{"id":933,"date":"2016-02-10T09:22:34","date_gmt":"2016-02-10T08:22:34","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=933"},"modified":"2018-08-27T13:40:07","modified_gmt":"2018-08-27T11:40:07","slug":"quadratische-gleichungen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-gleichungen\/","title":{"rendered":"Quadratische Gleichungen"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles Wissenwerte zum Thema quadratische Gleichungen. Dabei gehen wir auch im Detail auf die verschiedenen Formen der quadratischen Gleichungen ein.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zun\u00e4chst das Einf\u00fchrungsvideo zum Thema quadratische Gleichungen an, um einen \u00dcberblick zu erhalten!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Was hei&szlig;t quadratisch, quadratische Gleichung, quadratische Funktion? | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_HDI1kYOIldI\"><div id=\"lyte_HDI1kYOIldI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHDI1kYOIldI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Was hei\u00dft quadratisch, quadratische Gleichung, quadratische Funktion? | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/HDI1kYOIldI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHDI1kYOIldI%2F0.jpg\" alt=\"Was hei&szlig;t quadratisch, quadratische Gleichung, quadratische Funktion? | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2>Quadratische Gleichungen der Form <\/strong>${\\boldsymbol{\\mathrm{a}}\\boldsymbol{\\mathrm{\\cdot }}\\boldsymbol{\\mathrm{x}}}^{\\boldsymbol{\\mathrm{2}}}\\boldsymbol{\\mathrm{+}}\\boldsymbol{\\mathrm{c}}\\boldsymbol{\\mathrm{=}}\\boldsymbol{\\mathrm{0}}$<\/h2>\n<p>Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, ${\\mathrm{a}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}$ und eine konstante Zahl $c$. Sie lassen sich ohne die Benutzung der $pq$-Formel oder der quadratischen Erg\u00e4nzung l\u00f6sen. Ihr m\u00fcsst zuerst die konstante Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen:<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{-}\\mathrm{32=0\\ } \\mathrm{|+32}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=32}\\]<br \/>\nAnschlie\u00dfend wird durch den Faktor, welcher vor dem ${\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}$ steht, geteilt:<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=32\\ } \\mathrm{|\\ :2}\\]<br \/>\nWir erhalten:<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=16}\\]<br \/>\nZum Schluss wird die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wurzeln-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Wurzel gezogen<\/a> und ihr erhaltet zwei L\u00f6sungen:<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=16\\ } \\mathrm{|\\ }\\mathrm{\\sqrt{}}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{1}}\\mathrm{=4\\ \\ }\\mathrm{\\vee }\\mathrm{\\ \\ }{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-4}.\\]<br \/>\nAlso lautet die L\u00f6sungsmenge: $\\mathbb{L}\\mathrm{=}\\left\\{\\mathrm{-}\\mathrm{4\\ }\\mathrm{;}\\right.\\left.\\mathrm{\\ 4}\\right\\}$.<br \/>\nMerkt euch, dass ihr, nach dem ihr die Wurzel gezogen habt, immer zwei L\u00f6sungen erhaltet. Eine ist positiv und eine ist negativ. Ausnahme: $\\sqrt{0}\\mathrm{=0.}$ Au\u00dferdem m\u00fcsst ihr wissen, dass es nicht m\u00f6glich ist, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen. Die Gleichung ${\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+1=0}$ hat keine L\u00f6sung, ihre L\u00f6sungsmenge ist die leere Menge $\\mathbb{L}\\mathrm{=}\\mathrm{\\emptyset }\\mathrm{.}$<\/p>\n<h2>Quadratische Gleichungen der Form $\\boldsymbol{\\mathrm{a}}\\boldsymbol{\\mathrm{\\cdot }}{\\boldsymbol{\\mathrm{x}}}^{\\boldsymbol{\\mathrm{2}}}\\boldsymbol{\\mathrm{+}}\\boldsymbol{\\mathrm{b}}\\boldsymbol{\\mathrm{\\cdot }}\\boldsymbol{\\mathrm{x}}\\boldsymbol{\\mathrm{=}}\\boldsymbol{\\mathrm{0}}$<\/h2>\n<p>Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, ${\\mathrm{a}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}$ und einen linearen Teil $\\mathrm{b}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}$:<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x=0}.\\]<br \/>\nAuch diese quadratischen Gleichungen lassen sich ohne die Benutzung der $pq$-Formel oder der quadratischen Erg\u00e4nzung l\u00f6sen. Als erstes m\u00fcsst ihr einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Dieser gemeinsame Teil ist in fast allen F\u00e4llen das $x$:<br \/>\n\\[\\mathrm{x}\\mathrm{\\cdot\u00a0}\\left(\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x+8}\\right)\\mathrm{=0.