{"id":925,"date":"2016-02-10T09:20:53","date_gmt":"2016-02-10T08:20:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=925"},"modified":"2020-01-30T15:41:39","modified_gmt":"2020-01-30T14:41:39","slug":"lineare-funktionen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-funktionen\/","title":{"rendered":"Lineare Funktionen"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel erf\u00e4hrst du alles \u00fcber lineare Funktionen. Wir behandeln folgende Themen:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#wassindlinearefunktionen\">Was sind lineare Funktionen?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#steigung-berechnen\">Steigung einer linearen Funktion berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#nullstelle-berechnen\">Nullstelle einer linearen Funktion berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgabe-lineare-funktionen\">Beispielaufgaben zu Lineare Funktionen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<h2 id=\"wassindlinearefunktionen\" class=\"anchor\">Was sind Lineare Funktionen?<\/h2>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_tywU-wn6tF4\"><div id=\"lyte_tywU-wn6tF4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtywU-wn6tF4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/tywU-wn6tF4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtywU-wn6tF4%2F0.jpg\" alt=\"Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Lineare Funktionen sind euch wahrscheinlich ebenfalls unter dem Namen Geradengleichungen bekannt. Der Name sagt also schon, um was f\u00fcr eine Art Graph es sich in diesem Fall handelt, n\u00e4mlich um eine Gerade. Wir halten demnach fest, dass Graphen von linearen Funktionen sich im Koordinatensystem ausschlie\u00dflich als eine Gerade darstellen lassen. Im Allgemeinen haben lineare Funktionen immer die folgende Gestalt:<\/p>\n<p>\\[y=m\\cdot x+b\\]<br \/>\nWir notieren, dass $m$ die Steigung und $b$ den Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse angibt. Beachte: Im Regelfall werden Funktionen immer $f(x)$ genannt. $f(x)$ ist nichts anders als der Funktionswert, also $y$. <\/p>\n<p>Nachfolgend betrachten wir den Graphen der linearen Funktion\u00a0$y=f\\left(x\\right)=2x-1$ im Koordinatensystem:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1044\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade.png\" alt=\"Lineare Funktionen Steigungsdreieck\" width=\"312\" height=\"320\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade.png 496w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade-293x300.png 293w\" sizes=\"(max-width: 312px) 100vw, 312px\" \/><br \/>\nDer Graph der Funktion $f\\left(x\\right)=2x-1$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0|-1)$. Punkte werden immer in der Form ( $x$-Wert | $y$-Wert) dargestellt.<\/p>\n<p>Wir halten an dieser Stelle also fest, dass Schnittpunkte mit der $y$-Achse immer die $x$-Koordinate $0$ haben. Dazu stellen wir uns vor, dass wir den Punkt $(0|-1)$ im Koordinatensystem ausfindig machen wollen.<\/p>\n<p>Wir beginnen im Ursprung, also im Punkt\u00a0$(0|0)$. Von da aus gehen wir immer zuerst in\u00a0$x$-Richtung, also nach links oder nach rechts. In unserem Fall m\u00fcssen wir uns weder nach links noch nach rechts bewegen, um zu unserem gewollten Punkt zu gelangen. Anschlie\u00dfend bewegen wir uns in -Richtung, als entweder nach oben oder nach unten. Hier gehen wir eine Einheit nach unten und landen genau auf unserem Punkt\u00a0$(0|-1)$.<\/p>\n<p>Von unserem Schnittpunkt mit der $y$-Achse aus wollen wir nun unser Steigungsdreieck einzeichnen. Merkt euch, dass sich Steigungen immer als Quotient\u00a0$\\frac{y}{x}$ angeben lassen. Wir gehen, wie in der Grafik zu sehen, eine Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben und gelangen zu einem weiteren Punkt auf unserer Geraden\u00a0$(\\frac{y}{x}=\\frac{2}{1} =2)$. In unserem Fall war die Steigung $m=2$ positiv. <\/p>\n<p>Es kann nat\u00fcrlich auch vorkommen, dass unsere Steigung einen negativen Wert annimmt. Dazu gucken wir uns einen weiteren Graphen im Koordinatensystem an:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1045\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade1.png\" alt=\"Lineare Funktionen Schnittpunkt y-Achse\" width=\"308\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade1.png 463w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingerade1-264x300.png 264w\" sizes=\"(max-width: 308px) 100vw, 308px\" \/><\/p>\n<p>Die Funktion\u00a0$f\\left(x\\right)=-2x-1$ hat die Steigung\u00a0$m=-2$. Jetzt m\u00fcssen wir von unserem Schnittpunkt mit der $y$-Achse aus wieder eine Einheit nach rechts gehen aber anschlie\u00dfend gehen wir 2 Einheiten nach unten, da unsere Steigung jetzt negativ ist.