<\/div>
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Die Exergie einer W\u00e4rmemenge k\u00f6nnen wir berechnen. Dabei stellt sich die Frage, wie viel Exergie eigentlich in Arbeit steckt. Die Antwort darauf ist sehr einfach, weil Arbeit aus reiner Exergie besteht. Arbeit kann unabh\u00e4ngig von der Umgebungstemperatur aber abgesehen von unvermeidbaren Dissipationsverlusten in andere Energieformen umgesetzt werden.<\/p>\n
Wir wissen nun, dass f\u00fcr technische Prozesse, die W\u00e4rme nutzen, der Exergieanteil entscheidend ist. Bevor wir uns im n\u00e4chsten Kapitel Kreislaufprozessen widmen, in denen W\u00e4rme genutzt wird, um daraus Arbeit zu gewinnen, schauen wir uns W\u00e4rme\u00fcbertragung an. Das Wissen \u00fcber den nutzbaren Anteil von W\u00e4rme wird erst dann interessant, wenn wir wissen, wie die W\u00e4rme \u00fcberhaupt von $A$ nach $B$ kommt.<\/p>\n
Die W\u00e4rme\u00fcbertragung hat sich aus der Thermodynamik entwickelt, ist jedoch mittlerweile eine selbstst\u00e4ndige ingenieurwissenschaftliche Disziplin und wird hier nur kurz vorgestellt.<\/p>\n
Konvektion, W\u00e4rmeleitung und Strahlung<\/h2>\n
In diesem Abschnitt stellen wir die drei Mechanismen vor, \u00fcber die W\u00e4rme \u00fcbertragen werden kann. Wer sich f\u00fcr seine Klausur nicht mit W\u00e4rme\u00fcbertragung besch\u00e4ftigen muss, kann dieses Kapitel guten Gewissens \u00fcberspringen. Vertiefende Literatur zur W\u00e4rme\u00fcbertragung findet sich im Anhang.<\/p>\n
Den Raum heizen: Konvektion und W\u00e4rmeleitung<\/h4>\n
Wer die Pflanzen auf dem Fensterbrett \u00fcber einem Heizk\u00f6rper beobachtet, dem f\u00e4llt vielleicht auf, dass sich einige Bl\u00e4tter leicht bewegen. Die erw\u00e4rmte Luft \u00fcber dem Heizk\u00f6rper reduziert ihre Dichte (das kennen wir vom idealen Gasgesetz) und wird somit leichter als die Umgebungsluft. In der Konsequenz steigt sie auf und bewegt etwa Bl\u00e4tter einer Pflanze auf der Fensterbank. Beim Aufsteigen k\u00fchlt sie durch W\u00e4rmeaustausch mit der Umgebungsluft (vor allem am kalten Fenster) ab und sinkt dadurch wieder. Es entsteht eine Luftwalze, die permanent erw\u00e4rmte Luft durch den Raum bewegt.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/Luftwalze-1024x596.png\")
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Die \u00dcbertragung von W\u00e4rme durch die Bewegung von Fluiden wird als Konvektion bezeichnet. Die oben beschriebene Konvektion wird als frei bezeichnet, weil sie selbstst\u00e4ndig abl\u00e4uft. Bewege ich hei\u00dfe Luft durch ein Gebl\u00e4se (wie beim Haare f\u00f6hnen), wird von erzwungener Konvektion gesprochen.<\/p>\n
Schauen wir uns die Grenzfl\u00e4che zwischen Luft und Heizk\u00f6rper an. Der W\u00e4rmestrom, der den Heizk\u00f6rper an seiner Grenzfl\u00e4che verl\u00e4sst, muss gleich dem W\u00e4rmestrom sein, den die Luftbewegung an der Grenzfl\u00e4che (hier definiert als $x=0$) abtransportiert<\/p>\n
$$\\dot{Q}_{Festk\u00f6rper} (x=0) = \\dot{Q}_{Fluid} (x=0)$$<\/p>\n
Der W\u00e4rmestrom durch einen Festk\u00f6rper an einer beliebigen Stelle ist gleich dem Produkt aus seiner W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit $\\lambda$, seiner Querschnittsfl\u00e4che $A$ und dem Temperaturgradienten $\\frac{\\delta T}{\\delta x}$ an der betrachteten Stelle.<\/p>\n
$$\\dot{Q}_{Festk\u00f6rper} = \\lambda \\cdot A \\cdot \\frac{\\delta T}{\\delta x}$$<\/p>\n