}\\]<br \/>\nAnschlie\u00dfend braucht ihr den folgenden Satz: ,,Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.&#8220; Das klingt im ersten Moment ziemlich verwirrend und unverst\u00e4ndlich. Wenn wir uns diesen Satz aber mal genauer angucken, bedeutet er, dass wenn wir zwei Faktoren miteinander multiplizieren und das Ergebnis Null sein soll, mindestens einer der beiden Faktoren Null sein muss. Denn, nur wenn wir mit Null multiplizieren, erhalten wir im Ergebnis auch Null. Also:<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{1}}\\mathrm{=0\\ \\ }\\mathrm{\\vee }{\\mathrm{\\ \\ 2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8=0}\\]<br \/>\nDiese zweite (lineare) Gleichung brauchen wir jetzt nur noch nach x aufzul\u00f6sen:<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8=0\\ }\\mathrm{|-8}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-8} \\ \\mathrm{|:2}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-4}\\]<br \/>\nUnsere beiden L\u00f6sungen lauten also: $\\mathbb{L}\\mathrm{=}\\left\\{\\mathrm{0\\ }\\mathrm{;}\\mathrm{\\ }\\right.\\left.\\mathrm{-}\\mathrm{4}\\right\\}$<\/p>\n\n<h2>Quadratische Gleichungen der Form $\\boldsymbol{\\mathrm{a}}\\boldsymbol{\\mathrm{\\cdot }}{\\boldsymbol{\\mathrm{x}}}^{\\boldsymbol{\\mathrm{2}}}\\boldsymbol{\\mathrm{+}}\\boldsymbol{\\mathrm{b}}\\boldsymbol{\\mathrm{\\cdot }}\\boldsymbol{\\mathrm{x}}\\boldsymbol{\\mathrm{+}}\\boldsymbol{\\mathrm{c}}\\boldsymbol{\\mathrm{=}}\\boldsymbol{\\mathrm{0}}$<\/h2>\n<p>Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, $\\mathrm{a}\\mathrm{\\cdot }{\\mathrm{x}}^{\\mathrm{2}}$, einen linearen Teil, $\\mathrm{b}\\mathrm{\\cdot }\\mathrm{x}$ und eine konstante Zahl, c. Gleichungen dieser Form m\u00fcssen mit Hilfe der $pq$-Formel oder der quadratischen Erg\u00e4nzung gel\u00f6st werden.<br \/>\nAls erstes gucken wir uns den L\u00f6sungsweg mittels der $pq$-Formel an:<br \/>\n\\[{\\mathrm{2}x}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+16}\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+14=0}.\\]<br \/>\nBevor wir die $pq$-Formel anwenden d\u00fcrfen, m\u00fcssen wir die Gleichung zuerst normieren. Das bedeutet, dass wir die gesamte Gleichung durch den Faktor, welcher vor dem $x^{\\mathrm{2}}$ steht, teilen m\u00fcssen. Hinterher soll sie die folgende Form haben:<br \/>\n\\[x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+}p\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+}q\\mathrm{=0.}\\]<br \/>\nIn unserem Fall teilen wir die Gleichung also durch $2$ und erhalten:<br \/>\n\\[x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8}\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+7=0}.\\]<br \/>\nJetzt k\u00f6nnen wir unsere Werte f\u00fcr $p$ und $q$ einfach ablesen, $p\\mathrm{=8\\ }$und $q\\mathrm{=7.}$ Das $p$ ist immer der Wert, welcher vor dem linearen Teil steht und unser $q$ ist immer die konstante Zahl in unserer Gleichung. Bitte achtet darauf, dass ihr auch die Vorzeichen der beiden Werte mitnehmt, $p$ und $q$ k\u00f6nnen also auch negativ sein. Jetzt sind wir soweit, dass wir die $pq$-Formel anwenden d\u00fcrfen. Die $pq$-Formel lautet:<br \/>\n\\[x_{\\mathrm{1\/2}}\\mathrm{=-}\\frac{p}{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\pm }\\sqrt{{\\left.\\left(\\ \\frac{p}{2}\\ \\right.\\right)}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{-}q}.\\]<br \/>\nAls n\u00e4chstes setzen wir die Werte f\u00fcr $p$ und $q$ in die $pq$-Formel ein:<br \/>\n\\[x_{\\mathrm{1\/2}}\\mathrm{=-}\\frac{\\mathrm{8}}{\\mathrm{2}}\\mathrm{\\pm }\\sqrt{{\\left.\\left(\\ \\frac{8}{2}\\ \\right.\\right)}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{-}\\mathrm{7}}\\]<br \/>\n\\[x_{1\/2}\\mathrm{=-4\\pm }\\sqrt{{\\mathrm{4}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{-}\\mathrm{7}}\\]<br \/>\n\\[x_{1\/2}\\mathrm{=-4\\pm }\\sqrt{\\mathrm{16-7}}\\]<br \/>\n\\[x_{1\/2}\\mathrm{=-4\\pm }\\sqrt{\\mathrm{9}}\\]<br \/>\n\\[x_{\\mathrm{1\/2}}\\mathrm{=-4\\pm 3}\\]<br \/>\nAn dieser Stelle m\u00fcssen wir jetzt nur noch unsere beiden L\u00f6sungen berechnen:<br \/>\n\\[x_{\\mathrm{1}}\\mathrm{=-4+3=-1\\ \\ }\\mathrm{\\vee }{\\ \\ x}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-4-3=-7}\\]<br \/>\nDie L\u00f6sungsmenge lautet: $\\mathbb{L}\\mathrm{=}\\left\\{\\mathrm{-}\\mathrm{7}\\mathrm{;}\\right.