$\\left(k \\cdot A\\right)^{-1} = k^{-1} \\cdot A^{-1}$<\/li>\n<\/ul>\nWenn wir eine $3 \\times 3$ Matrix vorliegen haben, sollte man entweder seinen Taschenrechner bedienen k\u00f6nnen, oder den guten Gau\u00df-Jordan-Algorithmus beherrschen.<\/p>\n
Hier ein Beispiel<\/em>: <\/p>\nBestimme die Inverse zur reellen Matrix<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad
\n\\begin{array}{c} \\textrm{I} \\\\ \\textrm{II}\u00a0\\\\ \\textrm{III}\u00a0\\end{array}
\n\\left(\\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \\, & \\, 1 & 0 & 0 \\\\ { 2} & 4 & 1 \\, & \\, 0 & 1 & 0 \\\\ { 2} & 1 & 0 \\, & \\, 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right) \\notag
\n\\end{align*}
\nDie Idee ist es, die Einheitsmatrix von der rechten Seite auf die linke Seite zu bringen. Das schaffen wir, in dem wir die linke Seite mit dem Additionsverfahren so zu ver\u00e4ndern, dass nur auf der Diagonalen 1en stehen und sonst 0en.
\nZun\u00e4chst werden hier die beiden 2-en in der ersten Spalte eliminiert, indem wir $\\textrm{II} – 2 \\cdot \\textrm{I}$ und $\\textrm{III} – 2 \\cdot \\textrm{I}$ rechnen. Nachdem in der zweiten Spalte nun eine 0 steht, wird zur Elimination der -3 die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erh\u00e4lt die obere Dreiecksform:
\n\\begin{align*}
\n\\rightarrow \\left(\\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \\, & \\, 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\, & \\, -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & { -3} & 0 \\, & \\, -2 & 0 & 1 \\end{array}\\right) \\rightarrow \\left(\\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \\, & \\, 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & 0 \\, & \\, -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\, & \\, -2 & 1 & 0 \\end{array}\\right). \\notag
\n\\end{align*}
\nNun muss lediglich die verbleibende 2 oberhalb der Diagonalen zu Null gesetzt werden, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zum Dreifachen der ersten Zeile geschieht. Schlie\u00dflich muss noch die erste Zeile durch 3 und die zweite Zeile durch -3 dividiert werden und man erh\u00e4lt als Ergebnis:
\n\\begin{align*}
\n\\left(\\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2& 0 \\, & \\, 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & 0 \\, & \\, -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\, & \\, -2 & 1 & 0 \\end{array}\\right) \\rightarrow \\left(\\begin{array}{ccc|ccc} { 3} & 0 & 0 \\, & \\, -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & { -3} & 0 \\, & \\, -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\, & \\, -2 & 1 & 0 \\end{array}\\right) \\rightarrow \\left(\\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \\, & \\, -\\tfrac13 & 0 & \\tfrac23 \\\\ 0 & 1 & 0 \\, & \\, \\tfrac23 & 0 & -\\tfrac13 \\\\ 0 & 0 & 1 \\, & \\, -2 & 1 & 0 \\end{array}\\right). \\notag
