{"id":912,"date":"2016-02-10T09:17:37","date_gmt":"2016-02-10T08:17:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=912"},"modified":"2023-10-30T07:37:53","modified_gmt":"2023-10-30T06:37:53","slug":"bruchrechnung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/","title":{"rendered":"Bruchrechnung"},"content":{"rendered":"\n<p>Das Thema Bruchrechnung begleitet uns unser ganzes Leben. Umso wichtiger ist es, dass die Grundlagen der Bruchrechnung schnell und einfach verstanden werden. Hierf\u00fcr haben wir euch alle wichtigen Themen rund um die Bruchrechnung zusammengefasst.<\/p>\n<p><strong>Was dich auf dieser Seite erwartet:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#bruchrechnung-grundlagen\">Bruchrechnung Grundlagen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bruchrechnung-beispiel\">Bruchrechnung einfaches Beispiel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bruchrechnung-regeln\">Bruchrechnung Regeln<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-erweitern\">Br\u00fcche erweitern<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-erweitern\">Br\u00fcche erweitern<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-k\u00fcrzen\">Br\u00fcche k\u00fcrzen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-addieren\">Br\u00fcche addieren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-subtrahieren\">Br\u00fcche subtrahieren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-multiplizieren\">Multiplikation von Br\u00fcchen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#br\u00fcche-dividieren\">Br\u00fcche dividieren<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#unechter-bruch\">Unechter Bruch<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgabe-bruchrechnung\">Beispielaufgabe Bruchrechnung<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"bruchrechnung-grundlagen\" class=\"anchor\">Bruchrechnung Grundlagen<\/h2>\n<p>Br\u00fcche und Dezimalzahlen sind Schreibweisen, um Zahlen zu beschreiben, die Einstieg zwischen den nat\u00fcrlichen Zahlen (also 1, 2, 3, 4, 5 . . . ) liegen. Auf diese Weise k\u00f6nnen wir z.B. eine H\u00e4lfte oder ein Viertel ausdr\u00fccken. Der Z\u00e4hler (oben) gibt an, wie viele Teile davon genommen werden. Beispiel:\u00a0$\\frac{4\\ }{5\\ }\\ \\frac{(Z\u00e4hler)}{(Nenner)}$<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1024 size-large\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung-1024x380.png\" alt=\"Br\u00fcche rechnen\" width=\"1024\" height=\"380\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung-1024x380.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung-300x111.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung-768x285.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<h3 id=\"bruchrechnung-beispiel\" class=\"anchor\">Bruchrechnung einfaches Beispiel<\/h3>\n<p>Stellen wir uns vor, dass wir eine Tafel Schokolade gleichm\u00e4\u00dfig auf vier Personen aufteilen m\u00f6chten. Hierf\u00fcr m\u00fcssen wir die Tafel in vier gleich gro\u00dfe St\u00fccke unterteilen. Die Gesamtmenge der St\u00fccke ist in unserem Bruch der Nenner. Die Anzahl an St\u00fccken, die jede Person von der Gesamtmenge bekommt, ist der Z\u00e4hler. Damit betr\u00e4gt in unserem Beispiel der Nenner vier und der Z\u00e4hler eins. Jede Person erh\u00e4lt also $\\frac{1}{4}$ der Schokolade. Wenn jetzt eine Person kein St\u00fcck m\u00f6chte und du daf\u00fcr ihr Viertel bekommst, hast du $\\frac{2}{4}$. Da du zwei St\u00fccke von der Gesamtmenge erh\u00e4ltst, betr\u00e4gt der Z\u00e4hler nun zwei.<\/p>\n<ul>\n<li>In wie viele Teile unterteilen wir die Schokolade? $\\rightarrow \\textbf{Nenner}$<\/li>\n<li>Wie viele Teile davon bekommt eine Person? $\\rightarrow \\textbf{Z\u00e4hler}$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn wir das verstanden haben, k\u00f6nnen wir Zahlen beliebig fein unterteilen. Je gr\u00f6\u00dfer der Nenner dabei ist, desto feiner die Unterteilung (wir haben dann ja viel mehr Teile).