<\/p>\n<p>Wir merken uns also f\u00fcr lineare Funktionen:<\/p>\n<ul>\n<li>Positive Steigung:\u00a0$x$\u00a0Einheiten nach rechts und $y$ Einheiten nach oben, z.B.\u00a0$m=$ $\\frac{3}{4}$: $4$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Negative Steigung:\u00a0$x$\u00a0Einheiten nach links\u00a0und $y$ Einheiten nach unten, z.B.\u00a0$m=-$ $\\frac{3}{1}$:\u00a0$1$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach\u00a0unten<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<h2 id=\"steigung-berechnen\" class=\"anchor\">Steigung einer linearen Funktion berechnen<\/h2>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Normalform, 2-Punkte-Form, Punkt-Steigungs-Form, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_wSFLo2ew2j4\"><div id=\"lyte_wSFLo2ew2j4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FwSFLo2ew2j4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Normalform, 2-Punkte-Form, Punkt-Steigungs-Form, \u00dcbersicht | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/wSFLo2ew2j4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FwSFLo2ew2j4%2F0.jpg\" alt=\"Normalform, 2-Punkte-Form, Punkt-Steigungs-Form, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Mit der Punkt-Steigungs-Form ist es m\u00f6glich aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung aufzustellen. Wir nehmen an, dass die beiden folgenden Punkte gegeben sind:\u00a0$P(2|-3)$ und $Q(1|2)$. Zu Anfang ben\u00f6tigen wir die folgende Formel zur Berechnung der Steigung:<br \/>\n\\[m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\]<br \/>\nDie $y$-Koordinate unseres Punktes\u00a0$Q$ ist $y_2=2$, die $y$-Koordinate unseres $P$ ist $y_1=-3$, die $x$-Koordinate unseres Punktes $Q$ ist $x_2=1$ und die $x$-Koordinate unseres Punktes $P$ ist $x_1=2$. Diese Werte setzen wir jetzt in unsere obige Formel ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\[m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\\frac{2-(-3)}{1-2}=\\frac{2+3}{-1}=\\frac{5}{-1}=-5\\]<\/p>\n<p>Unsere Steigung ist also $m=-5$.<\/p>\n<p>Hinweis: Ihr bekommt das gleiche Ergebnis, wenn ihr f\u00fcr die $x_1$ und $y_1$-Koordinaten die Werte von Punkt Q nehmt und ihr f\u00fcr\u00a0die $x_2$ und $y_2$-Koordinaten die Werte von Punkt P.<\/p>\n<p>\\[m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\\frac{\\left(-3\\right)-2}{2-1}=\\frac{-5}{1}=-5\\]<\/p>\n<p>Im n\u00e4chsten Schritt setzen wir sowohl unsere eben berechnete Steigung als auch die beiden Koordinaten einer der beiden Punkte in unsere allgemeine Funktionsgleichung $y=m\\cdot x+b$ ein. Dabei spielt es keine Rolle, ob ihr euch f\u00fcr den Punkt $P$ oder den Punkt $Q$ entscheidet. Beide Einsetzungen liefern ein identisches Ergebnis. Wir entscheiden uns jetzt f\u00fcr den Punkt $Q$ und erhalten:<\/p>\n<p>\\[2=-5\\cdot 1+b\\]<\/p>\n<p>Diese Gleichung l\u00f6sen wir jetzt nach $b$ auf:<\/p>\n<p>\\[2=-5+b |+5\\]<br \/>\n\\[2+5=b\\]<br \/>\n\\[7=b\\]<\/p>\n<p>Damit h\u00e4tten wir sowohl unsere Steigung $m$ als auch unseren Schnittpunkt mit der $y$-Achse $b$ berechnet und k\u00f6nnen jetzt unsere Funktionsgleichung aufschreiben. Diese lautet dann:<\/p>\n<p>\\[y=-5\\cdot\u00a0x+7\\]<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"nullstelle-berechnen\" class=\"anchor\">Nullstellen berechnen &#8211; Lineare Funktionen<\/h2>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Nullstellen bei linearen Funktionen, Beispiele, Geraden | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_KW9yWfyFICE\"><div id=\"lyte_KW9yWfyFICE\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKW9yWfyFICE%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Nullstellen bei linearen Funktionen, Beispiele, Geraden | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/KW9yWfyFICE\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKW9yWfyFICE%2F0.jpg\" alt=\"Nullstellen bei linearen Funktionen, Beispiele, Geraden | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Was sind Nullstellen?