{"id":8555,"date":"2018-06-18T16:30:15","date_gmt":"2018-06-18T14:30:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=8555"},"modified":"2023-11-09T15:16:02","modified_gmt":"2023-11-09T14:16:02","slug":"thermische-zustandsgleichung-des-idealen-gases","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/thermodynamik\/thermische-zustandsgleichung-des-idealen-gases\/","title":{"rendered":"Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases"},"content":{"rendered":"\n<p>F\u00fcr das ideale Gasgesetz m\u00fcssen wir uns ein System vorstellen, in dem (vereinfachte) Teilchen eines Stoffes vorhanden sind. Diese Teilchen<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li>sind ausdehnungslose Punkte, die<\/li>\n<li>untereinander und mit den W\u00e4nden des Systems nur durch St\u00f6\u00dfe interagieren\u00a0k\u00f6nnen<\/li>\n<li>und keine anderen (z.B. elektromagnetischen) Wechselwirkungen als diese\u00a0St\u00f6\u00dfe aufweisen<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"study-thermo-fullwidth\" id=\"study-366368238\"><div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n             <span class=\"firstline\">Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt!<\/span>\r\n             <span class=\"secondline\">Unser Buch zum Online-Lernen Portal <\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/amz.png\" alt=\"Jetzt kaufen\" title=\"Jetzt kaufen\" \/><span>Jetzt kaufen<\/span><\/a>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/thermodynamik-einfach-erklaert.png\" alt=\"Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt\" title=\"Jetzt Thermodynamik lernen\" \/>\r\n            <\/div>\r\n        <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n    <div class=\"label red\"><p>19,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/div>\n<p>Die Teilchen liegen bei einer geringen Dichte und einem geringen Druck vor. Wir k\u00f6nnen dann n\u00e4herungsweise von einem idealen Gas sprechen, dessen Verhalten sich durch das ideale Gasgesetz<\/p>\n<p>$$ p\\cdot V = m\\cdot R \\cdot T $$<\/p>\n<p>beschreiben l\u00e4sst. Damit liegt ein Zusammenhang zwischen den Zustandsgr\u00f6\u00dfen Druck, Temperatur und spezifischem Volumen vor. Damit das Volumen in der Gleichung spezifisch wird, teilen wir beide Seiten durch die Masse des betrachteten Systems $m$<\/p>\n<p>$$p \\cdot \\frac{V}{m} = R \\cdot T \\text{ bzw. } p\\cdot v = R \\cdot T$$<\/p>\n<p>Das $R$ in der Gleichung ist die sogenannte universelle Gaskonstante in spezifischer Form. Sie wird allgemein molar definiert<\/p>\n<p>$$ \\text{Universelle Gaskonstante } R_{m}=8,314 \\left[ \\frac{\\text{J}}{\\text{mol K}}\\right]$$<\/p>\n<p>Und muss f\u00fcr das ideale Gasgesetz in die spezifische Gaskonstante umgerechnet werden. Hierf\u00fcr wird die Molmasse verwendet, die wir in Kapitel <em>Zustandsgr\u00f6\u00dfen und Zustands\u00e4nderung<\/em> kennengelernt haben. Die Molmasse gibt an, wie viel etwa $6 \\cdot 10^23$ Teilchen eines Stoffes wiegen<\/p>\n<p>$$R \\left[ \\frac{\\text{J}}{\\text{kg K}}\\right] = \\frac{R_m \\ \\left[ \\frac{\\text{J}}{\\text{mol K}}\\right]}{M \\ \\left[ \\frac{\\text{kg}}{\\text{mol}}\\right]}$$<\/p>\n<h4>Zustands\u00e4nderungen idealer Gase<\/h4>\n<p>Mit dem idealen Gasgesetz k\u00f6nnen wir die Zustands\u00e4nderungen idealer Gase berechnen. Solange wir die Annahmen von oben dabei im Blick behalten und kleine Molek\u00fcle wie Kohlenstoffdioxid oder Sauerstoff betrachten, liefert das ideale Gasgesetz gute N\u00e4herungsl\u00f6sungen.<\/p>\n<p>Wir haben bisher isotherme, -bare und -chore Zustands\u00e4nderungen kennengelernt. Die \u00c4nderung der Zustandsgr\u00f6\u00dfen k\u00f6nnen f\u00fcr eine isotherme Zustands\u00e4nderung von Zustand 1 nach 2 wie folgt berechnet werden. Zun\u00e4chst gilt<\/p>\n<p>$$p\\cdot v = \\underbrace{R \\cdot T}_{\\text{const.}}$$<\/p>\n<p>Die rechte Seite der Gleichung besteht aus einer Temperatur, die bei isothermen Zustands\u00e4nderungen konstant ist und der spezifischen Gaskonstante. Die rechte Seite ist also bei isothermen Zustands\u00e4nderungen unver\u00e4nderlich, das Produkt aus spezifischem Volumen und Druck vor und nach der Zustands\u00e4nderung muss demzufolge ebenfalls gleich bleiben, damit die Gleichung erf\u00fcllt ist.<\/p>\n<p>$$p_1\\cdot v_1 = p_2\\cdot v_2$$<\/p>\n<p>durch Umformen folgt<\/p>\n<p>$$\\frac{p_1}{p_2} =\\frac{v_2}{v_1}$$<\/p>\n<p>Mit Hilfe dieser Gleichung k\u00f6nnen wir ein Beispiel l\u00f6sen.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Beispiel 1<\/strong><\/p>\n<p>Wasserstoffmolek\u00fcle als ideales Gas der Molmasse $M_{H_2}= 2,02 \\frac{\\text{g}}{\\text{mol}}$ werden isotherm ausgehend vom Umgebungsdruck verdichtet. 