{"id":80,"date":"2015-03-25T21:00:20","date_gmt":"2015-03-25T20:00:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=80"},"modified":"2020-01-31T15:10:31","modified_gmt":"2020-01-31T14:10:31","slug":"produktionsprozesse","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/produktionsprozesse\/","title":{"rendered":"Produktionsprozesse"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel vermitteln wir dir das Basiswissen zum Thema Produktionsprozesse. Dabei gehen wir auf folgende Kapitel ein:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#1-schritt-verflechtungsmodell\">Das 1-Schritt-Verflechtungsmodell<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#einfache-mehrschritt-modelle\">Einfache Mehrschritt Modelle<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgabe\">Beispielaufgabe<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"1-schritt-verflechtungsmodell\">Das 1-Schritt-Verflechtungsmodell<\/h2>\n<p>Wir betrachten ein Unternehmen, welches aus 3 Rohstoffen 2 Produkte produziert. Der Produktionsprozess wird durch das Diagramm\u00a0dargestellt. Diese Darstellung nennt man $Gozintograph$. Man spricht auch von einer Materialverflechtung.\u00a0Der Gozintograph ist ein gerichteter Graph, der beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen.<\/p>\n<p>Produktionsprozesse k\u00f6nnen dabei mehrstufig sein, wobei der Input aus Rohstoffen, Halb- und Fertigteilen besteht. Im Gozintographen ist aufgef\u00fchrt, wie diese Teile gegebenenfalls mengenm\u00e4\u00dfig verflochten sind. Dabei bezeichnen die Knoten die Teile und die gerichteten Kanten geben an, wie viele Einheiten eines Teiles in eine Einheit eines nachgelagerten Teiles einflie\u00dfen.<\/p>\n<p><strong>Achtung<\/strong>: Hier ist das Lesen <em>von &#8211; nach<\/em> andersrum als bisher!<\/p>\n<p>Jeder Knoten ist entweder<\/p>\n<ul>\n<li>Eingangsknoten &#8211; bei dem etwas in das System eintritt, z.B. Rohstoffe, oder<\/li>\n<li>Ausgangsknoten &#8211; bei dem etwas das System verl\u00e4sst, zB. Endprodukte.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3641\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_einstufig-1024x451.png\" alt=\"Produktionsprozesse\" width=\"384\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_einstufig-1024x451.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_einstufig-300x132.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_einstufig-768x338.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_einstufig.png 1198w\" sizes=\"(max-width: 384px) 100vw, 384px\" \/><\/p>\n<p>Die Zahlen an den Pfeilen k\u00f6nnen in einer spezifischen <strong>Verbrauchsmatrix<\/strong>\u00a0$V$ zusammengefasst werden. Man spricht auch von <em>Prozessmatrix<\/em>, <strong>Verflechtungsmatrix<\/strong>\u00a0oder <strong>Technologiematrix<\/strong>. Interpretation der Elemente in der Matrix: $v_{12}$ gibt z.B. den spezifischen Materialfluss von Quelle 1 (Rohstoff $R_1$) zum Ziel 2 (Produkt $Z_2$) an.<\/p>\n<p>Wenn das Unternehmen also ein gewisses Produktionsziel erreichen will und den dazugeh\u00f6rigen Rohstoffbedarf ermitteln m\u00f6chte, kann das durch die Beziehung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\underline{r} = V \\cdot \\underline{z}, \\ \\textrm{mit} \\ \\underline{r}:=\\begin{pmatrix} R_1 \\\\ R_2 \\\\ R_3 \\end{pmatrix} \\ \\textrm{und}<br \/>\n\\ \\underline{z} :=\\begin{pmatrix} Z_1 \\\\ Z_2 \\end{pmatrix} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>beschrieben werden. Nat\u00fcrlich kann auch die umgekehrte Situation vorkommen, wenn das Unternehmen sich fragt, wie viele Endprodukte mit gegebenem $\\underline{r}$\u00a0produziert werden k\u00f6nnen. Hierbei unterscheidet man<\/p>\n<ul>\n<li>Produktionen mit vollst\u00e4ndigem Rohstoffverbrauch,<\/li>\n<li>Produktionen mit teilweisem Rohstoffverbrauch.<\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"einfache-mehrschritt-modelle\">Einfache Mehrschritt-Modelle<\/h2>\n<p>In der Praxis ben\u00f6tigen Produktionen meist zahlreiche Einzelschritte. Im einfachsten Fall k\u00f6nnen diese durch\u00a0Zusammenschaltung von Einschrittmodellen beschrieben werden und wir erhalten ein Mehrschrittmodell.\u00a0Die Zusammenschaltung funktioniert nur ohne zus\u00e4tzliche Rechnung, wenn Brutto- und Nettoproduktion \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3644\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_mehrstufig-1024x546.png\" alt=\"Produktionbsprozesse Matrix\" width=\"506\" height=\"270\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_mehrstufig-1024x546.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_mehrstufig-300x160.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_mehrstufig-768x409.