\n\\end{align*}
\nDie Inverse von $A$ ist demnach:
\n\\begin{align*}
\nA^{-1} = \\begin{pmatrix} -\\tfrac13 & 0 & \\tfrac23 \\\\ \\tfrac23 & 0 & -\\tfrac13 \\\\ -2 & 1 & 0 \\end{pmatrix} = \\frac{1}{3} \\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -6 & 3 & 0 \\end{pmatrix}. \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\nBegriff Fixvektor, stabiler Vektor<\/h2>\n
Ein Fixvektor beschreibt einen stabilen Zustand, also einen Zustand, der sich durch Anwenden der \u00dcbergangsmatrix nicht mehr \u00e4ndert. Dieser Zustand wird auch \u201estation\u00e4rer\u201c Zustand genannt. H\u00e4ufig wird in Aufgaben verlangt, den Fixvektor zu einem gegebenem System zu bestimmen bzw. erst seine Existenz zu \u00fcberpr\u00fcfen.<\/p>\n
Mathematisch betrachtet ist der Vektor $\\vec{v}=(a\\\u00a0b\\\u00a0c)^T$ gesucht, f\u00fcr den gilt $M\\cdot \\vec{v} = \\vec{v}$. Dieser kann (wenn es ihn denn gibt) aus dem zugeh\u00f6rigen Gleichungssystem allgemein bestimmt werden. In einem zweiten Schritt kann dann der zu einem gegebenen Zustandsvektor $\\vec{v_0} = (150\\\u00a0240\\\u00a0120)^T$ geh\u00f6rige Fixvektor bestimmt werden.<\/p>\n
\n
Beispiel:<\/h3>\n
Gegeben sei folgende \u00dcbergangsmatrix $M$. Der Fixvektor ist gesucht.<\/p>\n
\\begin{align*}
\nM = \\begin{pmatrix} 0,6 & 0,05 & 0,3 \\\\ 0,1 & 0,8 & 0,2 \\\\ 0,3 & 0,15 & 0,5 \\end{pmatrix} \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
Aus der Bedingung $M\\cdot \\vec{v} = \\vec{v}$ ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{array}{rcrcrcll}
\n0,6 a &+& 0,05 b &+& 0,3 c &= &a & |-a \\\\
\n0,1 a &+& 0,8 b &+& 0,2 c &=& b & |-b \\\\
\n0,3 a &+& 0,15 b &+& 0,5 c &=& c & |-c
\n\\end{array}
\n\\Leftrightarrow
\n\\begin{array}{rcrcrcl}
\n-0,4 a &+& 0,05 b &+& 0,3 c &= &0 \\\\
\n0,1 a &-& 0,2 b &+& 0,2 c &=&0 \\\\
\n0,3 a &+& 0,15 b &-& 0,5 c &=& 0
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wenn wir versuchen das LGS zu l\u00f6sen, sei es per Hand oder mit dem TR, bekommen wir keine eindeutige L\u00f6sung heraus, sondern alles in Abh\u00e4ngigkeit einer Unbekannten.<\/p>\n
Wichtig: Es gibt nur dann eine station\u00e4re Verteilung, wenn die L\u00f6sung des Gleichungssystems eine wahre Aussage ist, z.B. $0=0$!<\/strong><\/p>\nWir geben die L\u00f6sung also in Abh\u00e4ngigkeit eines Parameters, hier $c$, an und erhalten damit den allgemeinen Fixvektor:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\vec{v} = \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\frac{14}{15}~c \\\\[0.2cm] \\frac{22}{15}~c \\\\ c \\end{pmatrix} \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
Den zu unserem Zustandsvektor $\\vec{v}_0$ geh\u00f6rende Fixvektor bekommen wir, indem wir die Informationen aus $\\vec{v}_0$ als weitere Gleichung dazu nehmen.