1 $\\text{kg} \\ H_2$ befindet sich in einem Kolben des Volumens $V = 10 \\ \\text{l}$, dessen Volumen durch eine Verdichtung halbiert wird. Welchen Wert hat die spezifische Gaskonstante und wie gro\u00df ist der Druck nach der Verdichtung?<\/p>\n<p>Wir berechnen die spezifische Gaskonstante von $H_2$:<\/p>\n<p>$$ R_{H_2}= \\frac{R_m}{M} = \\frac{8{,}314 \\frac{\\text{J}}{\\text{molK}}}{2{,}02 \\cdot 10^{-3} \\frac{\\text{kg}}{\\text{mol}}} \\approx 4115{,}84 \\frac{\\text{J}}{\\text{kgK}}$$<\/p>\n<p>und den Druck nach der isothermen Verdichtung:<\/p>\n<p>$$\u00a0p_2 = \\frac{v_1}{v_2} \\cdot p_1 = 2 \\cdot 1\\ \\text{bar} = 2 \\ \\text{bar} = 200000 \\ \\text{Pa}$$<\/p>\n<\/div>\n<p>Die Zusammenh\u00e4nge der sich \u00e4ndernden Zustands\u00e4nderungen lassen sich f\u00fcr isochore und isobare Zustands\u00e4nderungen herleiten, wie wir es f\u00fcr die isotherme Zustands\u00e4nderung gezeigt haben.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li><strong>Isochore Zustands\u00e4nderung<\/strong>: $\\frac{T_1}{T_2} = \\frac{p_1}{p_2}$<\/li>\n<li><strong>Isobare Zustands\u00e4nderung<\/strong>: $\\frac{T_1}{T_2} = \\frac{v_1}{v_2}$<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>Au\u00dferdem findet sich eine Zusammenfassung mit Beispielen im Video.<\/p>\n<p><strong>Isotherme Zustands\u00e4nderung:<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Isotherme Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_BiiQ9RiW680\"><div id=\"lyte_BiiQ9RiW680\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FBiiQ9RiW680%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Isotherme Zustands\u00e4nderung - Thermodynamik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/BiiQ9RiW680\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FBiiQ9RiW680%2F0.jpg\" alt=\"Isotherme Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Isochore Zustands\u00e4nderung: <\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Isochore Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_w5d6kAgeDMo\"><div id=\"lyte_w5d6kAgeDMo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fw5d6kAgeDMo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Isochore Zustands\u00e4nderung - Thermodynamik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/w5d6kAgeDMo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fw5d6kAgeDMo%2F0.jpg\" alt=\"Isochore Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<strong>Isobare Zustands\u00e4nderung: <\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Isobare Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_o3yRJhUoJ74\"><div id=\"lyte_o3yRJhUoJ74\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fo3yRJhUoJ74%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Isobare Zustands\u00e4nderung - Thermodynamik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/o3yRJhUoJ74\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fo3yRJhUoJ74%2F0.jpg\" alt=\"Isobare Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<h4>Polytrope Zustands\u00e4nderung<\/h4>\n<p>Bisher haben wir mit dem idealen Gasgesetz Zustands\u00e4nderungen bei konstantem Druck, Volumen oder konstanter Temperatur berechnet. Wie lassen sich jedoch Zustands\u00e4nderungen berechnen, bei denen sich alle drei Zustandsgr\u00f6\u00dfen \u00e4ndern?<\/p>\n<p>Wir definieren polytrope (von gr. &#8222;polus&#8220; mehrere) Zustands\u00e4nderungen mit einem sogenannten Polytropenexponenten $n$:<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Polytrope Zustands\u00e4nderung<\/strong>: $p \\cdot v^n = \\text{const.}$<\/p>\n<\/div>\n<p>Der Polytropenexponent wird f\u00fcr ideale Gase als Materialkonstante angegeben. F\u00fcr polytrope Zustands\u00e4nderungen k\u00f6nnen wir die Verh\u00e4ltnisse von Druck und Temperatur bzw. Volumen wie folgt berechnen<\/p>\n<p>$$\\frac{p_2}{p_1}= \\left( \\frac{v_1}{v_2} \\right)^2 = \\left( \\frac{T_1}{T_2} \\right)^{\\frac{n}{1-n}}$$<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Reversibel adiabate Zustands\u00e4nderung<\/h4>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Bevor wir den Abschnitt zum idealen Gasgesetz mit einem gro\u00dfen Beispiel abschlie\u00dfen, m\u00fcssen wir eine f\u00fcnfte Art der Zustands\u00e4nderung einf\u00fchren.