{"id":923,"date":"2016-02-10T09:20:15","date_gmt":"2016-02-10T08:20:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=923"},"modified":"2023-10-30T07:38:50","modified_gmt":"2023-10-30T06:38:50","slug":"prozentrechnung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/prozentrechnung\/","title":{"rendered":"Prozentrechnung"},"content":{"rendered":"\n<p>Die Prozentrechnung wird immer dann angewendet, wenn ein <strong>Anteile<\/strong> von einem <strong>Ganzen<\/strong> bestimmt werden soll. Das ist zum Beispiel beim Winterschlussverkauf der Fall. Dort tauch die Prozentrechnung getarnt als Rabatt auf: &#8222;25% auf Alles&#8220;. Wie du mit dieser Aussage den endg\u00fcltigen Preis genau berechnen kannst lernst du unter anderem in diesem Artikel.<\/p>\n<p><strong>Theme zur Prozentrechnung auf dieser Seite:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#prozentrechner\">Prozentrechner<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#prozentrechnung-formeln\">Prozentrechnung Formeln<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#prozentwert-berechnen\">Prozentwert berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#grundwert-berechnen\">Grundwert berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#prozentsatz-berechnen\">Prozentsatz berechnen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgabe-prozentrechnung\">Abschlie\u00dfende Beispielaufgabe Prozentrechnung<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"prozentrechner\" class=\"anchor\">Prozentrechner<\/h2>\n<div class=\"calc-container\">\n<form name=\"form1\"><strong>Prozentwert bestimmen<\/strong><\/p>\n<div class=\"row\">Wie viel sind <input name=\"pv_percentage_value\" size=\"5\" type=\"text\" \/> % von <input name=\"pv_base_val\" size=\"5\" type=\"text\" \/>? Ergebnis: <input maxlength=\"40\" name=\"pv_result_percentage_value\" size=\"5\" type=\"text\" \/> <button class=\"btn green\" type=\"button\">Berechnen<\/button><\/div>\n<p><strong>Prozentsatz bestimmen<\/strong><\/p>\n<div class=\"row\"><input name=\"perc_percentage_value\" size=\"5\" type=\"text\" \/> sind wieviel % von <input name=\"perc_base\" size=\"5\" type=\"text\" \/>? Ergebnis: <input maxlength=\"40\" name=\"perc_result_percentage\" size=\"5\" type=\"text\" \/> <button class=\"btn green\" type=\"button\">Berechnen<\/button><\/div>\n<p><strong>Grundwert bestimmen<\/strong><\/p>\n<div class=\"row\"><input name=\"base_percentage_value\" size=\"5\" type=\"text\" \/> sind % <input name=\"base_percentage\" size=\"5\" type=\"text\" \/>% von wieviel? Ergebnis: <input maxlength=\"40\" name=\"base_result_percentage\" size=\"5\" type=\"text\" \/> <button class=\"btn green\" type=\"button\">Berechnen<\/button><\/div>\n<\/form>\n<\/div>\n<p><script> const numberFormatter = new Intl.NumberFormat('de-DE', { maximumFractionDigits: 2 }); function form_percentage_value(form) {const pv_percentage_value = form.pv_percentage_value.value\/100; const pv_base_val = pv_percentage_value*form.pv_base_val.value; form.pv_result_percentage_value.value = numberFormatter.format(pv_base_val);} function form_percentage(form) {const perc_percentage_value = parseFloat(form.perc_percentage_value.value.replace(',', '.')); const perc_base = parseFloat(form.perc_base.value.replace(',', '.')); const perc_result = (perc_percentage_value \/ (perc_base * 100))*10000; form.perc_result_percentage.value = numberFormatter.format(perc_result)+'%';} function form_base_value(form) {const base_percentage_value = parseFloat(form.base_percentage_value.value.replace(',', '.')); const base_percentage = parseFloat(form.base_percentage.value.replace(',', '.')); const base_result = (base_percentage_value \/ base_percentage) * 100; form.base_result_percentage.value = numberFormatter.format(base_result);} <\/script><\/p>\n<hr \/>\n\n<h2 id=\"prozentrechnung-formeln\" class=\"anchor\">Prozentrechnung Formeln<\/h2>\n<p>Die meisten Sch\u00fcler bekommen die Prozentrechnung unter Anwendung von drei verschiedenen Formeln vermittelt. Im Rahmen dieser Formeln spielen die drei folgenden