Die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit beschreibt, welcher W\u00e4rmestrom pro Temperaturdifferenz \u00fcber eine L\u00e4nge \u00fcbertragen wird und hat die Dimension $\\left[ \\frac{\\text{W}}{\\text{Km}}\\right]$. Der Temperaturgradient ist die Ableitung der Temperatur nach dem Weg und beschreibt somit die \u00c4nderung der Temperatur \u00fcber der L\u00e4nge eines K\u00f6rpers. Ist ein K\u00f6rper \u00fcberall gleich warm, ist der Temperaturgradient also null. Anders herum kann auch nur dann W\u00e4rme durch einen K\u00f6rper flie\u00dfen, wenn es einen Temperaturunterschied gibt. Das passt zu unserem Verst\u00e4ndnis des zweiten Hauptsatzes. Der Kehrwert der W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit ist \u00fcbrigens der W\u00e4rmewiderstand eines K\u00f6rpers.<\/p>\n
Den Transport von W\u00e4rme durch einen Festk\u00f6rper wird als W\u00e4rmeleitung beschreiben. Integrieren wir die Differentialgleichung f\u00fcr die W\u00e4rmeleitung \u00fcber eine L\u00e4nge $L$, erhalten wir die Gleichung zur Berechnung der W\u00e4rmeleitung unter Annahme eines linearen Temperaturgradienten:<\/p>\n
$$\\dot{Q}_{Festk\u00f6rper} = \\lambda \\cdot A \\cdot \\frac{\\delta T}{\\delta L}$$<\/p>\n
Kehren wir zur\u00fcck zum W\u00e4rmetransport an der Grenzfl\u00e4che von Festk\u00f6rper und Fluid. Der W\u00e4rmestrom wird aus dem warmen Festk\u00f6rper an das Fluid \u00fcbertragen und berechnet sich im Fluid mit Hilfe des W\u00e4rme\u00fcbergangskoeffizienten $\\alpha \\left[ \\frac{\\text{W}}{\\text{Km}^2}\\right]$.<\/p>\n
$$\\dot{Q}_{Festk\u00f6rper} = A \\cdot \\alpha \\cdot \\delta T$$<\/p>\n
Der W\u00e4rme\u00fcbergangskoeffizient beschreibt, welche W\u00e4rmemenge pro Temperaturdifferenz (die Triebfeder jeder freien W\u00e4rme\u00fcbertragung) \u00fcber eine Fl\u00e4che $A$ flie\u00dfen kann. Setzen wir nun die beiden Gleichungen der W\u00e4rmestr\u00f6me an der Grenzfl\u00e4che gleich folgt:<\/p>\n
$$\\lambda \\cdot A \\cdot \\frac{\\Delta T_1}{\\Delta L} = A \\cdot \\alpha \\cdot \\delta T_2$$<\/p>\n
K\u00fcrzen wir den Querschnitt und setzen $T$ als Temperatur der Grenzfl\u00e4che und $T_h$ als Temperatur der Heizung, k\u00f6nnen wir n\u00e4herungsweise berechnen, wie warm die Luft am Heizk\u00f6rper wird:<\/p>\n
$$T_{Luft} = \\frac{\\lambda \\cdot (T-T_h)}{\\Delta L \\cdot \\alpha} + T_h$$<\/p>\n
Der Sonnenbrand: W\u00e4rmestrahlung<\/h4>\n
Wer sich im Sommerurlaub am Strand die Haut verbrennt, kommt dabei nicht mit Stoffstr\u00f6men in Ber\u00fchrung, die den weiten Weg von der Sonne hinter sich haben und hat die Sonne auch nicht ber\u00fchrt. W\u00e4rme kann (auch \u00fcber sehr weite Distanzen) als Strahlung \u00fcbertragen werden.<\/p>\n
Wir vertiefen die physikalischen Grundlagen (welche Strahlungsformen es gibt und wie sie aussehen) an dieser Stelle nicht weiter, sondern stellen uns W\u00e4rmestrahlen vor, die sich von einem strahlenden K\u00f6rper aus durch die Luft bewegen und dabei W\u00e4rme \u00fcbertragen. Wenn Sie dies tun, l\u00e4sst sich der durch sie \u00fcbertragene W\u00e4rmestrom ann\u00e4hern durch<\/p>\n
$$\\dot{Q} = A \\cdot \\sigma \\cdot T^4$$<\/p>\n
Die Gleichung wird als Stefan Boltzmann Gesetz bezeichnet, darin ist $T$ die Temperatur des strahlenden K\u00f6rpers, $A$ der Querschnitt, durch den die Strahlung emittiert (ausgestrahlt) wird und $\\sigma$ eine Naturkonstante (wie das Gesetz zur W\u00e4rmestrahlung benannt nach ihren Entdeckern). Bemerkenswert ist, dass die W\u00e4rmemenge, die ein K\u00f6rper emittiert, um den Faktor 16 ($2^4$) steigt, wenn sich die Temperatur verdoppelt.<\/p>\n
Nach diesem kleinen Exkurs kennen wir nun die grundlegenden Mechanismen der W\u00e4rme\u00fcbertragung. Vertiefende Literatur f\u00fcr all diejenigen, die sich intensiver mit diesem Themengebiet besch\u00e4ftigen m\u00f6chten, findet sich im Anhang.<\/p>\n
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