<\/div>
\n<\/p>\n
Rechnen mit Matrizen<\/h2>\nMatrizen addieren und subtrahieren<\/h3>\n
Die Addition und Subtraktion von Matrizen l\u00e4sst sich durchf\u00fchren, wenn die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedr\u00fcckt m\u00fcssen diese die selbe „Gestalt“ aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen.<\/p>\n
Gegeben sind die Matrizen A und B<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA=\\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{pmatrix}; \\qquad B=\\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22} \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Es folgt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA \\pm B = \\begin{pmatrix} a_{11}\\pm b_{11} & a_{12}\\pm b_{12} \\\\ a_{21}\\pm b_{21} & a_{22}\\pm b_{22} \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Die Addition von Matrizen ist – ebenso wie eine normale Addition – kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog!<\/p>\n
Zahl mal Matrix<\/h3>\n
Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nr \\cdot \\underbrace{\\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 4 & 5 \\end{pmatrix}}_{A} = \\begin{pmatrix} 3 \\cdot r & 2 \\cdot r \\\\ 4\u00a0\\cdot r & 5 \\cdot r \\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\n
Matrix mal Vektor<\/h3>\n
Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgef\u00fchrt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors \u00fcbereinstimmen.
\nGegeben sei die reelle Matrix und der reelle (Spalten-)Vektor<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA = \\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\in ^{2 \\times 3} \\quad \\textrm{und} \\quad x = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 4 \\end{pmatrix} \\in ^{3 \\times 1}.
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da die Matrix A ebenso viele Spalten besitzt, wie der Vektor x lang ist, ist das Matrix-Vektor-Produkt $A \\cdot x$ durchf\u00fchrbar. Nachdem A zwei Zeilen hat wird der Ergebnisvektor y ebenfalls zwei Elemente aufweisen. Um das erste Element des Ergebnisvektors zu berechnen, betrachtet man die erste Zeile von A, multipliziert die jeweils entsprechenden Eintr\u00e4ge dieser Zeile mit denen des Ausgangsvektors und summiert die Ergebnisse auf (die Sternchen stehen f\u00fcr noch nicht berechnete Elemente):<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\cdot 1+ 2 \\cdot 0 +1 \\cdot 4 \\\\ \\ast \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ \\ast \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
F\u00fcr das zweite Element des Ergebnisvektors betrachtet man entsprechend die zweite Zeile von A und berechnet analog:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 1 \\cdot 1 + 0 \\cdot 0 + 2 \\cdot 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 9 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Matrix mal Matrix<\/h2>\n
Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu k\u00f6nnen, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix \u00fcbereinstimmen. Gegeben seien die beiden reellen Matrizen<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA = \\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\in ^{2 \\times 3} \\ \\ \\textrm{und} \\ \\ B = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 4 & 0 \\end{pmatrix} \\in ^{3 \\times 2}.
\n\\end{align*}<\/p>\n
Da die Matrix A ebenso viele Spalten wie die Matrix B Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation $A \\cdot B$ durchf\u00fchrbar. Nachdem A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Eintr\u00e4ge der ersten Zeile von A und der ersten Spalte von B aufsummiert (die Sternchen stehen f\u00fcr noch nicht berechnete Elemente):<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 4 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\cdot 1 + 2 \\cdot 0 + 1 \\cdot 4 & \\ast \\\\ \\ast & \\ast \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & \\ast \\\\ \\ast & \\ast
\n\\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
F\u00fcr das n\u00e4chste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B verwendet:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 4 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 3 \\cdot 2 + 2 \\cdot 1 + 1 \\cdot 0 \\\\ \\ast & \\ast \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 8 \\\\ \\ast & \\ast \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 4 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 8 \\\\ 1 \\cdot 1 + 0 \\cdot 0 + 2 \\cdot 4 & \\ast \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 8 \\\\ 9 & \\ast \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 4 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 8 \\\\ 9 & 1 \\cdot 2 + 0 \\cdot 1 + 2 \\cdot 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 7 & 8 \\\\ 9 & 2 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt $A \\cdot B$.<\/p>\n\n