<\/p>\n<p>Wenn die Anzahl der St\u00fccke (Z\u00e4hler) mit der Gesamtmenge an St\u00fccken (Nenner) \u00fcbereinstimmt, sprechen wir von einem Ganzen. Im Bruch k\u00f6nnen wir ein Ganzes z.B. als $\\frac{1}{1}$, $\\frac{2}{2}$ oder $\\frac{8}{8}$ ausdr\u00fccken. Wenn also Z\u00e4hler und Nenner gleich gro\u00df sind, haben wir immer ein Ganzes. Wir k\u00f6nnen aber auch Zahlen darstellen, die gr\u00f6\u00dfer sind als eins, z.B. $\\frac{3}{2}$ oder $\\frac{8}{4}$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung das Video zur Bruchrechnung von Daniel an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Grundlagen Bruchrechnung, Br&uuml;che addieren, erweitern, k&uuml;rzen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_zF09rkKzJoE\"><div id=\"lyte_zF09rkKzJoE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FzF09rkKzJoE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Grundlagen Bruchrechnung, Br\u00fcche addieren, erweitern, k\u00fcrzen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/zF09rkKzJoE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FzF09rkKzJoE%2F0.jpg\" alt=\"Grundlagen Bruchrechnung, Br&uuml;che addieren, erweitern, k&uuml;rzen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n\n<hr \/>\n<h2 id=\"bruchrechnung-regeln\" class=\"anchor\">Bruchrechnung Regeln<\/h2>\n<h3 id=\"br\u00fcche-erweitern\" class=\"anchor\">Br\u00fcche erweitern<\/h3>\n<p>Ein Bruch wird erweitert, indem man sowohl den Z\u00e4hler (oben) als auch den Nenner (unten) des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert. Die Zahl \u00fcber dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 2 erweitert wird:<\/p>\n<p>\\[\\frac{\\mathrm{3}}{\\mathrm{7}}\\ \\ \\ {{\\stackrel{\\mathrm{2}}{\\longrightarrow}}}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{3}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{2}}{\\mathrm{7}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{2}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{6}}{\\mathrm{14}}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"br\u00fcche-k\u00fcrzen\" class=\"anchor\">Br\u00fcche k\u00fcrzen<\/h3>\n<p>Ein Bruch wird gek\u00fcrzt, indem man sowohl den Z\u00e4hler (oben) als auch den Nenner (unten) durch die gleiche Zahl teilt. Die Zahl unter dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 9 gek\u00fcrzt wird:<\/p>\n<p>\\[\\frac{\\mathrm{9}}{\\mathrm{27}}\\ \\ \\ {{\\mathop{\\longrightarrow}\\limits_{\\mathrm{9}}}}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{9\\div 9}}{\\mathrm{27\\div 9}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{1}}{\\mathrm{3}}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"br\u00fcche-addieren\" class=\"anchor\">Br\u00fcche addieren<\/h3>\n<p>Stellen wir uns einmal vor, dass wir gerade zu Hause eine Pizza essen. Wir haben das erste Viertel gegessen und haben dementsprechend drei Viertel der Pizza noch \u00fcbrig. Oder wir k\u00f6nnten sagen, dass wir eine halbe Pizza und noch ein Viertel haben, denn zwei Viertel sind ja das Gleiche wie eine halbe Pizza. Wenn wir das mathematisch ausdr\u00fccken, hei\u00dft das:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>An dieser kleinen Aufgabe sehen wir schon das einzig Schwierige am Bruchrechnen: Der Nenner. Wir erinnern uns: Der Nenner war die Zahl, durch die wir die Pizza teilen. Um Br\u00fcche miteinander verrechnen zu d\u00fcrfen, m\u00fcssen wir immer beide Nenner auf die gleiche Zahl bringen. In unserem Beispiel w\u00fcrde das hei\u00dfen: Wir sagen, unser $\\frac{1}{2}$ St\u00fcck Pizza ist das Gleiche wie $\\frac{2}{4}$ St\u00fccke Pizza. Dann w\u00fcrde unsere Gleichung so aussehen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{2}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nWir sehen, dass der Nenner die ganze Zeit gleich bleibt und der Z\u00e4hler einfach addiert wird. Also: $2 + 1 = 3$ und der Nenner bleibt die ganze Zeit 4.<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"br\u00fcche-subtrahieren\" class=\"anchor\">Br\u00fcche subtrahieren<\/h3>\n<p>Beim Subtrahieren machen wir genau das Gleiche, nur eben, dass wir $\\frac{1}{4}$ von $\\frac{2}{4}$ abziehen. Das sieht anschlie\u00dfend wie folgt aus:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{2}{4} &#8211; \\frac{1}{4} = \\frac{1}{4}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Logisch oder? Wenn wir von unserer halben Pizza noch ein Viertel essen, haben wir noch ein Viertel \u00fcbrig. Das Verrechnen ist also relativ einfach. Schau dir das n\u00e4chste Teilkapitel genau an. Denn das Schwierige ist, den Nenner richtig zu k\u00fcrzen oder zu erweitern.<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"br\u00fcche-multiplizieren\" class=\"anchor\">Br\u00fcche multiplizieren<\/h3>\n<p>Zwei Br\u00fcche werden multipliziert, indem wir &#8222;Z\u00e4hler mit Z\u00e4hler&#8220; und &#8222;Nenner mit Nenner&#8220; multiplizieren:<\/p>\n<p>\\[\\frac{\\mathrm{1}}{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\cdot }\\frac{\\mathrm{3}}{\\mathrm{4}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{1}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{3}}{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{4}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{3}}{\\mathrm{8}}\\]<\/p>\n<p>Die Br\u00fcche sollten, falls m\u00f6glich, vor der Multiplikation \u00fcber Kreuz gek\u00fcrzt werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{14}{27} \\ \\ \\ = \\ \\ \\ \\frac{1}{1} \\cdot \\frac{2}{9}\\ \\ \\ = \\ \\ \\ \\frac{2}{9}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"unechter-bruch\" class=\"anchor\">Unechter Bruch<\/h3>\n<p>Eine gemischte Zahl (Ganze Zahl und Bruch z.B.