\\left.\\mathrm{-}\\mathrm{1}\\right\\}$<br \/>\nDer Term unter der Wurzel (Diskriminante) entscheidet, wie viele L\u00f6sungen unsere quadratische Gleichung hat. Ihr k\u00f6nnt euch die folgende Regel merken:<\/p>\n<ol>\n<li>$D&gt;0: 2$ L\u00f6sungen<\/li>\n<li>$D=0: 1$ L\u00f6sung<\/li>\n<li>$D&lt;0: $ keine L\u00f6sung<\/li>\n<\/ol>\n<p>Selbstverst\u00e4ndlich k\u00f6nnen wir eine der Gleichung der Form $a\\mathrm{\\cdot }x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+}b\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+}c\\mathrm{=0}$ auch mit der quadratischen Erg\u00e4nzung l\u00f6sen. F\u00fcr welchen Weg ihr euch entscheidet, ist euch \u00fcberlassen. Manche von euch kommen besser mit der $pq$-Formel zurecht und andere wiederum mit der quadratischen Erg\u00e4nzung. Wenn ihr lieber die quadratische Erg\u00e4nzung anwenden m\u00f6chtet, m\u00fcsst ihr zuerst wieder die Gleichung durch den Faktor vor dem $x^{\\mathrm{2\\ }}$ teilen und wir erhalten:<br \/>\n\\[x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8}\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+7=0}\\]<br \/>\nIm n\u00e4chsten Schritt bringen wir die konstante Zahl auf die andere Seite der Gleichung:<br \/>\n\\[x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8}\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{=-7}\\]<br \/>\nNun folgt die eigentliche quadratische Erg\u00e4nzung. Ihr nehmt euch die H\u00e4lfte der Zahl, welche vor dem linearen $x$ steht, also $\\frac{\\mathrm{8}}{\\mathrm{2}}\\mathrm{=4}$ und quadriert diese:<br \/>\n${\\mathrm{4}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=16}$. Dieser Teil wird nun auf beiden Seiten der Gleichung erg\u00e4nzt:<br \/>\n\\[x^{\\mathrm{2}}\\mathrm{+8}\\mathrm{\\cdot }x\\mathrm{+}{\\mathrm{4}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-7+}{\\mathrm{4}}^{\\mathrm{2}}\\]<br \/>\nAuf der linken Seite k\u00f6nnen wir jetzt die binomischen Formeln anwenden, in unserem Fall ist das die erste binomische Formel. Auf der rechten Seite wird zusammengefasst:<br \/>\n\\[{\\mathrm{(}x\\mathrm{+4)}}^{\\mathrm{2}}\\mathrm{=9}\\]<br \/>\nAn dieser Stelle wird nicht die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Klammer ausmultipliziert<\/a>, sondern wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten (Aufpassen, denn auf der rechten Seite erhalten wir wieder zwei L\u00f6sungen, eine positive und eine negative, auf der linken Seite heben sich Quadrieren und Wurzelziehen auf):<br \/>\n\\[x\\mathrm{+4=\\pm 3}\\]<br \/>\nZuletzt m\u00fcssen wir unsere beiden L\u00f6sungen berechnen:<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{1}}\\mathrm{+}\\mathrm{4=3} \\mathrm{|-4} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\mathrm{\\vee }\\mathrm{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{+4=-3} \\mathrm{|-4}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{1}}\\mathrm{=3-4=-1} \u00a0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\mathrm{\\vee } \u00a0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\u00a0\\mathrm{\\ }{\\mathrm{x}}_{\\mathrm{2}}\\mathrm{=-3-4=-7}\\]<\/p>\n<p><strong>In Daniels Playlist zu quadratischen Gleichungen findest du viele hilfreiche Videos!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Parabeln, Quadratische Funktionen,&Uuml;bersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_KEuNUgIiIyI\"><div id=\"lyte_KEuNUgIiIyI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKEuNUgIiIyI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Parabeln, Quadratische Funktionen,\u00dcbersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/KEuNUgIiIyI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKEuNUgIiIyI%2F0.jpg\" alt=\"Parabeln, Quadratische Funktionen,&Uuml;bersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles Wissenwerte zum Thema quadratische Gleichungen. 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Wir helfen euch mit Beispielen, Erkl\u00e4rungen und Lernvideos das Thema zu verstehen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-gleichungen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Quadratische Gleichungen einfach erkl\u00e4rt - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Quadratische Gleichungen bereiten vielen Sch\u00fcler Schwierigkeiten. 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