \\\\
\n\\Leftrightarrow & 2x^2+4 & = & 0 & \\quad |-4 \\\\
\n\\Leftrightarrow & 2x^2 & = &-4 & \\\\
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da wir keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen k\u00f6nnen, hat die Gleichung keine L\u00f6sung. Demnach ist die Gerade eine Passante und schneidet den Kreis nicht.<\/p>\n<\/div>\n
\n
Beispielaufgabe – 4<\/h3>\n
Bestimme die Lage des Kreises $k: (x-5)^2+(y+2)^2=9$ zu
\n$A(3|-1)$ und $B(0|0)$ der Geraden $y=-3x+2$.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)<\/p>\n
Wir setzen die Punkte in die Kreisgleichung ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
$A$: $(3-5)^2+((-1)+2)^2=4+1=5 <r^2 \\Rightarrow$ Der Punkt liegt innerhalb vom Kreis.
\n$B$: $(0-5)^2+(0+2)^2=25+4=29 >r^2 \\Rightarrow$ Der Punkt liegt au\u00dferhalb vom Kreis.<\/p>\n
b)<\/p>\n
Wir setzen die Gerade ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n& (x-5)^2+((-3x+2)+2)^2 & = & 9 & \\\\
\n\\Leftrightarrow &10x^2-34x+32& = & 0 & |:10 \\ \\ |\\ pq\\textrm{-Formel}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da unter der Wurzel etwas negatives herauskommt, hat die Gleichung keine L\u00f6sung. Demnach ist die Gerade eine Passante des Kreises.<\/p>\n<\/div>\n\n
\n
Beispielaufgabe – 5<\/h3>\n
Bestimme die Lage der Kugel $k: \\left( \\vec{x} – \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\right)^2=4$ zu<\/p>\n
a) den Punkten $A(2|2|0)$, $B(3|-2|-1)$ und $C(2|-1|0)$<\/p>\n
b) der Geraden $g: \\vec{x} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ -8 \\end{pmatrix} + r \\cdot \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}, r \\in \\mathbb{R}$<\/p>\n
c) der Ebene $E: 0,5x_1 – x_2 = 3,75$.<\/p>\n
d) Bestimme eine Kugel, die au\u00dferhalb der Kugel $k$ liegt, den Radius 1 hat und die Kugel in einem Punkt ber\u00fchrt.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)
\nWir setzen die Punkte in $k$ ein und interpretieren das Ergebnis.<\/p>\n
$A: \\ \\left[ \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{pmatrix} – \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\right]^2 =\\left[ \\begin{pmatrix}
\n1 \\\\ 4 \\\\ 1
\n\\end{pmatrix} \\right]^2 =18 > r^2 \\ \\Rightarrow$ au\u00dferhalb der Kugel
\n$B: \\ \\left[ \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} – \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\right]^2 =\\left[ \\begin{pmatrix}
\n2\\\\ 0 \\\\ 0
\n\\end{pmatrix} \\right]^2 =4 = r^2 \\ \\Rightarrow$ auf der Kugel
\n$C: \\ \\left[ \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} – \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\right]^2 =\\left[ \\begin{pmatrix}
\n1 \\\\ 1 \\\\ 1
\n\\end{pmatrix} \\right]^2 =3 < r^2 \\ \\Rightarrow$ innerhalb der Kugel<\/p>\n
b)<\/p>\n
Wir berechnen den Abstand der Geraden zum Mittelpunkt und interpretieren das Ergebnis. Der Lotfu\u00dfpunkt liegt in der Punktmenge der Geraden. Also ist die Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt der Kugel und eines beliebigen Punktes auf der Geraden $\\overrightarrow{GM}$. Dieser Vektor muss senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden liegen. Es gilt also:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\overrightarrow{GM} \\bullet \\overrightarrow{RV}_g =
\n\\begin{pmatrix}
\n1-4r \\\\ -2+2r \\\\ 7-3r
\n\\end{pmatrix} \\bullet \\begin{pmatrix}
\n4 \\\\ -2 \\\\ 3
\n\\end{pmatrix} = 0 \\ \\Rightarrow \\ r=1
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wir setzen $r$ in den Verbindungsvektor ein und bestimmen den Abstand der Geraden zum Mittelpunkt der Kugel.<\/p>\n
\\begin{align*}
\nd(g;M)= \\left| \\overrightarrow{GM} \\right| = \\left| \\begin{pmatrix}
\n-3 \\\\ 0 \\\\ 4
\n\\end{pmatrix} \\right| = 5\\ [\\textrm{LE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
Damit betr\u00e4gt der Abstand der Geraden zum Mittelpunkt der Kugel 5. Da der Radius der Kugel 2 ist, liegt die Gerade au\u00dferhalb der Kugel und hat den Abstand $d=5-2=3$.<\/p>\n
c)<\/p>\n
Auch hier bestimmen wir als Erstes den Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene. Wir wandeln daf\u00fcr die Ebene in die Hessesche Normalenform um und setzen den Mittelpunkt der Kugel ein.<\/p>\n
