{"id":8672,"date":"2018-06-20T09:44:46","date_gmt":"2018-06-20T07:44:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=8672"},"modified":"2018-06-26T10:16:12","modified_gmt":"2018-06-26T08:16:12","slug":"die-kalorische-zustandsgleichung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/thermodynamik\/die-kalorische-zustandsgleichung\/","title":{"rendered":"Die Kalorische Zustandsgleichung"},"content":{"rendered":"\n<p>Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases liefert uns Informationen \u00fcber die Zustandsgr\u00f6\u00dfen Druck, spezifisches Volumen und Temperatur. Wir kennen aus dem ersten Kapitel bereits die innere Energie (Formelzeichen $u$), die wir noch nicht berechnen k\u00f6nnen. Das ideale Gasgesetz wird deshalb um die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases erg\u00e4nzt.<\/p>\n<p><strong>Inhaltsangabe<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#die-freiheitsgrade\">Grundlagen &#8211; Die Freiheitsgrade<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#w\u00e4rmekapazit\u00e4ten\">Grundlagen &#8211; W\u00e4rmekapazit\u00e4ten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#zusammenhang-der-stroffdaten-idealer-gase\">Grundlagen &#8211; Zusammenhang der Stoffdaten idealer Gase<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#w\u00e4rmekapazit\u00e4ten\">Grundlagen &#8211; W\u00e4rmekapazit\u00e4ten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#kalorische-zustandsgleichung\">Kalorische Zustandsgleichung<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"study-thermo-fullwidth\" id=\"study-2463684167\"><div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n             <span class=\"firstline\">Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt!<\/span>\r\n             <span class=\"secondline\">Unser Buch zum Online-Lernen Portal <\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/amz.png\" alt=\"Jetzt kaufen\" title=\"Jetzt kaufen\" \/><span>Jetzt kaufen<\/span><\/a>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/thermodynamik-einfach-erklaert.png\" alt=\"Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt\" title=\"Jetzt Thermodynamik lernen\" \/>\r\n            <\/div>\r\n        <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n    <div class=\"label red\"><p>19,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/div>\n<p>Atome und Molek\u00fcle k\u00f6nnen Energie speichern, die wir als W\u00e4rme eines Stoffes wahrnehmen. Diese W\u00e4rmeenergie ist abh\u00e4ngig von der Temperatur eines Stoffes, wobei unterschiedliche Stoffe bei gleicher Temperatur unterschiedlich viel W\u00e4rme speichern k\u00f6nnen. Der Grund hierf\u00fcr ist die molekulare Struktur eines Stoffes. Wir brauchen also ein Modell, dass die W\u00e4rme eines Stoffes in Abh\u00e4ngigkeit seiner Temperatur und molekularen Struktur beschreibt. Wir stellen uns vor, dass ein Molek\u00fcl Energie in Form von Translation, Rotation und Schwingung speichern kann. Wie viel Energie gespeichert werden kann, h\u00e4ngt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab, die das Molek\u00fcl (oder Atom) aufweist.<\/p>\n<h2 id=\"die-freiheitsgrade\" class=\"anchor\">Grundlagen Kalorische Zustandsgleichung &#8211; Die Freiheitsgrade<\/h2>\n<p>Ein einatomiges Gas besitzt drei translatorische Freiheitsgrade in alle Raumrichtungen. Rotatorische Freiheitsgrade werden ber\u00fccksichtigt, wenn sich das &#8222;Aussehen&#8220; des Atoms oder Molek\u00fcls durch die Rotation \u00e4ndert. In unserer Vorstellung der Atome als Punktmassen ist dies f\u00fcr ein einatomiges Molek\u00fcl nicht der Fall. Es besitzt als keine rotatorischen Freiheitsgrade. Schwingungsfreiheitsgrade entstehen durch die Schwingung der Atome eines Molek\u00fcls untereinander. F\u00fcr einatomige Molek\u00fcle liegen keine Schwingungsfreiheitsgrade vor.<\/p>\n<p>Zweiatomige oder mehratomige Linearmolek\u00fcle wie Kohlenstoffdioxid besitzen mehr Freiheitsgrade. Sie k\u00f6nnen sich um zwei Achsen so drehen, dass sich ihr &#8222;Aussehen&#8220; \u00e4ndert und die einzelnen Atome k\u00f6nnen zueinander schwingen.