<\/strong><\/p>\n<p>Nullstellen sind der oder die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der $x$-Achse. Grunds\u00e4tzlich gilt, dass man zur Berechnung der Nullstellen den Funktionsterm gleich 0 setzen muss. Diese Tatsache ist nicht nur f\u00fcr lineare Funktionen, sondern auch f\u00fcr jede andere Funktionsart (z.B. quadratische Funktionen) g\u00fcltig. Merkt euch, dass Geraden maximal eine Nullstelle besitzen k\u00f6nnen. Wir m\u00f6chten jetzt beispielhaft die Nullstellen unserer zuvor berechneten Geraden bestimmen. Also erhalten wir, nach dem wir unseren Funktionsterm gleich 0 gesetzt haben:<\/p>\n<p>\\[0=-5\\cdot x+7\\]<\/p>\n<p>Diese Gleichung l\u00f6sen wir jetzt nach $x$ auf:<\/p>\n<p>\\[0=-5\\cdot x+7 |-7\\]<br \/>\n\\[-7=-5\\cdot x |\\div (-5)\\]<br \/>\n\\[1,4=x\\]<\/p>\n<p>Unsere Gerade schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=1,4$. Das ist die einzige Nullstelle.<br \/>\nMerkt euch, dass Schnittpunkte mit der $x$-Achse immer die folgende Gestalt haben: $(x|0)$, in unserem Beispiel also $\\left(1,4\\ \\right|\\ 0)$.<\/p>\n<h3>Parallele Geraden zur $x$&#8211; und $y$-Achse<\/h3>\n<p>Zu Beginn gucken wir uns die beiden folgenden Geraden im Koordinatensystem an:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1051\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingeradeparallel.png\" alt=\"Lineare Funktionen parallele Geraden\" width=\"245\" height=\"276\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingeradeparallel.png 466w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_lingeradeparallel-267x300.png 267w\" sizes=\"(max-width: 245px) 100vw, 245px\" \/><\/p>\n<p>Wir sehen zwei Geraden, zum einen $y=2$ und zum anderen $x=1$. Parallele Geraden zur $x$-Achse geben immer an, an welcher Stelle die $y$-Achse geschnitten wird. Parallele Geraden zur $y$-Achse geben immer an, an welcher Stelle die $x$-Achse geschnitten wird. Merkt euch, dass parallele Geraden zur $y$-Achse keinen Graphen einer linearen Funktion darstellen. Es werden n\u00e4mlich einem $x$-Wert, mehrere $y$-Werte zugeordnet.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3 class=\"anchor\" id=\"beispielaufgabe-lineare-funktionen\">Beispielaufgabe &#8211; Lineare Funktionen<\/h3>\n<p>Ein Segelflugzeug befindet sich in $1200m$ H\u00f6he. Beim Sinkflug verliert es pro Minute $40m$ an H\u00f6he.<\/p>\n<ol>\n<li>a) Stelle eine geeignete Funktionsgleichung auf, welche den Sinkflug des Segelflugzeuges beschreibt.<\/li>\n<li>b)Nach wie vielen Minuten hat das Flugzeug den Erdboden erreicht?<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>L\u00f6sung zu a)<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) = 1200 &#8211; 40 \\cdot x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Unser Flugzeug hat eine anf\u00e4ngliche H\u00f6he von $1200m$. Das $x$ steht hier fu\u0308r die Anzahl der Minuten, in welchen das Flugzeug jeweils $40m$ an H\u00f6he verliert. $f(x)$ gibt die verbleibende H\u00f6he nach $x$ Minuten an.<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sungzu b)<\/strong><\/p>\n<p>Wir sollen herausfinden, nach wie vielen Minuten sich das Flugzeug wieder am Boden befindet. Die verbleibende H\u00f6he $f(x)$ soll also gleich $0$ sein. Wenn wir diese Information in unsere Ausgangsgleichung einsetzen, erhalten wir:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0 = 1200 &#8211; 40 \\cdot x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Diese Gleichung l\u00f6sen wir jetzt nach $x$ auf:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n&amp; 0 &amp; =&amp;1200 &#8211; 40 \\cdot x &amp;|+40 \\cdot x \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp; 40 \\cdot x &amp;=&amp;1200 &amp;|:40 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp; x &amp;=&amp; 30<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Flugzeug befindet sich nach exakt einer halben Stunde wieder am Boden.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erf\u00e4hrst du alles \u00fcber lineare Funktionen. Wir behandeln folgende Themen: Was sind lineare Funktionen? Steigung einer linearen Funktion berechnen Nullstelle einer linearen Funktion berechnen Beispielaufgaben zu Lineare Funktionen Was sind Lineare Funktionen? 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