{"id":927,"date":"2016-02-10T09:21:09","date_gmt":"2016-02-10T08:21:09","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=927"},"modified":"2021-05-25T08:33:18","modified_gmt":"2021-05-25T06:33:18","slug":"binomische-formeln","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/binomische-formeln\/","title":{"rendered":"Binomische Formeln"},"content":{"rendered":"\n<p>Es gibt drei binomische Formeln. Diese sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachung von Termen und k\u00f6nnen in beiden Richtungen angewendet werden. Das bedeutet, dass sie sowohl zum <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ausklammern<\/a>, als auch zum <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Faktorisieren<\/a> verwendet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p><strong>Was dich auf dieser Seite erwartet:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#wie-lauten-die-drei-binomischen-formeln\">Wie lauten die drei binomischen Formeln?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#erstebinomischeformel\">Erste binomische Formel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#zweitebinomischeformel\">Zweite binomische Formel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#drittebinomischeformel\">Dritte binomische Formel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#wof\u00fcr-brauche-ich-die-binomischen-formeln\">Wof\u00fcr brauche ich die binomischen Formeln?<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"wie-lauten-die-drei-binomischen-formeln\" class=\"anchor\">Wie lauten die drei binomischen Formeln?<\/h2>\n<ol>\n<li>Binomische Formel: $ \\mathbf{(a+b)^2} = a^2+2 \\cdot a \\cdot b + b^2 \\\\ \\\\ $<\/li>\n<li>Binomische Formel: $ \\mathbf{(a-b)^2} = a^2-2 \\cdot a \\cdot b + b^2 \\\\ \\\\ $<\/li>\n<li>Binomische Formel: $ \\mathbf{(a+b)\\cdot(a-b)} = a^2-b^2 $<\/li>\n<\/ol>\n<hr \/>\n<h2 id=\"erstebinomischeformel\" class=\"anchor\">Erste binomische Formel<\/h2>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mathbf{\\left(a+b\\right)^2=a^2+2\\cdot a\\cdot b+b^2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wer sich mit dem Thema <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ausklammern<\/a> befasst hat, kann hier getrost zur 2. binomischen Formel springen. F\u00fcr alle anderen macht es Sinn sich die Herleitung genauer anzuschauen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(a+b)^2 &amp;= (a+b)\\cdot (a+b) \\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot(a+b)+b\\cdot(a+b) \\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot a+a\\cdot b+b\\cdot a+b\\cdot b \\\\<br \/>\n&amp;= a^2+a\\cdot b+a\\cdot b+b^2 \\\\<br \/>\n&amp;= a^2+2\\cdot a\\cdot b+b^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der genaue Beobachter sieht, dass es sich schlicht um das Ausklammern des linken Ausdrucks handelt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-11655\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Binomische-Formeln-2.jpg\" alt=\"Erste binomische Formel\" width=\"467\" height=\"33\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Binomische-Formeln-2.jpg 608w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Binomische-Formeln-2-300x21.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 467px) 100vw, 467px\" \/><\/p>\n<p>Da die ganzen Buchstaben viele Leser verwirren, zeigen wir euch das Ganze nochmal anhand von Beispielen.<\/p>\n<h3>Grafische Herleitung der ersten binomischen Formel<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11928\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/1.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung.jpg\" alt=\"1. Binomische Formel grafische Herleitung\" width=\"559\" height=\"434\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/1.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung.jpg 559w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/1.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-300x233.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 559px) 100vw, 559px\" \/><\/p>\n<p>Wie man anhand der Grafik erkennen kann, ist die Seitenl\u00e4nge des Quadrats a + b. F\u00fcr die Berechnung des Fl\u00e4cheninhalts dieses Quadrats erh\u00e4lt man folglich $(a + b)\u00b2$. Wir k\u00f6nnen auch h\u00e4ndisch alle Fl\u00e4cheninhalte zusammenz\u00e4hlen und erhalten: $a\u00b2+ab+ab+b\u00b2 = a\u00b2+2ab+b\u00b2$<\/p>\n<h3 id=\"beispielerstebinomischeformel\" class=\"anchor\">Beispiele zur ersten binomischen Formel<\/h3>\n<h3>Beispiel 1<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(2+3\\right)^2=2^2+2\\cdot 2\\cdot 3+3^2=25<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wie ihr sicher schon erkannt habt, ist das Ergebnis nichts anderes als $5^2$. Doch so einfach machen es euch dann die Lehrer doch nicht, wenn es um binomische Formeln geht. Oftmals werden dann Buchstaben in die Formel eingef\u00fcgt, wie ihr im Beispiel 2 jetzt sehen werdet.