Einf\u00fchrung in Populationsprozesse<\/h2>\n
Ein typisches Beispiel f\u00fcr Populationsprozesse (oder Entwicklungsprozesse) sind die K\u00e4ferpopulationen. Entweder sind hierf\u00fcr Informationen im Text gegeben, aus denen wir einen \u00dcbergangsgraph erstellen k\u00f6nnen, oder wir haben den \u00dcbergangsgraph oder die \u00dcbergangsmatrix direkt gegeben. Betrachten wir hierf\u00fcr folgendes Beispiel einer K\u00e4ferpopulation.<\/p>\n
Das folgende Modell beschreibt die Entwicklung eines K\u00e4fers: Aus den Eiern schl\u00fcpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu K\u00e4fern, die nach einem Monat Eier legen und dann sterben. Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die H\u00e4lfte zu K\u00e4fern, die andere H\u00e4lfte stirbt. Jeder K\u00e4fer legt 8 Eier.<\/p>\n
Daraus ergibt sich folgender \u00dcbergangsgraph und folgende Populationsmatrix $P$:<\/strong><\/p>\n In der ersten Zeile stehen m\u00f6gliche Vermehrungsraten<\/em>. K\u00e4fer k\u00f6nnen sich vermehren und 8 Eier pro Monat legen. In der zweiten und dritten Zeile stehen \u00dcberlebensraten<\/em>. Eier k\u00f6nnen zu Larven werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% (\u00dcberlebensrate). Larven k\u00f6nnen \u00fcberleben und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zu K\u00e4fern werden.<\/p>\n Achtung<\/strong>: Falls im Text eine Sterberate<\/em> angegeben ist, m\u00fcsst ihr in der Matrix die entsprechende \u00dcberlebensrate<\/em> $= 1 –$Sterberate<\/em> eintragen!<\/p>\n Zur\u00fcck zu unserem Beispiel: Wenn zu Beginn der Population jeweils 40 Eier, Larven und K\u00e4fer vorhanden waren, besteht die Population nach einem Monat aus<\/p>\n \\begin{align*} 320 Eiern, 10 Larven und 20 K\u00e4fern.<\/p>\n Oft wird auch nach einem Anfangsbestand gefragt, der nach einem bestimmten Zeitraum unver\u00e4ndert ist. In unserem Beispiel sollen wir einen Anfangsbestand bestimmen, der nach einem Monat unver\u00e4ndert ist.<\/p>\n Denkt hier an den Fixvektor, es gilt<\/p>\n \\begin{align*} Auch hier l\u00e4sst sich das LGS nicht eindeutig l\u00f6sen und wird dr\u00fccken unsere L\u00f6sung in Abh\u00e4ngigkeit einer Variablen aus – hier alles in Abh\u00e4ngigkeit von K\u00e4fern $k$. Wir k\u00f6nnen uns nun f\u00fcr $k$ eine Zahl aussuchen, damit m\u00f6glichst sch\u00f6ne Ergebnisse raus kommen, sei also $k=10$, dann lautet der Anfangsbestand, der sich nach einem Monat nicht \u00e4ndert<\/p>\n \\begin{align*} Was ist nun der Unterschied zu Austauschprozessen? Hier m\u00fcssen die Spaltensummen in der Tabelle bzw. der Populationsmatrix nicht gleich 1 sein! Gegeben sei dieser Aufbau einer Populationsmatrix, die wir dreimal miteinander multiplizieren. Das klappt aber nur bei Matrizen, die wie $P$ aufgebaut sind.<\/p>\n \\begin{align*} Wir haben also nur Eintr\u00e4ge auf der Diagonalen. Gegeben w\u00e4ren jetzt die Werte $a= 60$, $b=0,1$ und $c=1\/6$, dann erhalten wir die Einheitsmatrix<\/p>\n \\begin{align*} Was bedeutet das? Das hat jetzt nichts mit dem Fixvektor zu tun! Es bedeutet, dass bei einer $3 \\times 3$ Matrix bei einem Zyklus von drei Zeitschritten der Anfangsbestand z.B. $(40\\\u00a030\\\u00a070)^T$ wieder erreicht ist. Was passiert, wenn<\/p>\n Daniel erkl\u00e4rt das Thema nochmals ausf\u00fchrlich in seinem Lernvideo.<\/strong><\/p>\n![\"Populationsprozesse\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-06-01-um-12.32.45-1024x195.png\")
<\/p>\n
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 0 & 8 \\\\ 0,25 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0,5 & 0
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n40 \\\\ 40 \\\\ 40
\n\\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix}
\n320 \\\\ 10 \\\\ 20
\n\\end{pmatrix} \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 0 & 8 \\\\ 0,25 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0,5 & 0
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\ne \\\\ l \\\\ k
\n\\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix}
\ne \\\\ l \\\\ k \\end{pmatrix}
\n\\quad \\Leftrightarrow \\quad
\n\\begin{pmatrix}
\ne \\\\ l \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n8k \\\\ 2k \\\\ k \\end{pmatrix}
\n\\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\begin{pmatrix}
\ne \\\\ l \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n80 \\\\ 20 \\\\ 10 \\end{pmatrix}.\\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n<\/p>\nZyklus bei Populationen<\/h2>\n
\nP = \\begin{pmatrix}
\n0 & 0 & a \\\\ b & 0 & 0 \\\\ 0 & c & 0
\n\\end{pmatrix} \\quad
\n\\Rightarrow \\quad
\nP^3 = \\begin{pmatrix}
\na \\cdot b \\cdot c & 0 & 0 \\\\ 0 & a \\cdot b \\cdot c & 0 \\\\ 0 & 0 & a \\cdot b \\cdot c
\n\\end{pmatrix} \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nP^3 = \\begin{pmatrix}
\n1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1
\n\\end{pmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1
\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n40 \\\\ 30 \\\\ 70
\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n40 \\\\ 30 \\\\ 70
\n\\end{pmatrix} \\notag
\n\\end{align*}<\/p>\n\n
![\"Zyklus](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FNcv9Stic2C4%2F0.jpg\")
![\"populationsprozesse2\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Populationsprozesse2-300x79.png\")
![\"populationsprozesse2\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Populationsprozesse2-1-300x79.png\")