Begriffe, einschlie\u00dflich ihrer Abk\u00fcrzungen, in der Prozentrechnung eine zentrale Rolle:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\textrm{Grundwert} (G)=\\frac{\\textrm{Prozentwert} (W)\\ \\cdot \\ 100}{\\textrm{Prozentsatz} (p)} \\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\textrm{Prozentwert} (W)=\\frac{\\textrm{Grundwert} (G)\\ \\cdot \\ \\textrm{Prozentsatz} (p)}{100} \\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\textrm{Prozentsatz} (p)=\\frac{\\textrm{Prozentwert} (W)\\ \\cdot \\ 100}{\\textrm{Grundwert} (G)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die folgenden Aufgaben sollen die obenstehenden Formeln verdeutlichen und kurz zeigen, wie diese angewendet werden. Denkt bei eurem Antwortsatz immer an die Einheiten!<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"prozentwert-berechnen\" class=\"anchor\">Prozentwert berechnen<\/h3>\n<p>Aufgabenstellung 1) Berechne 10 Prozent von 500 kg<\/p>\n<p>Bei dieser Aufgabe ist der Prozentwert $W$ gesucht. Wir verwenden also unsere Formel f\u00fcr den Prozentwert und erhalten:<\/p>\n<p>\\[\\textrm{Prozentwert} (W)=\\frac{\\textrm{Grundwert} (G)\\cdot\u00a0\\textrm{Prozentsatz}(p)}{100}=\\frac{500kg\\cdot 10}{100}=\\frac{5000kg}{100}=50\\ kg\\]<br \/>\nAn dieser Stelle ist es unter Umst\u00e4nden einfacher und in jedem Fall schneller, 10% von 500 kg auf eine andere Art und Weise zu berechnen. Dazu machen wir uns klar, dass der folgende Zusammenhang gilt:<br \/>\n\\[10\\%=\\frac{10}{100}=0,1. \\]<br \/>\nMit Hilfe dieses Wissens berechnen wir jetzt: $0,1\\cdot\u00a0500\\ kg=50\\ kg$.<br \/>\nIhr d\u00fcrft nat\u00fcrlich selber entscheiden, welcher Rechenweg euch mehr zusagt. Welchen der beiden Wege ihr letztendlich benutzt spielt in der Pr\u00fcfung keine Rolle.<br \/>\n2. Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:<br \/>\n\\[p=\\frac{W\\cdot 100}{G}=\\frac{60\\cdot 100}{300}=\\frac{6000}{300}=20\\ \\%\\]<br \/>\nAntwort: 60cm sind 20 Prozent von 300cm.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Wiederholung zum Thema Prozentrechnung folgendes Erkl\u00e4rvideo an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_Tr7NMzTOM4c\"><div id=\"lyte_Tr7NMzTOM4c\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FTr7NMzTOM4c%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Tr7NMzTOM4c\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FTr7NMzTOM4c%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"grundwert-berechnen\" class=\"anchor\">Grundwert berechnen<\/h3>\n<p>Zur Erinnerung, die Formel um den Grundwert zu berechnen lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{Grundwert} (G)=\\frac{\\textrm{Prozentwert} (W)\\ \\cdot \\ 100}{\\textrm{Prozentsatz} (p)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Eine ebenso wichtige Rolle in der Prozentrechnung spielen die Aufgaben zum vermehrten und zum verminderten Grundwert. Auch dazu wollen wir uns jeweils eine Aufgabe angucken.<\/p>\n<p>Der Preis einer Hose wurde um 25 Prozent erh\u00f6ht und betr\u00e4gt jetzt 200 \u20ac. Wie hoch war der urspr\u00fcngliche Preis der Hose?<\/p>\n<p>Hier m\u00fcssen wir ber\u00fccksichtigen, dass der Grundwert bereits um 25 Prozent erh\u00f6ht wurde und unser Prozentwert demnach 25 Prozent mehr ausmacht. Das bedeutet, dass unser Prozentwert 125% entspricht. Gesucht ist der urspr\u00fcngliche Preis unserer Hose, also der Grundwert. Wir setzen unsere entsprechenden Werte in die Formel ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nG=\\frac{W\\cdot 100}{p}=\\frac{200\\cdot 100}{125}=\\frac{20000}{125}=160<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Antwort: Der urspr\u00fcngliche Preis unserer Hose betrug also 160\u20ac.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_iAF0ruvmaK0\"><div id=\"lyte_iAF0ruvmaK0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FiAF0ruvmaK0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/iAF0ruvmaK0\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FiAF0ruvmaK0%2F0.jpg\" alt=\"Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><\/p>\n<hr \/>\n\n<h3>Verminderter Grundwert<\/h3>\n<p>Aufgabenstellung 1:<\/p>\n<p>Der Preis einer Hose wurde um den Prozentsatz von 20% gesenkt und betr\u00e4gt jetzt 120\u20ac. Wie hoch war der urspr\u00fcngliche Preis der Hose?