- \n
- M\u00f6gliche Abbildungen<\/a><\/li>\n
- Punkte abbilden<\/a><\/li>\n
- Bildgerade bestimmen<\/a><\/li>\n
- Fixpunkt bestimmen<\/a><\/li>\n
- Fixpunktgerade bestimmen<\/a><\/li>\n
- Fixgeraden bestimmen<\/a><\/li>\n
- Verkettung von Abbildungen<\/a><\/li>\n
- Abbildungsgleichung bestimmen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n
M\u00f6gliche Abbildungen<\/h2>\n
Ein bisher in der Schule eher selten behandeltes Thema sind die Abbildungen der Ebene und des Raumes. Darunter versteht man zum Beispiel Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen, die in der Mittelstufe rein zeichnerisch in der Ebene untersucht werden. Diese Abbildungen kann man nat\u00fcrlich auch rechnerisch darstellen, und zwar nicht nur in der Ebene, sondern auch im Raum. Geeignetes Mittel daf\u00fcr sind Matrizen.<\/p>\n
Wir werden uns hier nur lineare Abbildungen ansehen. Im Folgenden werden wir auf die bekanntesten Abbildungen in der Schulmathematik eingehen:<\/p>\n
1. Spiegelungen<\/h3>\n
an einer Koordinatenachse<\/span><\/p>\n
Wenn man einen Punkt $P(x|y)$ spiegelt, bleibt die $x$-Koordinate wie sie ist, und bei der $y$-Koordinate dreht sich das Vorzeichen um. Bildpunkte bezeichnet man \u00fcblicherweise mit $P‘$, die Koordinaten entsprechend mit $x‘$ und $y‘$.<\/p>\n
![\"Abbildungen](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_spiegelungkoachse-300x240.png\")
<\/p>\nF\u00fcr die Spiegelung an der $x$-Achse gilt somit
\n\\begin{align*}
\nx‘ = x \\quad \\textrm{und} \\quad y‘ = y
\n\\end{align*}<\/p>\nDiese Gleichungen bezeichnet man als Abbildungsgleichungen. Sie stellen die Beziehung zwischen den urspr\u00fcnglichen Koordinaten und den Bildkoordinaten her, genauer: sie geben an, wie man die Koordinaten des Bildpunktes aus den Koordinaten des Urbildpunktes berechnet.<\/p>\n
Die Abbildungsgleichungen sollen nun mit Hilfe einer Matrix dargestellt werden. Dazu schreiben wir zun\u00e4chst etwas ausf\u00fchrlicher:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx‘ = 1\\cdot x + 0 \\cdot y \\quad &\\textrm{und} \\quad y‘ = 0 \\cdot x – 1 \\cdot y \\quad \\textrm{bzw. in Matrixform} \\\\
\n\\begin{pmatrix} x‘ \\\\ y‘ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} \\quad &\\textrm{oder} \\quad \\vec{x‘} = A \\cdot \\vec{x} \\quad \\textrm{mit} \\quad A= \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nDie Schreibweise inklusive des Vektors $x$ hei\u00dft Abbildungsgleichung, die Matrix $A$ Abbildungsmatrix.<\/p>\n
am Ursprung<\/span><\/p>\n
Bei der Punktspiegelung am Ursprung drehen sich die Vorzeichen beider Koordinaten um:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx‘ &= -x = -1 \\cdot x+ 0\\cdot y \\\\
\ny‘ &= -y = 0\\cdot x – 1\\cdot y
\n\\end{align*}<\/p>\n![\"Abbildungen](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_spiegelungursprung-300x245.png\")
<\/p>\nDie Abbildungsmatrix der Punktspiegelung am Ursprung hat damit die Gestalt <\/p>\n
\\begin{align*}
\nA= \\begin{pmatrix} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nan einer beliebigen Ursprungsgeraden<\/span><\/p>\n
Die Spiegelung wird in der Schule immer orthogonal (rechtwinklig) zur Spiegelachse durchgef\u00fchrt. Die Zeichnung l\u00e4sst bereits ahnen, dass man \u00e4hnlich wie bei der Projektion vorgeht: man berechnet zun\u00e4chst den Schnittpunkt mit der Geraden.<\/p>\n