<\/p>\n<h3>Beispiel 2<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(2x+3\\right)^2={\\left(2x\\right)}^2+2\\cdot 2x\\cdot 3+3^2={4x}^2+12x+9<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Vorgehensweise ist also recht einfach. Setzt f\u00fcr a und b einfach die entsprechenden Zahlen oder Buchstaben ein und rechnet den oben gezeigten Weg durch.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Hinweis<\/strong><\/p>\n<p>Der jeweils mittlere Teil der binomischen Formeln muss selbstverst\u00e4ndlich nicht bei jeder Aufgabe mit geschrieben werden. Er dient hier nur zur Veranschaulichung und zum besseren Verst\u00e4ndnis. Nach einiger \u00dcbung werdet ihr sicherlich in der Lage sein, direkt von der Klammer zum endg\u00fcltigen Term oder umgekehrt zu gelangen.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_k-dGzlWNblo\"><div id=\"lyte_k-dGzlWNblo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fk-dGzlWNblo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/k-dGzlWNblo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fk-dGzlWNblo%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"zweitebinomischeformel\" class=\"anchor\">Zweite binomische Formel<\/h2>\n<p>Die zweite binomische Formel sieht auf den ersten Blick viel komplizierter aus, als sie eigentlich ist. Im Gegensatz zur ersten binomischen Formel \u00e4ndert sich hier nur das Vorzeichen in der Klammer.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(a-b\\right)^2 &amp;= \\left(a-b\\right)\\cdot \\left(a-b\\right) \\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot(a-b) &#8211; b\\cdot(a-b)\\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot a &#8211; a\\cdot b &#8211; b\\cdot a -b\\cdot(-b) \\\\<br \/>\n&amp;= a^2 &#8211; a\\cdot b &#8211; a\\cdot b + b\\cdot b\\\\<br \/>\n&amp;= a^2 -2\\cdot a\\cdot b + b^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11960\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung.jpg\" alt=\"2. Binomische Formel grafische Herleitung\" width=\"428\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung.jpg 428w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-300x210.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 428px) 100vw, 428px\" \/><\/p>\n<p>Wir n\u00e4hern uns von hinten an die 2. binomische Formel an und versuchen die Fl\u00e4che (a &#8211; b)\u00b2 zu erreichen. Wir gehen also erstmal nur davon aus, dass wir die Seitenl\u00e4ngen $a$ und $b$ haben.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11961\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2.jpg\" alt=\"2. Binomische Formel grafische Herleitung Schritt 2\" width=\"368\" height=\"354\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2.jpg 368w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2-300x289.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 368px) 100vw, 368px\" \/><\/p>\n<p>Wie wir sehen, hat das gesamte Quadrat den Fl\u00e4cheninhalt a\u00b2. Im ersten Schritt ziehen wir die rote Fl\u00e4che von a\u00b2 ab und erhalten $a^2- a \\cdot b$.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11962\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-3.jpg\" alt=\"2. Binomische Formel grafische Herleitung Schritt 3\" width=\"368\" height=\"349\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-3.jpg 368w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-3-300x285.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 368px) 100vw, 368px\" \/><\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes ziehen wir nochmals die Fl\u00e4che $a \\cdot b$ von $a^2- a \\cdot b$ ab und erhalten $a^2 &#8211; a \\cdot b + a \\cdot b$. Zusammengefasst also $a^2 &#8211; 2\\cdot a \\cdot b$.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-11963\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-4.jpg\" alt=\"2. Binomische Formel grafische Herleitung Schritt 4\" width=\"360\" height=\"331\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-4.jpg 360w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/2.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-4-300x276.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 360px) 100vw, 360px\" \/><\/p>\n<p>Der genaue Beobachter stellt fest, dass wir das kleine Quadrat $b^2$ unten rechts einmal zu viel abgezogen haben. Deswegen rechnen wir es einfach nochmal &#8222;drauf&#8220; und erhalten letztendlich den finalen Ausdruck: $a^2 &#8211; a \\cdot b + a \\cdot b + b^2$.