<br \/>\nUnser Grundwert wurde um 20 Prozent reduziert. Der jetzt \u00fcbriggebliebene Prozentwert entspricht also\u00a0$100\\%-20\\%=80\\%$. Gesucht ist also wieder unser urspr\u00fcnglicher Grundwert. Wir setzen die uns bekannten Werte in die Formel ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\[G=\\frac{W\\cdot 100}{p}=\\frac{120\\cdot 100}{80}=\\frac{12000}{80}=150\\ \\]<\/p>\n<p>Antwort: Urspr\u00fcnglich kostete die Hose also 150\u20ac.<\/p>\n<p>Aufgabenstellung 2:<\/p>\n<p>Es sind bereits 20 m eines Weges gepflastert. Das sind 40% der Gesamtl\u00e4nge. Welche Gesamtl\u00e4nge hat der Weg? In diesem Fall ist der Grundwert gesucht. Wir verwenden die uns bekannte Formel und erhalten:<\/p>\n<p>\\[G=\\frac{W\\ \\cdot \\ 100}{p}=\\frac{20m\\ \\cdot \\ 100}{40}=\\frac{2000m}{40}=50m\\]<\/p>\n<p>Antwort: Der Weg hat eine Gesamtl\u00e4nge von 50m<\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"prozentsatz-berechnen\" class=\"anchor\">Prozentsatz berechnen<\/h3>\n<p>Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir folgende Formel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{Prozentsatz} (p)=\\frac{\\textrm{Prozentwert} (W)\\ \\cdot \\ 100}{\\textrm{Grundwert} (G)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aufgabenstellung 1:<\/p>\n<p>Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:<\/p>\n<p>\\[p=\\frac{W\\cdot 100}{G}=\\frac{60cm\\cdot 100}{300}=\\frac{6000cm}{300}=20\\ \\%\\]<\/p>\n<p>Antwort: Der Prozentsatz betr\u00e4gt 20 Prozent.<\/p>\n\n<hr \/>\n<h3 id=\"beispielaufgabe-prozentrechnung\" class=\"anchor\">Abschlie\u00dfende Beispielaufgabe Prozentrechnung<\/h3>\n<p>Eine Dose mit 125g Fruchtgummi kostet 1,50\u20ac. Ein Discounter wirbt mit folgendem Plakat:<\/p>\n<p><strong>Angebot! 125g + 30% mehr Inhalt f\u00fcr nur 1,99\u20ac<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Berechne, wie viel Gramm Fruchtgummi im Angebot verkauft werden.<\/li>\n<li>Ist das Angebot im Vergleich zu vorher g\u00fcnstiger? Begr\u00fcnde Deine Entscheidung.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<p><em>Aufgabenteil 1:<\/em><\/p>\n<p>Wir erhalten laut des Angebots eine zus\u00e4tzliche Menge von 30 %. An dieser Stelle k\u00f6nnen wir mit einer einfachen Rechnung direkt berechnen, welche Menge wir im Angebot erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n125g \\cdot 1,3 = 162,5 g<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten im Angebot also $162,5g$ Fruchtgummi.<\/p>\n<p><em>Aufgabenteil 2:<\/em><\/p>\n<p>Wir sollen jetzt herausfinden, ob das Angebot, im Vergleich zum urspru\u0308nglichen Preis wirklich gu\u0308nstiger ist. Deswegen berechnen wir jetzt den jeweiligen Preis pro $100g$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n1,50 : 125 \\cdot 100 = 1,20<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn wir den urspru\u0308nglichen Preis zu Grunde legen kosten $100?$ Fruchtgummi genau $1,20$ \u20ac.<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend berechnen wir den Preis pro $100?$ basierend auf dem Angebotspreis:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n1,99 : 162,5 \\cdot 100 \\approx 1,22<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Basierend auf dem Angebotspreis, kosten $100?$ Fruchtgummi circa $\\approx 1,22$ \u20ac. Das beschriebene Angebot ist also gar kein Angebot, sondern lediglich eine Mogelpackung.<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Prozentrechnung wird immer dann angewendet, wenn ein Anteile von einem Ganzen bestimmt werden soll. Das ist zum Beispiel beim Winterschlussverkauf der Fall. Dort tauch die Prozentrechnung getarnt als Rabatt auf: &#8222;25% auf Alles&#8220;. Wie du mit dieser Aussage den endg\u00fcltigen Preis genau berechnen kannst lernst du unter anderem in diesem Artikel. 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