\\begin{align*}
\nd(E,M)= \\left| \\frac{0,5x_1-x_2-3,75}{0,5\\sqrt{5}} \\right| = \\left| \\frac{0,5\\cdot 1-(-2)-3,75}{0,5\\sqrt{5}} \\right| = \\frac{\\sqrt{5}}{2} < 2
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt kleiner als der Radius ist, schneidet die Ebene die Kugel in einem Schnittkreis. Um den Radius des Schnittkreises auszurechnen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.<\/p>\n
\\begin{align*}
\nr‘ = \\sqrt{r^2-d^2} = \\sqrt{2^2-\\left( \\frac{\\sqrt{5}}{2} \\right)^2} = \\sqrt{\\frac{11}{4}} \\approx 1,66 \\ [\\textrm{LE}]
\n\\end{align*}<\/p>\n
Der Radius des Schnittkreises betr\u00e4gt 1,66 L\u00e4ngeneinheiten.<\/p>\n
d)<\/p>\n
Da der Radius der ersten Kugel 2 ist und der Radius der zweiten Kugel 1 sein muss, m\u00fcssen wir den Mittelpunkt der neuen Kugel mit einem Abstand von genau 3 Einheiten platzieren. Dazu k\u00f6nnen wir den Punkt mit jedem Vektor der L\u00e4nge 3 addieren und erhalten den Mittelpunkt der neuen Kugel, z.B.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\vec{m}_2 = \\vec{m}_1 + \\begin{pmatrix}
\n3 \\\\ 0 \\\\ 0
\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n1 \\\\ -2 \\\\ -1
\n\\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}
\n3 \\\\ 0 \\\\ 0
\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n4 \\\\ -2 \\\\ -1
\n\\end{pmatrix}
\n\\end{align*}
\nDaraus ergibt sich die Kugelgleichung $k_2: \\left[ \\vec{x} – \\begin{pmatrix}
\n4 \\\\ -2 \\\\ -1
\n\\end{pmatrix} \\right]^2 = 1$.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
In diesem Artikel geht es um Kreise und Kugeln. Zun\u00e4chst beginnen wir mit einer Einf\u00fchrung bevor wir uns dann den unterschiedlichen Lagebeziehungen zuwenden: Einf\u00fchrung Kreise Einf\u00fchrung Kugel Lagebeziehung zwischen Kreis und Punkt Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade Lagebeziehung zwischen Kugel und Punkt Lagebeziehung zwischen Kugel und Gerade Lagebeziehung zwischen Kugel und Ebene Lagebziehung zwischen Kugel […]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":7,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"\n
Kreise und Kugeln Analytische Geometrie - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du brauchst Hilfe bei der Berechnung von Kugeln und Kreise in der Vektorrechnung? WIr haben f\u00fcr die leicht verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rungen mit Beispielen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Kreise und Kugeln Analytische Geometrie - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Du brauchst Hilfe bei der Berechnung von Kugeln und Kreise in der Vektorrechnung? WIr haben f\u00fcr die leicht verst\u00e4ndliche Erkl\u00e4rungen mit Beispielen.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-01-31T13:55:11+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreis-300x234.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kreis.png\",\"width\":584,\"height\":455},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/\",\"name\":\"Kreise und Kugeln Analytische Geometrie - StudyHelp\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2015-03-25T19:59:34+00:00\",\"dateModified\":\"2020-01-31T13:55:11+00:00\",\"description\":\"Du brauchst Hilfe bei der Berechnung von Kugeln und Kreise in der Vektorrechnung? WIr haben f\\u00fcr die leicht verst\\u00e4ndliche Erkl\\u00e4rungen mit Beispielen.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/kreise-und-kugeln\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/72"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=72"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/72\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15549,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/72\/revisions\/15549"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=72"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=72"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=72"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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