<\/p>\n<p>Stellen wir uns vor, wie Luft in einer Pumpe verdichtet wird. Es ist nicht schwer zu glauben, dass dabei in einer realen Pumpe Energie etwa durch Reibung &#8222;verloren&#8220; geht (im n\u00e4chsten Kapitel werden wir sehen, dass Energie nicht verschwinden kann). Reibung wird in Form von W\u00e4rme an die Umgebung abgegeben. Bei sogenannten reversibel adiabaten Zustands\u00e4nderungen geschieht dies nicht, sie sind idealtypisch. Es gilt:<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li><strong>reversibel<\/strong>: durch eine Umkehrung des Prozesses l\u00e4sst sich der Ausgangszustand (verlustfrei) wiederherstellen<\/li>\n<li><strong>adiabat<\/strong>: es wird keine W\u00e4rme w\u00e4hrend der Zustands\u00e4nderung (etwa in Form von Reibungsw\u00e4rme) abgegeben.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>Reversibel adiabate Zustands\u00e4nderungen sind technisch perfekt, sie existieren aber leider nicht. Trotzdem sind sie n\u00fctzlich, um anhand des optimalen Prozesses die Wirkung realer Maschinen zu bewerten. Zur Berechnung reversibel adiabater Zustands\u00e4nderungen behelfen wir uns wie bei den polytropen Zustands\u00e4nderungen einer Materialkonstante, dem Isentropenexponenten $\\kappa$ (sprich Kappa).<\/p>\n<p>Es gilt f\u00fcr reversibel adiabate Zustands\u00e4nderungen<\/p>\n<p>$$p \\cdot v^{\\kappa} = \\text{const.}$$<\/p>\n<p>und damit analog zu den polytropen Zustands\u00e4nderungen<\/p>\n<p>$$\\frac{p_2}{p_1}= \\left( \\frac{v_1}{v_2} \\right)^{\\kappa} = \\left( \\frac{T_1}{T_2} \\right)^{\\frac{\\kappa}{1-\\kappa}}$$<\/p>\n<p>\u00dcbrigens: reversibel adiabate Zustands\u00e4nderungen sind gleichzeitig sogenannte isentrope Zustands\u00e4nderungen. Das Wort isentrop setzt sich zusammen aus Entropie und der Silbe &#8222;iso&#8220; (griechisch f\u00fcr gleich). Die Entropie ist eine Zustandsgr\u00f6\u00dfe.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Isentrope Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_D4EYmrzGTEU\"><div id=\"lyte_D4EYmrzGTEU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FD4EYmrzGTEU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Isentrope Zustands\u00e4nderung - Thermodynamik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/D4EYmrzGTEU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FD4EYmrzGTEU%2F0.jpg\" alt=\"Isentrope Zustands&auml;nderung - Thermodynamik\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Realgasfaktor<\/h4>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Zu Beginn des Abschnitts haben wir Annahmen getroffen, bei deren Erf\u00fcllung n\u00e4herungsweise das ideale Gasgesetz gilt. Abschlie\u00dfend definieren wir den Realgasfaktor, um pr\u00fcfen zu k\u00f6nnen, wie gut das ideale Gasgesetz Zustands\u00e4nderungen beschreiben kann.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p style=\"text-align: center;\"><strong>Realgasfaktor<\/strong>:\u00a0$z = \\frac{p \\cdot v}{R \\cdot T}$<\/p>\n<\/div>\n<p>F\u00fcr einen beliebigen Stoff und Zustand werden die drei Zustandsgr\u00f6\u00dfen und die spezifische Gaskonstante ermittelt und $z$ berechnet. Liegt $z$ nahe bei 1, verh\u00e4lt sich der Stoff wie ein ideales Gas.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-8556 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/Zustandsgleichung-idealer-Gase-300x206.png\" alt=\"\" width=\"601\" height=\"413\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/Zustandsgleichung-idealer-Gase-300x206.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/Zustandsgleichung-idealer-Gase.png 633w\" sizes=\"(max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/p>\n<p>Es kann gezeigt werden, dass f\u00fcr einfache Molek\u00fcle bei niedrigen Dichten und Dr\u00fccken $z$ tats\u00e4chlich nahe bei 1 bleibt.<\/p>\n<div class=\"study-thermo-fullwidth\" id=\"study-312069096\"><div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n             <span class=\"firstline\">Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt!<\/span>\r\n             <span class=\"secondline\">Unser Buch zum Online-Lernen Portal <\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/amz.png\" alt=\"Jetzt kaufen\" title=\"Jetzt kaufen\" \/><span>Jetzt kaufen<\/span><\/a>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/thermodynamik-einfach-erklaert.png\" alt=\"Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt\" title=\"Jetzt Thermodynamik lernen\" \/>\r\n            <\/div>\r\n        <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n    <div class=\"label red\"><p>19,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>F\u00fcr das ideale Gasgesetz m\u00fcssen wir uns ein System vorstellen, in dem (vereinfachte) Teilchen eines Stoffes vorhanden sind. 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