\u00a0$\\mathrm{2}\\frac{\\mathrm{1}}{\\mathrm{4}}$)\u00a0kann nach folgendem Schema in einen unechten Bruch\u00a0(Z\u00e4hler &gt; Nenner)\u00a0umgewandelt werden:<\/p>\n<p>\\[\\mathrm{2}\\frac{\\mathrm{1}}{\\mathrm{4}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{4+1}}{\\mathrm{4}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{9}}{\\mathrm{4}}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"br\u00fcche-dividieren\" class=\"anchor\">Br\u00fcche dividieren<\/h3>\n<p>Zwei Br\u00fcche werden dividiert, indem man bei dem Bruch, durch den geteilt wird, den Z\u00e4hler und den Nenner vertauscht (Kehrwert bildet) und danach die beiden Br\u00fcche miteinander multipliziert:<br \/>\n\\[\\frac{\\mathrm{3}}{\\mathrm{7}}\\mathrm{\\div }\\frac{\\mathrm{27}}{\\mathrm{14}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{3}}{\\mathrm{7}}\\mathrm{\\cdot }\\frac{\\mathrm{14}}{\\mathrm{27}}\\ \\ \\ \\mathrm{=}\\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{2}}{\\mathrm{9}}\\]<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<strong>Hinweis<\/strong><\/p>\n<p>Bitte das Ergebnis bei allen Grundrechenarten immer vollst\u00e4ndig k\u00fcrzen!<\/p>\n<\/div>\n\n<hr \/>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3 id=\"beispielaufgabe-bruchrechnung\" class=\"anchor\">Beispielaufgabe Bruchrechnung<\/h3>\n<p>Ordne die folgenden Zahlen nach ihrer Gr\u00f6\u00dfe. Beginne mit der kleinsten Zahl:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0,25; \\frac{1}{5}; -0,3 ; 0,225; -\\frac{1}{3}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung Bruchrechnung:<\/strong><\/p>\n<p>Bevor wir unsere Zahlen der Gr\u00f6\u00dfe nach ordnen k\u00f6nnen, empfiehlt es sich, diese in Dezimalzahlen umzuwandeln:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\frac{1}{5} = 0,2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n-\\frac{1}{3} = -0,\\overline{3}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt k\u00f6nnen wir unsere Zahlen der Gr\u00f6\u00dfe nach aufsteigend ordnen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n-0,\\overline{3} &lt; -0,3 &lt; 0,2 &lt; 0,225 &lt; 0,25<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Weitere Erkl\u00e4rungen inkl. Aufgaben zum Thema Br\u00fcche rechnen gibt es im passenden Lernvideo:<\/strong><br \/>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Br&uuml;che mit Kuchen und Streckenl&auml;ngen verdeutlicht, Mathehilfe online, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_uHk7Xp0FPGk\"><div id=\"lyte_uHk7Xp0FPGk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FuHk7Xp0FPGk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Br\u00fcche mit Kuchen und Streckenl\u00e4ngen verdeutlicht, Mathehilfe online, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/uHk7Xp0FPGk\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FuHk7Xp0FPGk%2F0.jpg\" alt=\"Br&uuml;che mit Kuchen und Streckenl&auml;ngen verdeutlicht, Mathehilfe online, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Thema Bruchrechnung begleitet uns unser ganzes Leben. 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Mit unserer einfachen Erkl\u00e4rung und Beispielaufgabe zum Thema Br\u00fcche rechnen helfen wir dir dieses Thema zu verstehen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Br\u00fcche rechnen verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Viele tun sich schwer bei dem Thema Br\u00fcche rechnen. Wir geben euch eine Erkl\u00e4rung mit Erkl\u00e4rvideos, die euch das leidige Thema verst\u00e4ndlich erkl\u00e4ren wird.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2023-10-30T06:37:53+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung-1024x380.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_bruchrechnung.png\",\"width\":2352,\"height\":872,\"caption\":\"Br\\u00fcche \\u00dcbersicht\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/\",\"name\":\"Br\\u00fcche rechnen mit Beispielen - StudyHelp\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bruchrechnung\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2016-02-10T08:17:37+00:00\",\"dateModified\":\"2023-10-30T06:37:53+00:00\",\"description\":\"Br\\u00fcche rechnen ist kompliziert. 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