\nEs gilt<\/p>\n
\\begin{align*}
\na + b + c = 150 + 240 + 120 = 510 \\quad \\textrm{und damit auch} \\quad \\frac{14}{15}c + \\frac{22}{15}c + c = 510 \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
Wenn wir die Gleichung nach $c$ aufl\u00f6sen erhalten wir f\u00fcr $c=150$ und damit den Fixvektor $\\vec{v}_F$ zum Zustandsvektor $\\vec{v}_0$<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\vec{v_{F}}= \\begin{pmatrix}
\n140 \\\\ 220 \\\\ 150
\n\\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n
Eine weitere M\u00f6glichkeit den Fixvektor zu bestimmen, ist die wiederholte Multiplikation der \u00dcbergangsmatrix mit sich selbst. Wenn sich die Werte der Matrix stabilisieren, kann man Spaltenweise den Fixvektor ablesen. <\/p>\n
\n
Beispiel:<\/strong><\/p>\n\\begin{align*}
\nM^{100} = \\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 & 0,5 \\\\ 0,2 & 0,2 & 0,2 \\\\ 0,3 & 0,3 & 0,3 \\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\vec{v}=\\begin{pmatrix}
\n0,5 \\\\ 0,2 \\\\ 0,3
\n\\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n
\n
Beispielaufgabe\u00a0Austauschprozesse:<\/h2>\n
Eine Personengruppe wird jedes Jahr nach ihrem Lieblingsgetr\u00e4nk zum Fr\u00fchst\u00fcck gefragt. Zur Auswahl stehen Kaffee, Tee und Saft. Aus den letzten Jahren wurden folgende Beobachtungen gemacht: Von den Kaffeetrinkern trinken im darauffolgenden Jahr 80% weiter Kaffee, 10% Tee und 10% Saft. Von den Teetrinkern trinken 70% weiter Tee, 20% Kaffee und 10% Saft. Von den Safttrinkern trinken 50% weiter Saft, 30% Kaffee und 20% Tee.<\/p>\n
a) Stelle ein \u00dcbergangsdiagramm und die dazugeh\u00f6rige Matrix in der Reihenfolge Kaffee $K$, Tee $T$ und Saft $S$ auf.<\/p>\n
b) In diesem Jahr haben von 1000 Menschen 650 Kaffee, 200 Tee und 150 Saft getrunken. Wie sieht die Verteilung im n\u00e4chsten Jahr und im vorherigem Jahr aus?<\/p>\n
c) Bestimme den Fixvektor des Austauschprozesses.<\/p>\n
L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\na)<\/p>\n
![\"Austauschprozess](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_austauschprozess-300x140.png\")
<\/p>\n
\u00a0$\\Downarrow$<\/p>\n
$
\n\\renewcommand{\\arraystretch}{1.3}
\n\\begin{array}{r|ccc}
\n& K & T & S \\\\
\n\\hline
\nK & 0,8 & 0,2 & 0,3 \\\\
\nT & 0,1 & 0,7 & 0,2 \\\\
\nS & 0,1 & 0,1 & 0,5 \\\\
\n\\end{array}$<\/p>\n
\u00a0$\\Downarrow$<\/p>\n
$M=\\begin{pmatrix}
\n0,8 & 0,2 & 0,3 \\\\
\n0,1 & 0,7 & 0,2 \\\\
\n0,1 & 0,1 & 0,5
\n\\end{pmatrix}$<\/p>\n
b)<\/p>\n
Verteilung in diesem Jahr:<\/span>
\n$V= \\begin{pmatrix}
\n650 \\\\ 200 \\\\ 150
\n\\end{pmatrix}$
\nVerteilung im n\u00e4chsten Jahr:<\/span>
\n$V’=M \\cdot V= \\begin{pmatrix}
\n0,8 & 0,2 & 0,3 \\\\
\n0,1 & 0,7 & 0,2 \\\\
\n0,1 & 0,1 & 0,5
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n650 \\\\ 200 \\\\ 150
\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}
\n605 \\\\ 235 \\\\ 160
\n\\end{pmatrix}$
\nVerteilung im vorherigen Jahr, mit dem Ansatz<\/span> $M\\cdot \\vec{x}=V$:
\n\\begin{align*} \\begin{pmatrix}
\n0,8 & 0,2 & 0,3 \\\\
\n0,1 & 0,7 & 0,2 \\\\
\n0,1 & 0,1 & 0,5
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\nx \\\\ y \\\\ z
\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}
\n650 \\\\ 200 \\\\ 150
\n\\end{pmatrix} \\ \\Rightarrow \\ \\begin{array}{rrcrcrcl}
\n\\textrm{I} & 0,8x & + & 0,2y & + & 0,3z & = & 650 \\\\
\n\\textrm{II} & 0,1x & + & 0,7y & + & 0,2z & = & 200 \\\\
\n\\textrm{III} & 0,1x & + & 0,1y & + & 0,5z & = & 150
\n\\end{array}
\n\\end{align*}
\nDas LGS liefert die eindeutige L\u00f6sung x=729,17, y=145,83 und z=125. Damit war die Verteilung im vorherigen Jahr $V^*=(729 \\ 146 \\ 125)^T$.<\/p>\nc)<\/p>\n