<\/p>\n<p>Auch hier geben wir euch nochmal ein Beispiel zur Vertiefung:<\/p>\n<h3 id=\"beispielzweitebinomischeformel\" class=\"anchor\">Beispiel zur zweiten binomischen Formel<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(2x-3\\right)^2={\\left(2x\\right)}^2-2\\cdot 2x\\cdot 3+3^2={4x}^2-12x+9<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p id=\"lernvideo-zweite-binomische-formel\">Nicht verstanden? Daniel erkl\u00e4rt euch die zweite binomische Formel nochmal in einem seiner Videos.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Binomische Formeln, 2. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_xGnc1tOvXOk\"><div id=\"lyte_xGnc1tOvXOk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxGnc1tOvXOk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Binomische Formeln, 2. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/xGnc1tOvXOk\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FxGnc1tOvXOk%2F0.jpg\" alt=\"Binomische Formeln, 2. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"drittebinomischeformel\" class=\"anchor\">Dritte binomische Formel<\/h2>\n<p>Die letzte binomische Formel zeigt euch, wie ihr zwei Klammern miteinander multipliziert &#8211; sprich, hier passiert nichts anderes als einfache Klammerrechnung. Beim Hinschauen f\u00e4llt direkt auf, dass in der ersten Klammer ein + und in der zweiten Klammer ein &#8211; steht.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n(a+b)(a-b) &amp;= (a+b)\\cdot(a-b) \\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot (a-b)+b\\cdot (a-b)\\\\<br \/>\n&amp;= a\\cdot a-a\\cdot b+b\\cdot a+b\\cdot (-b) \\\\<br \/>\n&amp;= a^2-a\\cdot b+a\\cdot b-b\\cdot b \\\\<br \/>\n&amp;= a^2-b^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Grafische Herleitung der dritten binomischen Formel<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-11972\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2-1.jpg\" alt=\"3. Binomische Formel grafische Herleitung Schritt 2\" width=\"389\" height=\"341\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2-1.jpg 714w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-Schritt-2-1-300x263.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 389px) 100vw, 389px\" \/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-11973\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-1.jpg\" alt=\"3. Binomische Formel grafische Herleitung\" width=\"480\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-1.jpg 822w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-1-300x162.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/3.-Binomische-Formel-grafische-Herleitung-1-768x415.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/p>\n<p>Zum Abschluss habt ihr hier noch einmal ein Beispiel zur dritten binomischen Formel.<\/p>\n<h3 id=\"beispiel-dritte-binomischeformel\" class=\"anchor\">Beispiel<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(2x+3\\right)\\cdot \\left(2x-3\\right)={\\left(2x\\right)}^2-3^2={4x}^2-9<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p id=\"lernvideo-dritte-binomische-formel\">Zur Wiederholung k\u00f6nnt ihr euch dieses Video zur dritten binomischen Formel anschauen.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Binomische Formeln, 3. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_Y-z-jK04VaI\"><div id=\"lyte_Y-z-jK04VaI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FY-z-jK04VaI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Binomische Formeln, 3. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl\u00e4rt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Y-z-jK04VaI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FY-z-jK04VaI%2F0.jpg\" alt=\"Binomische Formeln, 3. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erkl&auml;rt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"wof\u00fcr-brauche-ich-die-binomischen-formeln\" class=\"anchor\">Wof\u00fcr brauche ich die binomischen Formeln?<\/h2>\n<ul>\n<li>.. um Klammern schneller und leichter ausmultiplizieren zu k\u00f6nnen.<\/li>\n<li>.. zur r\u00fcckg\u00e4ngigen Ausmultiplizierung. Sprich: Klammern erzeugen.<\/li>\n<li>.. zur Umformung von Gleichungen.<\/li>\n<li>.. zur erleichterten Rechnung mit Potenzen.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Es gibt drei binomische Formeln. Diese sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachung von Termen und k\u00f6nnen in beiden Richtungen angewendet werden. Das bedeutet, dass sie sowohl zum Ausklammern, als auch zum Faktorisieren verwendet werden k\u00f6nnen. 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