Beispielaufgaben<\/h2>\n\n
Beispielaufgaben zum Rechnen mit Matrizen<\/h3>\n
Gegeben sind die Matrizen<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA&=\\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ -1 & 2 \\end{pmatrix}, \\
\nB=\\begin{pmatrix} 2 & 5 \\\\ 3 & 1 \\end{pmatrix}, \\
\nC=\\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & -2 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}, \\\\ \\\\
\nD&=\\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 \\end{pmatrix}, \\
\nE=\\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 1 \\end{pmatrix} \\ \\textrm{und} \\
\nF=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\n
Berechne<\/strong><\/p>\n1) A+B<\/p>\n
2) B-A<\/p>\n
3) 3 $\\cdot$ C<\/p>\n
4) D $\\cdot$ F<\/p>\n
5) C $\\cdot$ D<\/p>\n
6) D $\\cdot$ C<\/p>\n
7) C $\\cdot$ E<\/p>\n
8) E $\\cdot$ F<\/p>\n
9) C $\\cdot$ F<\/p>\n
L\u00f6sungen<\/strong><\/p>\n1) $A+B=\\begin{pmatrix} 1+2 & 3+5 \\\\ -1+3 & 2+1 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 3 & 8 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
2) $B-A=\\begin{pmatrix} 2-1 & 5-3 \\\\ 3-(-1) & 1-2 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 4 & -1 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
3) $3\\cdot C= 3 \\cdot \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & -2 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 9 & 3 \\\\ 6 & -6 \\\\ 0 & -3 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
4) $D \\cdot F= \\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 1 \\cdot 2 + 3\\cdot 1 +0\\cdot (-1) \\\\ 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 1 + (-1)\\cdot (-1) \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 5\\\\ 7 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
5) $C \\cdot D= \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & -2 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix} 5 & 11 & -1 \\\\ -2 &2 & 2 \\\\-2 & -2 & 1 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
6) $D \\cdot C= \\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 2 & -2 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 9 & -5 \\\\ 10 & -1 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
7) $C\\cdot E$: Berechnung nicht m\u00f6glich, da E nicht die gleiche Anzahl an Zeilen wie C Spalten hat.<\/p>\n
8) $E \\cdot F= \\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ -3 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$<\/p>\n
9) $C\\cdot F$: Berechnung nicht m\u00f6glich, da F nicht die gleiche Anzahl an Zeilen wie C Spalten hat.<\/p>\n<\/div>
\n Ver\u00f6ffentlich am 25.03.2015, zuletzt aktualisiert: 16.10.2020 von StudyHelp<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
In diesem Artikel zeigen wir dir was Matrizen sind, wie diese aufgebaut sind und wie man mit Matrizen rechnet: Aufbau von Matrizen Vom LGS zur Matrizen Rechnen mit Matrizen Beispielaufgaben Aufbau von Matrizen Matrizen bestehen aus m Zeilen und n Spalten, weshalb sie auch (m,n)-Matrizen genannt werden. Die Dimension einer einzelnen Matrix (Matrizen ist nur […]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":8,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"\n
Matrizen Grundlagen vollst\u00e4ndig erkl\u00e4rt - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wie rechnet man mit Matrizen? Wir zeigen es dir anhand von Beispielen, verst\u00e4ndlichen Erkl\u00e4rungen und Lernvideos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/matrizen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Matrizen Grundlagen vollst\u00e4ndig erkl\u00e4rt - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Wie rechnet man mit Matrizen? Wir zeigen es dir anhand von Beispielen, verst\u00e4ndlichen Erkl\u00e4rungen und Lernvideos.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/matrizen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-10-16T09:30:53+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/matrizen\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/matrizen\/\",\"name\":\"Matrizen Grundlagen vollst\\u00e4ndig erkl\\u00e4rt - StudyHelp\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"datePublished\":\"2015-03-25T19:59:44+00:00\",\"dateModified\":\"2020-10-16T09:30:53+00:00\",\"description\":\"Wie rechnet man mit Matrizen? Wir zeigen es dir anhand von Beispielen, verst\\u00e4ndlichen Erkl\\u00e4rungen und Lernvideos.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/matrizen\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=74"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15550,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74\/revisions\/15550"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=74"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=74"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=74"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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