Der Fixvektor muss die Bedingung $M \\cdot \\vec{x}=\\vec{x}$ erf\u00fcllen:
\n\\begin{align*} \\begin{pmatrix}
\n0,8 & 0,2 & 0,3 \\\\
\n0,1 & 0,7 & 0,2 \\\\
\n0,1 & 0,1 & 0,5
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\nx \\\\ y \\\\ z
\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}
\nx \\\\ y \\\\ z
\n\\end{pmatrix} \\ \\Rightarrow \\ \\begin{array}{rrcrcrcl}
\n\\textrm{I} & 0,8x & + & 0,2y & + & 0,3z & = & x \\\\
\n\\textrm{II} & 0,1x & + & 0,7y & + & 0,2z & = & y \\\\
\n\\textrm{III} & 0,1x & + & 0,1y & + & 0,5z & = & z
\n\\end{array} \\end{align*}<\/p>\n
Wir erhalten keine eindeutige L\u00f6sung und geben in L\u00f6sung in Abh\u00e4ngigkeit der Variablen z an:<\/p>\n
$x=\\frac{13}{4} z, \\ y=\\frac{7}{4}z, \\ z=z$<\/p>\n
Mit der Bedingung, dass wir 1000 Personen haben, bekommen wir eine zus\u00e4tzliche Gleichung, mit der wir z bestimmen k\u00f6nnen:<\/p>\n
$x+y+z=1000 \\ \\Rightarrow \\ \\frac{13}{4} z + \\frac{7}{4}z + z = 1000 \\ \\Leftrightarrow \\ z=166 \\frac{2}{3}$<\/p>\n
Daraus ergibt sich der Fixvektor: <\/p>\n
\\begin{align*} \\vec{v}_F=\\begin{pmatrix}
\n541\\frac{2}{3} \\\\ 291\\frac{2}{3} \\\\ 166\\frac{2}{3}
\n\\end{pmatrix} \\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
In diesem Artikel erf\u00e4hrst du alles zum Thema Austauschprozesse: \u00dcbergangsgraph\/-diagramm \u00dcbergangsmatrix ablesen Zeitlich Vorw\u00e4rtsrechnen Zeitlich R\u00fcckw\u00e4rtsrechnen (mit LGS oder inverser Matrix) Begriff Fixvektor, stabiler Vektor Austauschprozesse sind ein beliebtes Thema f\u00fcr eine Klausuraufgabe. Hierbei gibt es einige Dinge, die ihr beachten m\u00fcsst. In der Regel ist ein \u00dcbergangsgraph gegeben, aus dem ihr eine Matrix erstellen […]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":9,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[17],"tags":[],"yoast_head":"\n
Austauschprozesse - mit Beispielen - StudyHelp Abiturvorbereitung<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Das Thema Austauschprozesse bereitet euch Schwierigkeiten? Kein Problem - wir erkl\u00e4ren es euch Schritt f\u00fcr Schritt. Mit Lernvideos und Beispielaufgaben.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Austauschprozesse - mit Beispielen - StudyHelp Abiturvorbereitung\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Das Thema Austauschprozesse bereitet euch Schwierigkeiten? Kein Problem - wir erkl\u00e4ren es euch Schritt f\u00fcr Schritt. Mit Lernvideos und Beispielaufgaben.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-02-11T15:33:52+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-06-01-um-12.09.04-1024x309.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-06-01-um-12.09.04.png\",\"width\":1397,\"height\":421},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/\",\"name\":\"Austauschprozesse - mit Beispielen - StudyHelp Abiturvorbereitung\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2015-03-25T19:59:56+00:00\",\"dateModified\":\"2020-02-11T15:33:52+00:00\",\"description\":\"Das Thema Austauschprozesse bereitet euch Schwierigkeiten? Kein Problem - wir erkl\\u00e4ren es euch Schritt f\\u00fcr Schritt. Mit Lernvideos und Beispielaufgaben.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/austauschprozesse\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=76"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15631,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76\/revisions\/15631"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=76"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=76"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=76"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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