![\"bil_spiegelunggerade\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_spiegelunggerade-300x222.png\")
<\/p>\nDa man jetzt den Weg vom Urbildpunkt $P$ zur Geraden sozusagen zweimal laufen muss, um den Bildpunkt $P‘$ zu erhalten, verdoppelt man einfach den Parameter aus der Geradengleichung.Der Punkt $P(x|y)$ soll an der Geraden bzw. Achse $p: x + 3y = 0$ gespiegelt werden. Zun\u00e4chst stellen wir eine Gerade auf. Da unsere Hilfsgerade (gestrichelte Linie im Bild) senkrecht auf der Achse stehen soll, verwendet man als Richtungsvektor den Normalenvektor $\\vec{n}=(1,3)^T$ und muss somit den Schnittpunkt von<\/p>\n
\\begin{align*}
\np: x + 3y = 0 \\quad \\textrm{und} \\quad g:\\vec{x‘} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix} 1\\\\ 3 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nberechnen.\u00a0<\/p>\n
Die Geradengleichung $g$ schreiben wir um und ersetzen in der Geradengleichung von $p$ die Variable $x$ durch $x+t$ und $y$ durch $y+3t$:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx + t + 3\\cdot (y+3t) &= 0 \\\\
\nx + t + 3y+9t &= 0 \\\\
\n10t &= -x-3y \\\\
\nt &= -0,1x-0,3y
\n\\end{align*}<\/p>\nEs ist jetzt nicht n\u00f6tig, den Schnittpunkt zu berechnen, der ja nur ein Hilfspunkt ist. Stattdessen verdoppelt man den Parameter $t$ und erh\u00e4lt sofort die Koordinaten des Bildpunktes.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\vec{x‘} = \\vec{x} + 2 \\cdot (-0,1x-0,3y) \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0,8 x – 0,6 y \\\\ -0,6 x – 0,8 y \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nund daraus wiederum die Abbildungsmatrix <\/p>\n
\\begin{align*}
\nA= \\begin{pmatrix} 0,8 & -0,6 \\\\ -0,6 & -0,8 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n2. Projektion<\/h3>\n
auf eine Koordinatenachse<\/span><\/p>\n
Eine weitere einfache Abbildung ist die Projektion auf eine Koordinatenachse, in diesem Beispiel auf die $x$-Achse. Die Abbildungsgleichungen lauten:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx‘ &= x = 1 \\cdot x + 0\\cdot y \\\\
\ny‘ &= 0 = 0\\cdot x + 0\\cdot y
\n\\end{align*}<\/p>\n![\"Abbildungen\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_projkoachse-300x210.png\")
<\/p>\nDie Abbildungsmatrix bei Projektion auf die x-Achse lautet also <\/p>\n
\\begin{align*}
\nA= \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nauf eine beliebige Ursprungsgerade<\/span><\/p>\n
Die oben vorgef\u00fchrte Projektion auf die $x$-Achse war senkrecht (orthogonal), aber das ist nicht notwendig. Bei der h\u00e4ufigsten Anwendung in der Schule, dem Schattenwurf, ist das sogar eher die Ausnahme. Dabei wird in eine vorgegebene Richtung auf eine Gerade projiziert. Weil die Strahlen alle parallel verlaufen, nennt man diese Projektion Parallelprojektion.<\/p>\n
![\"Abbildungen](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_projgerade-300x224.png\")
<\/p>\nDie Abbildungsmatrix der Projektion wird in der Schule \u00fcblicherweise nicht allgemein angegeben, sondern immer nur f\u00fcr eine spezielle Projektionsgerade und eine spezielle Projektionsrichtung ermittelt. In unserem Beispiel soll ein Punkt $P(x|y)$ in Richtung des Vektors $(2,1)^T$ auf die Gerade $p:x+3y=0$ projiziert werden. Der Punkt $P(x|y)$ muss dennoch die allgemeinen unbekannten Koordinaten behalten, da man f\u00fcr die Berechnung der Abbildungsmatrix die Abbildungsgleichungen in der Form $x‘ = $Zahl$ \\cdot x + $Zahl$ \\cdot y$ bzw. $y‘ = $Zahl$ \\cdot x + $Zahl$ \\cdot y$ ben\u00f6tigt.<\/p>\n