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_produktionsprozess_mehrstufig.png 1681w\" sizes=\"(max-width: 506px) 100vw, 506px\" \/><\/p>\n<p>In der obigen Abbildung ist ein zweistufiger Produktionsprozess dargestellt, wobei wir diesen als zwei 1-Schritt-Modelle auffassen. Die relevanten Zusammenh\u00e4nge hierbei lauten:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\underline{r} = V^{01} \\cdot \\underline{z} \\quad \\textrm{und} \\quad \\underline{z}= V^{12} \\cdot \\underline{p} \\quad<br \/>\n\\Rightarrow \\quad \\underline{r} = V^{01} \\underbrace{\\left( V^{12} \\cdot \\underline{p}\\right)}_{=\\underline{z}} = G \\cdot \\underline{p} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit $G = V^{01} \\cdot V^{12}$ als Produktmatrix.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiegung die Playlist Produktionsprozesse von Daniel an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Produktionsprozesse mit Matrizen, Lineare Algebra\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHhILclnVC1Hpp947qinCfAf\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHhILclnVC1Hpp947qinCfAf\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FFl38bymZAhM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Produktionsprozesse mit Matrizen, Lineare Algebra<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHhILclnVC1Hpp947qinCfAf\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h2 class=\"anchor\" id=\"beispielaufgabe\">Beispielaufgabe<\/h2>\n<p>Ein Kaffeeautomat kann drei verschiedene Kaffeesorten produzieren. F\u00fcr einen normalen Kaffee ben\u00f6tigt er 4 Einheiten Wasser und 1 Einheit Kaffee. F\u00fcr einen Latte Macchiato ben\u00f6tigt er 1 Einheit Wasser, 2 Einheiten Kaffee und 4 Einheiten Milch. F\u00fcr einen Milchkaffee werden 2 Einheiten Wasser, 1 Einheit Kaffee und 2 Einheiten Milch ben\u00f6tigt.<\/p>\n<p>a) Zeichne den Gozintographen, der die Herstellung dieser Kaffeesorten beschreibt und stelle die dazugeh\u00f6rige Matrix auf.<\/p>\n<p>b) Ein Lehrer zieht f\u00fcr sich und seine 3 Kollegen zwei normale Kaffee, einen Latte Macchiato und einen Milchkaffee. Wie viele Einheiten Wasser, Kaffee und Milch werden ben\u00f6tigt?<\/p>\n<p>c) Damit der Kaffeeautomat im Lehrerzimmer einen ganzen Tag nicht leer wird, m\u00fcssen 40 Kaffee, 20 Latte Macchiato und 30 Milchkaffee gezogen werden k\u00f6nnen. Mit wievielen Einheiten Wasser, Kaffee und Milch muss der Automat jeden morgen bef\u00fcllt werden?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\n<p>a)<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-medium wp-image-5088 alignleft\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/produktionsprozesse2-300x176.png\" alt=\"produktionsprozesse\" width=\"300\" height=\"176\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/produktionsprozesse2-300x176.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/produktionsprozesse2.png 378w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nV=\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 &amp; 1 &amp; 2 \\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 4 &amp; 2<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>b)<br \/>\nDer Automat braucht f\u00fcr die Getr\u00e4nke der Lehrer<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 &amp; 1 &amp; 2 \\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 4 &amp; 2<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n2 \\\\<br \/>\n1 \\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n11 \\\\<br \/>\n5 \\\\<br \/>\n6<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>11 Einheiten Wasser, 5 Einheiten Kaffee und 6 Einheiten Milch.<\/p>\n<p>c)<\/p>\n<p>Der Automat muss jeden morgen mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 &amp; 1 &amp; 2 \\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\<br \/>\n0 &amp; 4 &amp; 2<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}<br \/>\n40 \\\\<br \/>\n20 \\\\<br \/>\n30<br \/>\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}<br \/>\n240 \\\\ 110 \\\\ 140<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>240 Einheiten Wasser, 110 Einheiten Kaffee und 140 Einheiten Milch bef\u00fcllt werden.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel vermitteln wir dir das Basiswissen zum Thema Produktionsprozesse. 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Kein Problem - wir erkl\u00e4ren dir das Thema mit Hilfe von Beispielen, Erkl\u00e4rungen und Lernvideos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/produktionsprozesse\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Produktionsprozesse inkl. Beispiele - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Das Thema Produktionsprozesse bereitet dir Schwierigkeiten? 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