<\/p>\n<p>Bei der Schwingung des Atoms eines Molek\u00fcls gegen die anderen Atome liegen potentielle und kinetische Energie vor. Ein Schwingungsmodus wird dabei als die F\u00e4higkeit eines Atoms bezeichnet, gegen ein anderes Atom zu schwingen. Pro Schwingungsmodus liegen aufgrund der potentiellen und kinetischen Energie der Atome zwei Schwingungsfreiheitsgrade vor. Dieser Ansatz wird als Gleichverteilungssatz bezeichnet. Wir legen fest:<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li>ein <strong>zweiatomiges Gas<\/strong> besitzt einen Schwingungsmodus, also zwei Schwingungsfreiheitsgrade<\/li>\n<li>ein <strong>dreiatomiges lineares Gas<\/strong> besitzt vier Schwingungsmodi (jedes Atom mit jedem anderen und das mittlere gegen die beiden \u00e4u\u00dferen), also acht Schwingungsfreiheitsgrade<\/li>\n<li>ein <strong>dreiatomiges nichtlineares Gas<\/strong> besitzt drei Schwingungsmodi (jedes Atom mit jedem anderen)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>F\u00fcr komplexere Molek\u00fcle verliert der Gleichverteilungssatz seine Aussagekraft, da er dort nur f\u00fcr sehr hohe Temperaturen gilt. Der hier vorgestellte Ansatz gibt die maximal m\u00f6glichen Schwingungsfreiheitsgrade an. Tats\u00e4chlich sind nicht immer alle Schwingungsmodi angeregt, weshalb in Klausuraufgaben oft explizit vorgegeben wird, mit wie vielen Schwingungsmodi oder -freiheitsgraden zu rechnen ist.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8676\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/RotationundSchwingung-1-300x181.png\" alt=\"Freiheitsgrade\" width=\"520\" height=\"314\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/RotationundSchwingung-1-300x181.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/RotationundSchwingung-1-768x463.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/RotationundSchwingung-1-1024x618.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/RotationundSchwingung-1.png 1092w\" sizes=\"(max-width: 520px) 100vw, 520px\" \/><\/p>\n<h2 id=\"w\u00e4rmekapazit\u00e4ten\" class=\"anchor\">Grundlagen Kalorische Zustandsgleichung &#8211; W\u00e4rmekapazit\u00e4ten<\/h2>\n<p>Wie k\u00f6nnen wir die Vorstellung der Speicherung von Energie auf molekularer Ebene nutzen? Wir k\u00f6nnen beobachten, dass unterschiedliche Stoffe bei gleicher Temperatur unterschiedliche Mengen an W\u00e4rme speichern und wissen nun, dass dies in ihrer Molek\u00fclstruktur begr\u00fcndet liegt. Wir brauchen also eine stoffspezifische Gr\u00f6\u00dfe, die beschreibt, wie viel W\u00e4rme pro Masse und Erw\u00e4rmung um ein Kelvin in einem Stoff gespeichert werden kann. Diese Gr\u00f6\u00dfe ist die sogenannte W\u00e4rmekapazit\u00e4t.<\/p>\n<p>Stoffe k\u00f6nnen bei Temperaturerh\u00f6hungen infolge isochorer und isobarer Zustands\u00e4nderungen (isotherm w\u00fcrde keinen Sinn ergeben) unterschiedliche Mengen an W\u00e4rme speichern. Wir definieren deshalb eine isochore und isobare W\u00e4rmekapazit\u00e4t idealer Gase. Die isochore W\u00e4rmekapazit\u00e4t $c_v$ kann anhand der oben besprochenen Freiheitsgrade des Molek\u00fcls und der spezifischen Gaskonstante berechnet werden.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Beispiel 3<\/strong><\/p>\n<p>$CO_2$ ist ein lineares dreiatomiges Molek\u00fcl. Es besitzt folglich drei translatorische und zwei rotatorische Freiheitsgrade. Es liegen vier Schwingungsmodi vor, von denen zwei angeregt sind. Wir rechnen also mit vier Schwingungsfreiheitsgraden. Die spezifische Gaskonstante berechnet sich mit<\/p>\n<p>$$R_{CO_2} = \\frac{R_m}{M_{CO_2}} = \\frac{8314 \\frac{\\text{J}}{\\text{molK}}}{43{,}99 \\cdot \\frac{10^{-3} \\text{kg}}{\\text{mol}}} = 188{,}99 \\frac{\\text{J}}{\\text{kgK}}$$<\/p>\n<p>und damit folgt f\u00fcr die isochore W\u00e4rmekapazit\u00e4t von Kohlenstoffdioxid<\/p>\n<p>$$c_{v,CO_2} = \\frac{R_m}{M_{CO_2}} = \\frac{8314 \\frac{\\text{J}}{\\text{molK}}}{43{,}99 \\cdot \\frac{10^{-3} \\text{kg}}{\\text{mol}}} = 188{,}99 \\frac{\\text{J}}{\\text{kgK}}$$<\/p>\n<p>Dieser Wert gilt \u00fcbrigens f\u00fcr $CO_2$ bei etwa $270\u00b0\\text{C}$ und Umgebungsdruck.<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"zusammenhang-der-stroffdaten-idealer-gase\" class=\"anchor\">Grundlagen Kalorische Zustandsgleichung &#8211; Zusammenhang der Stoffdaten idealer Gase<\/h2>\n<p>Wir k\u00f6nnen f\u00fcr ein ideales Gas die isochore W\u00e4rmekapazit\u00e4t berechnen. F\u00fcr die isobare W\u00e4rmekapazit\u00e4t gilt<\/p>\n<p>$$c_p = c_v + R$$<\/p>\n<p>Die W\u00e4rmemenge bei einer isobaren Zustands\u00e4nderung muss gr\u00f6\u00dfer sein als bei einer isochoren Zustands\u00e4nderung des gleichen Temperaturintervalls. Die isobare W\u00e4rmekapazit\u00e4t ist betragsm\u00e4\u00dfig gr\u00f6\u00dfer, es kann also pro kg bei einer Temperaturerh\u00f6hung um ein Kelvin mehr W\u00e4rme gespeichert werden.