Der Bildpunkt $P‘$ ist der Schnittpunkt der Projektionsgeraden mit der Geraden durch $P$ in Richtung des vorgegebenen Vektors, also mit<\/p>\n
\\begin{align*}
\ng: \\vec{x‘} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} + t \\cdot \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}. n
\n\\end{align*}<\/p>\nZur Berechnung des Schnittpunktes wird $g$ in die Projektionsgerade $p$ eingesetzt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nx + 2t + 3\\cdot (y+t) &= 0 \\\\
\nx + 2t + 3y+3t &= 0 \\\\
\n5t &= -x-3y \\\\
\nt &= -0,2x-0,6y
\n\\end{align*}<\/p>\nSetzt man $t$ in die Gerade $g$ ein, so erh\u00e4lt man den Schnittpunkt<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} x‘ \\\\ y‘ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} + (-0,2y-0,6y) \\cdot \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} =
\n\\begin{pmatrix} 0,6x-1,2y \\\\ -0,2y+0,4y \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\nund daraus die Abbildungsmatrix $A= \\begin{pmatrix} 0,6 & -0,2 \\\\ -1,2 & 0,4 \\end{pmatrix}$.<\/p>\n
3. Drehung um den Ursprung<\/h3>\n
Drehungen erfolgen in der Mathematik immer gegen den Uhrzeigersinn.<\/p>\n
Die Herleitung der Drehmatrix soll uns hier nicht interessieren. Sie hat die Gestalt:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nA=\\begin{pmatrix} \\cos(\\alpha) & -\\sin(\\alpha) \\\\ \\sin(\\alpha) & \\cos(\\alpha) \\end{pmatrix}
\n\\end{align*}<\/p>\n![\"bil_drehung\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_drehung-300x225.png\")
<\/p>\nEine Drehung um den Ursprung um den Winkel $180^\\circ$ ist in der Ebene gleichbedeutend mit der Punktspiegelung am Ursprung.<\/p>\n\n
Punkte abbilden<\/h2>\n
Wir wollen einen Punkt $P(2|3)$ mit der Zuordnung<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\alpha: \\vec{x‘} = \\begin{pmatrix}
\n2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\end{pmatrix} \\cdot \\vec{x}
\n\\end{align*}<\/p>\nabbilden. Es gilt<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\alpha: \\vec{x‘} = \\begin{pmatrix}
\n2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n2 \\\\ 3
\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n7 \\\\ 11
\n\\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\nWir erhalten somit den Punkt $P'(7|11)$.<\/p>\n
Wir wollen einen Punkt $S(1|4|2)$ mit der Zuordnung<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\alpha: \\vec{x‘} = \\begin{pmatrix}
\n1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot \\vec{x}
\n\\end{align*}<\/p>\nabbilden. Es gilt<\/p>\n
\\begin{align*}
\n\\alpha: \\vec{x‘} = \\begin{pmatrix}
\n1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}
\n1 \\\\ 4 \\\\ 2
\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}
\n3 \\\\ 6 \\\\ 2
\n\\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\nWir erhalten somit den Punkt $S'(3|6 |2)$.<\/p>\n
Schau dir vertiefend dazu Daniels Lernvideo an.<\/strong><\/p>\n
Abbildungsmatrizen, Grundlagen, Matrix, Lineare Algebra, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div>![\"Abbildungsmatrizen,](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fr0CNAI2rHfY%2F0.jpg\")
![\"Bildgerade](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F9FBulSYvlF0%2F0.jpg\")
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- Punkte abbilden<\/a><\/li>\n