<\/p>\n<p>Der Isentropenexponent $\\kappa$ zur Berechnung reversibel adiabater Zustands\u00e4nderungen wird durch den Quotienten der W\u00e4rmekapazit\u00e4ten berechnet<\/p>\n<p>$$\\kappa = \\frac{c_p}{c_v}$$<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_X0XyA3d1iHo\"><div id=\"lyte_X0XyA3d1iHo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX0XyA3d1iHo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/X0XyA3d1iHo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX0XyA3d1iHo%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"kalorische-zustandsgleichung\" class=\"anchor\">Kalorische Zustandsgleichung<\/h2>\n<p>Das Ziel dieses Abschnitts ist eine Gleichung, mit der wir die innere Energie eines Stoffes als Funktion seiner Molek\u00fclstruktur und seiner Temperatur berechnen k\u00f6nnen. Diese Gleichung definieren wir als die kalorische Zustandsgleichung idealer Gase<\/p>\n<p>$$u_2 = u_1 + c_v \\cdot (T_2 &#8211; T_1)$$<\/p>\n<p>Leider ist diese Gleichung ungenau. Wir haben oben gesehen, dass die W\u00e4rmekapazit\u00e4t keine konstante Stoffgr\u00f6\u00dfe ist, sondern sich anhand der angeregten Schwingungsmodi mit der Temperatur ver\u00e4ndert. Die W\u00e4rmekapazit\u00e4t ist also eine Funktion der Temperatur, wodurch sich der Ansatz oben komplexer darstellen l\u00e4sst. F\u00fcr Klausuraufgaben wird in der Regel ein Wert vorgegeben oder muss anhand der Gleichungen oben berechnet werden. Der dadurch gemachte Fehler bei der Berechnung der inneren Energie wird toleriert.<\/p>\n<p>Die kalorische Zustandsgleichung unter Verwendung einer konstanten W\u00e4rmekapazit\u00e4t erm\u00f6glicht uns, W\u00e4rme Zu- und Abfuhren zu berechnen.<\/p>\n<h3>Ausblick: welche Zustandsgleichungen hier NICHT beschrieben werden<\/h3>\n<p>Die Besch\u00e4ftigung mit der thermischen und kalorischen Zustandsgleichung idealer Gase zeigt, dass diesen Modellen Grenzen gesetzt sind. Komplexe Molek\u00fcle, Stoffverhalten bei hohen Dr\u00fccken und Dichten und nicht-gasf\u00f6rmige Stoffe k\u00f6nnen nicht beschrieben werden. An dieser Stelle werden einige Modellans\u00e4tze genannt, die bei Interesse in der Fachliteratur vertieft werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Das ideale Gasgesetz geht von ausdehnungslosen Massepunkten als Teilchen aus. Die Ber\u00fccksichtigung des Volumens von Teilchen findet sich etwa in kubischen Zustandsgleichungen (van der Waals, 1873 oder Redlich-Kwong, 1949).<\/p>\n<p>Das Verhalten realer Fluide unterliegt Phasen\u00e4nderungen. Die Gleichung nach Clausius-Clapeyron kann genutzt werden, um den \u00dcbergang zwischen den Phasen eines Stoffes zu berechnen.<\/p>\n<p>Die Virialform der Zustandsgleichung erweitert das ideale Gasgesetz, aufgel\u00f6st nach dem Realgasfaktor, um einen polynomialen Ansatz. Diese Erweiterung soll den Realgasfaktor jenseits der G\u00fcltigkeit des idealen Gasgesetzes modellieren, um Zustands\u00e4nderungen berechnen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Moderne Ans\u00e4tze versuchen, das Verhalten realer Fluide in allen Phasen ganzheitlich korrekt zu beschreiben. Der Rechenaufwand zur numerischen L\u00f6sung der entsprechenden sogenannten Fundamentalgleichungen ist je nach Stoff hoch, sodass die Stoffmodellierung bis heute Aufgabe der thermodynamischen Forschung ist.<\/p>\n<div class=\"study-thermo-fullwidth\" id=\"study-1504716046\"><div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n             <span class=\"firstline\">Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt!<\/span>\r\n             <span class=\"secondline\">Unser Buch zum Online-Lernen Portal <\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/amz.png\" alt=\"Jetzt kaufen\" title=\"Jetzt kaufen\" \/><span>Jetzt kaufen<\/span><\/a>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/thermodynamik-einfach-erklaert.png\" alt=\"Thermodynamik einfach erkl\u00e4rt\" title=\"Jetzt Thermodynamik lernen\" \/>\r\n            <\/div>\r\n        <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n    <div class=\"label red\"><p>19,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases liefert uns Informationen \u00fcber die Zustandsgr\u00f6\u00dfen Druck, spezifisches Volumen und Temperatur. 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